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1、1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二),明目标 知重点,填要点 记疑点,探要点 究所然,内容 索引,01,02,03,当堂测 查疑缺,04,1.掌握ysin x，ycos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值. 2.掌握ysin x，ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小. 3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单调区间.,明目标、知重点,正弦函数、余弦函数的性质,1,1,填要点记疑点,1,1,R,R,(k，0)(kZ),xk(kZ),奇函数,偶函数,2,2k,2k，2k,(kZ),2k，2k (kZ),2k (kZ),2k,(kZ
2、),探要点究所然,情境导学,周期性、奇偶性是正弦、余弦函数所具有的基本性质，此外，正弦、余弦函数还具有哪些基本性质呢？我们将对此作进一步探究.,探究点一正弦、余弦函数的定义域、值域,导引正弦曲线：,余弦曲线：,由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R.,思考1观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？ 答正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和1.,思考2当自变量x分别取何值时，正弦函数ysin x取得最大值1和最小值1? 答对于正弦函数ysin x，xR有：,思考3当自变量x分别取何值时，余弦函数ycos x
3、取得最大值1和最小值1? 答对于余弦函数ycos x，xR有： 当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1； 当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1.,探究点二正弦、余弦函数的单调性,思考1观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？ 答正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是2，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域.,观察图象可知：,推广到整个定义域可得：,思考2观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？ 答函数ycos x，x，的图象如图所示：,观察图象可知：
4、当x，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由1增大到1； 当x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到1. 推广到整个定义域可得： 当x2k，2k，kZ时，余弦函数ycos x是增函数，函数值由1增大到1； 当x2k，(2k1)，kZ时，余弦函数ycos x是减函数，函数值由1减小到1.,探究点三函数yAsin(x)(或yAcos(x)(A0)的单调性,思考1怎样确定函数yAsin(x)(A0)的单调性？,当0时，先利用诱导公式把x的系数转化为正数后，再根据复合函数确定单调区间的原则(即同则增，异则减)求解.,余弦函数yAcos(x)的单调区间类似可求.,例1利用三角函
5、数的单调性，比较下列各组数的大小.,(2)sin 196与cos 156；,解sin 196sin(18016)sin 16， cos 156cos(18024)cos 24sin 66， 0sin 66，即sin 196cos 156.,反思与感悟用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.,跟踪训练1比较下列各组数的大小.,(2)cos 870与sin 980. 解cos 870cos(720150)cos 150，sin 980sin(720260)sin 260sin(90170)cos 170
6、， 0cos 170，即cos 870sin 980.,反思与感悟确定函数yAsin(x)或yAcos(x)单调区间的基本思想是整体换元思想，即将x视为一个整体.若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解，有时还应兼顾函数的定义域.,解由题意得cos 2x0且ycos 2x递减.,例3求函数ysin2xsin x1，xR的值域. 解设tsin x，t1,1，f(t)t2t1.,1t1，,当t1，即sin x1时，ymaxf(t)max3；,反思与感悟形如f(x)asin2xbsin xc(a0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数g(t)at2btc在闭区间 1,1上的最值问题.要注
7、意，正弦、余弦函数值域的有界性，即当xR时，1sin x1，1cos x1对值域的影响.,跟踪训练3求函数ycos2x4sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合. 解ycos2x4sin x1sin2x4sin x sin2x4sin x1(sin x2)25.,当堂测查疑缺,1,2,3,4,D,2.下列不等式中成立的是(),1,2,3,4,即sin 2cos 1.故选D.,D,1,2,3,4,B,1,2,3,4,4.求函数yf(x)sin2x4sin x5的值域. 解设tsin x，则|t|1， f(x)g(t)t24t5(1t1)， g(t)t24t5的对称轴为t2， 开口向上，对称轴t2不在研究区间(1,1)内，,1,2,3,4,g(t)在(1,1)上是单调递减的， g(t)maxg(1)(1)24(1)510， g(t)ming(1)124152， 即g(t)2,10. 所以yf(x)的值域为2,10.,呈重点、现规律,2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用求法：将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.,