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1、高三数学专项训练：概率解答题（理科）1某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（148号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据： （）从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望；（）请你根据乙抽取的样本数据完成下列22列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？（）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（）
2、的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0100.0050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.828（参考公式：，其中）2 某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：分数段（分）50,70)70,90)90,110)110,130)130,150)总计频数b频率a0.25（1）求表中a，b的值及分数在90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在90,15
3、0）内为及格）：（2）从成绩在100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望.3（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为
4、100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。4甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，得分最低为0分，至少得15分才能入选（）求乙得分的分布列和数学期望；（）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率5一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的.（）从袋子中摸出3个球，求摸出的球为2个红球和1个白球的概率；（）从袋子中摸出两个球，其中白球的个数为，求的
5、分布列和数学期望.6某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望.7已知A,B,C,D四个城市,它们各自有一个著名的旅游点,依次记为A,b,C,D,把A,B,C,D和A,b,C,D分别写成左、右两列.现在一名旅游爱好者随机用4条线把城市
6、与旅游点全部连接起来, 构成“一一对应”.规定某城市与自身的旅游点相连称为“连对”,否则称为“连错”,连对一条得2分,连错一条得0分. ()求该旅游爱好者得2分的概率. ()求所得分数的分布列和数学期望.8某旅游公司提供甲、乙、丙三处旅游景点，游客选择游玩哪个景点互不影响，已知某游客选择游甲地而不选择游乙地和丙地的概率为0.08，选择游甲地和乙地而不选择游丙地的概率为0.12，在甲、乙、丙三处旅游景点中至少选择游一个景点0.88，用表示游客在甲、乙、丙三处旅游景点中选择游玩的景点数和没有选择游玩的景点数的乘积.（）记“函数是R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；（）求的概率分布列及数学期望.
7、9某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员 三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）动员前 动员后（）已知该小区共有居民户，在政府进行节水动员前平均每月用水量是吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；（）为了解动员前后市民的节水情况，媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在范围内的家庭中选出户作为采访对象，其中在内的抽到户，求的分布列和期望 10我校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一
8、人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响.（）求比赛进行局结束，且乙比甲多得分的概率；（）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望11甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响，若三人中只有甲破译出密码的概率为.（1）求的值， (2）设在甲、乙、丙三人中破译出密码的总人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）.12某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组75，80)，第2组80，85)，第3组85，90)，第4组9
9、0，95)，第5组95，100得到的频率分布直方图如图所示(1)分别求第3，4，5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试. 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率； 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官的面试，设第4组中有X名学生被考官面试，求X的分布列和数学期望. 13乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3)求比赛局数的分布列14
10、在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是.()记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望；()求教师甲在一场比赛中获奖的概率.15小明参加完高考后，某日路过一家电子游戏室，注意到一台电子游戏机的规则是：你可在1，2，3，4，5，6点中选一个，押上赌注a元。掷3枚骰子，如果所押的点数出现1次、2次、3次，那么原来的赌注仍还给你，并且你还分别可以收到赌注的1倍、2倍、3倍的奖励。如果所押的点数不出现，那么赌注就被庄家没收。（1）求掷3枚骰子，至少出现1枚为1点的概率；（2）如果小明
11、准备尝试一次，请你计算一下他获利的期望值，并给小明一个正确的建议。16其市有小型超市72个，中型超市24个，大型超市12个，现采用分层抽样方法抽取9个超市对其销售商品质量进行调查.（I）求应从小型、中型、大型超市分别抽取的个数；（II）若从抽取的9个超市中随机抽取3个做进一步跟踪分析，记随机变量X为抽取的小型超市的个数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X) .17在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响.（1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率
12、；（2）设选做第23题的人数为，求的分布列及数学期望.18为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品.（1）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（2）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望；（3）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率19从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的
13、成绩得到频率分布直方图如下：（）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（）以上述样本的频率作为概率，从该校高三学生中有放回地抽取3人，记抽取的学生成绩不低于90分的人数为，求的分布列和期望.20有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排列组成第一排明文字符ABCD密码字符11121314第二排明文字符EFGH密码字符21222324第三排明文字符MNPQ密码字符1234设随机变量表示密码
14、中不同数字的个数(1)求；(2)求随机变量的分布列和数学期望21为了了解某班的男女生学习体育的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生作为样本，他们期末体育成绩的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数。女生 男生 2 6 0 2 4 8 7 9 7 4 8 x 8 4 9 0 1 2 8（）若该班男女生平均分数相等，求x的值；（）若规定85分以上为优秀，在该10名男生中随机抽取2名，优秀的人数记为，求的分布列和数学期望22甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为， ()，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：012
15、3()求至少有一位学生做对该题的概率；()求，的值；()求的数学期望.23现有A，B两球队进行友谊比赛，设A队在每局比赛中获胜的概率都是（）若比赛6局，求A队至多获胜4局的概率；（）若采用“五局三胜”制，求比赛局数的分布列和数学期望24某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个
16、人，且均在甲队 （）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在160,170）（单位：cm）内的运动员人数b；（）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望25一个袋子里装有7个球, 其中有红球4个, 编号分别为1，2，3，4； 白球3个, 编号分别为2，3，4. 从袋子中任取4个球 (假设取到任何一个球的可能性相同). () 求取出的4个球中, 含有编号为3的球的概率； () 在取出的
17、4个球中, 红球编号的最大值设为X ，求随机变量X的分布列和数学期望.26某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在，（单位：元）（）估计居民月收入在的概率；（）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在的居民数X的分布列和数学期望27在两个不同的口袋中，各装有大小、形状完全相同的1个红球、2个黄球现分别从每一个口袋中各任取2个球，设随机变量为取得红球的个数. （）求的分布列；（）求的数学期望.28某大学一个专业团队为某专
18、业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表班级一二三四人数3234（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率（2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择A、B两个软件学习的概率每个都是，且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的.设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为，求的分布列和数学期望.29某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的50位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量（件）1n34n67
19、n910n12n13顾客数（人）20105结算时间（分钟/人）0.511.522.5已知这50位顾客中一次购物量少于10件的顾客占80.（1）确定与的值；（2）若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望；（3）在（2）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2分钟的概率.30PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可 入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75
20、微克/立方米以上空气质量为超标某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（I）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率;（II）从这15天的数据中任取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列;（III）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级31德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等
21、数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，课 程初等代数初等几何初等数论微积分初步合格的概率（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望32（12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.()若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；()若第一次随机抽取1张卡片，放
22、回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.33为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777681 （1）已知甲厂生产的产品共84件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素x，y满足x175且y75，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其期望34某校学习小组开展“学生语文成绩与
23、外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人.（）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？（）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3 个成绩中语文，外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X的分布列和期望E（x）.0010000500016635787910828附：352013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施
24、(简称“国五条”)为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图)，同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表)：月收入(百元)赞成人数15,25)825,35)735,45)1045,55)655,65)265,75)1(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；()若从月收入(单位：百元)在15，25)，25，35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望 36南昌市为增强市民的交通安全意识，面向全市征召“小红帽”志愿者在部
25、分交通路口协助交警维持交通，把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者在五一节这天到广场协助交警维持交通，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，南昌市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者到学校宣讲交通安全知识，若表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求的分布列和数学期望.37某班同学在“十八大”期间进行社会实践活动，对25,55岁的人群随机抽取人进行了一次当前投资生活方式-“房地产投资”的调查，得到如下统计和各年龄段人数频率分布直方图：（）求n
26、，a，p的值；（）从年龄在40,50)岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取9人参加投资管理学习活动，其中选取3人作为代表发言，记选取的3名代表中年龄在40,45)岁的人数为，求的分布列和期望.253035404550年龄（岁）550.010.020.030.040.05频率/组距38甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7、8、9、10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：若将频率视为概率，回答下列问题：（1）求表中x，y，z的值及甲运动员击中10环的概率；（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率；（3）若甲运动员射击2次，乙
27、运动员射击1次，表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求的分布列及392012年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在，第二类在，第三类在（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示. 求该小区居民用电量的中位数与平均数； 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率； 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的
28、是第一类居民，则发放礼品一份，设为获奖户数，求的数学期望与方差.40为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据： （）若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少?（）若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验求这两种金额之和不低于20元的概率；若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望41某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为
29、样本进行统计请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表组别分组频数频率第1组50，60）80.16第2组60，70）a第3组70，80）200.40第4组80，90）0.08第5组90，1002b合计频率分布直方图、（）写出的值；（）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.42今年我国部分省市出现了人感染H7N9禽流感确诊病例，各地家禽市场受其影响生意冷清A市虽未发现H7N9疑似病例，但经抽样有20%的市民表
30、示还会购买本地家禽现将频率视为概率，解决下列问题：（）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民还会购买本地家禽的概率；（）从该市市民中随机抽取位，若连续抽取到两位愿意购买本地家禽的市民，或抽取的人数达到4位，则停止抽取，求的分布列及数学期望43一次高中数学期末考试，选择题共有个，每个选择题给出了四个选项，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 评分标准规定：对于每个选择题，不选或多选或错选得分，选对得分在这次考试的选择题部分，某考生比较熟悉其中的个题，该考生做对了这个题其余个题，有一个题，因全然不理解题意，该考生在给出的四个选项中，随机选了一个；有一个题给出的四个选项，可判断有一个选
31、项不符合题目要求，该考生在剩下的三个选项中，随机选了一个；还有两个题，每个题给出的四个选项，可判断有两个选项不符合题目要求，对于这两个题，该考生都是在剩下的两个选项中，随机选了一个选项请你根据上述信息，解决下列问题： （）在这次考试中，求该考生选择题部分得分的概率；（）在这次考试中，设该考生选择题部分的得分为，求的数学期望44一个口袋中装有2个白球和个红球（且），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖 () 摸球一次，若中奖概率为，求的值；() 若，摸球三次，记中奖的次数为，试写出的分布列并求其期望45某经销商试销A、B两种商品一个月（
32、30天）的记录如下：日销售量（件）012345商品A的频数357753商品B的频数446853若售出每种商品1件均获利40元，用表示售出A、B商品的日利润值（单位：元）将频率视为概率（）设两种商品的销售量互不影响，求两种商品日获利值均超过100元的概率；（）由于某种原因，该商家决定只选择经销A、B商品的一种，你认为应选择哪种商品，说明理由46为了调査某大学学生在某天上网的时间，随机对lOO名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：表l:男生上网时间与频数分布表表2:女生上网时间与频数分布表(I)从这100名男生中任意选出3人，其中恰有1人上网时间少于60分钟的概率；(I
33、I)完成下面的2X2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？表3:附：47某种报纸，进货商当天以每份进价元从报社购进，以每份售价元售出。若当天卖不完，剩余报纸报社以每份元的价格回收。根据市场统计，得到这个季节的日销售量（单位：份）的频率分布直方图（如图所示），将频率视为概率。（）求频率分布直方图中的值；（）若进货量为（单位：份），当时，求利润的表达式；（）若当天进货量，求利润的分布列和数学期望（统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表） 48一个口袋中有个白球和个红球且，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则
34、为不中奖.（）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；（）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值.49某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：答对题目个数0123人数5102015根据上表信息解答以下问题：（）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；（）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.50已知正方形的边长为2，分别是边的中点（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；（2）从这八个点中，随机选取两个点，记
35、这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望高三数学专项训练：概率解答题（理科）参考答案1（）的分布列为 （）列联表：优秀非优秀合计男来源:学+科+网Z+X+X+K617女145合计7512有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关 （）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优 【解析】试题分析：（）由“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，其所有可能取值为 计算可得相应概率，得到的分布列为计算得到数学期望 （）由乙抽取的样本数据，得到列联表，应用“卡方公式”计算“卡方”并与临界值表对照，得出结论.（
36、）对照系统抽样、分层抽样的定义确定抽样方法，由（）的结论，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，得到结论.试题解析：（）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人X的所有可能取值为 1分所以， 4分故的分布列为 5分 6分（）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得列联表如下：优秀非优秀合计男来源:学+科+网Z+X+X+K617女145合计7512 7分的观测值3.841， 9分 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关 10分（）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样 11分由（）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异
37、，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优 13分考点：1、随机变量的分布列及数学期望，2、抽样方法， 3、“卡方公式”的应用.2（1）a=0.1，b=3；4；65%.（2）分布列为X1234PE(X)=2.2【解析】试题分析：（1）由50,70)范围的频数，计算出该范围内的频率a，首先计算出70,90)范围内的频数，然后得出80,90)，即可求出90,100)范围内的学生人数，计算出90,100)范围内的学生人数，然后除以20就是及格率.（2）写出随机变量X的所有可能取值，然后计算出相应的概率，列表即可的分布列，最后根据期望值公式计算期望值即可.试题解析：（1）由茎叶图可知分数在50,70)范
38、围内的有2人，在110,130) 范围内的有3人，a= b=3；分数在70,90)内的人数200.25=5，结合茎叶图可得分数在70,80)内的人数为2，所以分数在90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为 100%=65%.（2）由茎叶图可知分数在100,130)范围内的有7人，分数在100,110)范围内的有4人，则随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P(X=1)= ；P(X=2)= ；P(X=3)=；P(X=4)=.随机变量X的分布列为X1234PE(X)=1+2+3+4=2.2考点：1.茎叶图的含义以
39、及频率和频数的计算；2.随机变量的分布列和数学期望.3（1）记该批产品通过检验为事件A；则；（2）X的可能取值为400、500、800；，则X的分布列为X400500800P【解析】（1）利用相互独立事件模型计算概率；（2）在（1）的基础上，利用对立事件算出X为400、500、800时的概率，进而列出分布列，求出期望.【学科网考点定位】本题考查相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力.4（）的分布列为01530；（）甲、乙两人中至少有一人入选的概率【解析】试题分析：（）此题属于答错扣分问题，得分最低为零分，它包括两种情况，一种是三个都答错，一
40、种是三个答对一个，若三个答对两个，此时得分为15分，若三个答对三个，此时得分为30分，故=，计算出各个概率，可得分布列，从而求出数学期望；（）甲、乙两人中至少有一人入选，像这种至少有一问题，常常采用对立事件来解，即甲乙都没入选，分别求出甲乙没入选的概率，从而求出甲、乙两人中至少有一人入选的概率试题解析：（）设乙得分为，则=，的分布列为01530 ； （）设“甲入选”为事件A，“乙入选”为事件B，则，所求概率考点：本小题考查独立事件与对立事件的概率，分布列，数学期望，考查学生的分析问题、解决问题的能力5()；()见解析.【解析】试题分析：()先求出从袋中摸3个球的总事件数，再求出摸到的球是2个红球1个白球的事件数，做比值即可；()先求出取相应值时对应的概率，再列出分布列求期望.试题解析：解：()从装有10个球