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1、章末复习课,第四章圆与方程,1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识； 2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，渗透数形结合的数学思想.,要点归纳,题型探究,达标检测,学习目标,要点归纳 主干梳理 点点落实,1.圆的方程 (1)圆的标准方程：_. (2)圆的一般方程：_. 2.点和圆的位置关系 设点P(x0，y0)及圆的方程(xa)2(yb)2r2. (1)(x0a)2(y0b)2r2点P_. (2)(x0a)2(y0b)2r2点P_. (3)(x0a)2(y0b)2r2点P_.,答案,(xa)2(yb)2r2,x2y2
2、DxEyF0(D2E24F0),在圆外,在圆内,在圆上,3.直线与圆的位置关系 设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d_r相离；d_r相切；d_r相交. 4.圆与圆的位置关系 设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则,答案,5.求圆的方程时常用的四个几何性质,(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.,6.与圆有关的最值问题的常见类型,返回,类型一求圆的方程,题型探究 重点难点 个个击破,例1根据条
3、件求下列圆的方程： (1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x10y90上的圆的方程； 解由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x2y150，,解析答案,所求圆的方程为(x7)2(y3)265.,解析答案,反思与感悟,解析答案,解方法一设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，,(ab)24， 又b2a，a2，b4或a2，b4， 故所求圆的方程是(x2)2(y4)210或(x2)2(y4)210.,反思与感悟,解析答案,解方法二设圆的方程为(xa)2(yb)210， 圆心C(a，b)在直线y2x上，b2a. 由圆被直线xy0截得的弦长为,将yx代入(xa)2(yb)210， 得2
4、x22(ab)xa2b2100. 设直线yx交圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，,(x1x2)24x1x216.,反思与感悟,反思与感悟,所求圆的方程为(x2)2(y4)210或(x2)2(y4)210.,反思与感悟,求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程， 利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为 第一步：选择圆的方程的某一形式； 第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)； 第三步：解出a，b，r(或D，E，F)； 第四步：代入圆的方程. 注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量， 例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连
5、线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等.,跟踪训练1求圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)的圆的方程.,解析答案,解方法一设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，,解得a1，b4，r ， 故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.,方法二过切点且与xy10垂直的直线为y2x3， 与y4x联立可求得圆心为(1，4).,于是所求圆的方程为(x1)2(y4)28.,类型二直线与圆、圆与圆的位置关系,例2已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为 ，求l的方程.,解析答案,反思与
6、感悟,解如图所示，|AB| ，设D是线段AB的中点，则CDAB，,在RtACD中，可得|CD|2. 设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y5kx， 即kxy50.由点C到直线AB的距离公式：,此时直线l的方程为3x4y200. 又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0. 所求直线l的方程为x0或3x4y200.,反思与感悟,反思与感悟,直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路： (1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长. 解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用
7、勾股定理，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线.,解设所求圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，,解析答案,跟踪训练2已知圆C与圆x2y22x0相外切，并且与直线x y0相切于点Q(3， )，求圆C的方程.,例3设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.,类型三与圆有关的轨迹问题,解析答案,反思与感悟,解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，,由于平行四边形的对角线互相平分，,又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24. 因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，,反思与感悟,求与圆有关的
8、轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法：利用圆的几何性质列方程. (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.,反思与感悟,跟踪训练3已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程；,解设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y). 因为P点在圆x2y24上， 所以(2x2)2(2y)24， 故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.,解析答案,(2)若PBQ90
9、，求线段PQ中点的轨迹方程. 解设PQ的中点为N(x，y)，连接BN. 在RtPBQ中，|PN|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ， 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.,解析答案,类型四分类讨论在直线与圆中的应用,解析答案,例4已知直线l经过点P(4，3)，且被圆(x1)2(y2)225截得的弦长为8，求直线l的方程. 解圆(x1)2(y2)225的圆心为(1，2)，半径r5， 当直线l的斜率不存在时，其方程为x4，由题意可知直线x4符合题意. 当直线l的斜率存在时，设其方程为
10、y3k(x4)，即kxy4k30.,即所求直线方程为4x3y250， 综上所述，满足题设的直线l方程为x4或4x3y250.,在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线方程时，根据题意不确定斜率是否存在，要分斜率存在与斜率不存在这两种情况进行分类讨论.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练4过点A(4，3)作圆C：(x3)2(y1)21的切线，求此切线方程.,返回,解(43)2(31)2171， 点A在圆外. 若所求直线的斜率存在， 设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)， 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，,若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离也为1， 这时直线与圆也
11、相切，所以另一条切线方程是x4. 综上，所求切线方程为15x8y360或x4.,返回,1,2,3,达标检测,解析答案,1.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2，则 (1)圆C的标准方程为_.,4,(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_. 解析令x0得：B(0， 1).,1,2,3,4,解析答案,解析答案,2.已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|2，则直线l的方程为_.,1,2,3,4,1,2,3,4,解析 (1)当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y3k(x2)，即kxy
12、32k0. 作示意图如图，MCAB于C.,故直线l的方程为3x4y60.,(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x2，,综上所述，直线l的方程为3x4y60或x2.,解析答案,3.圆x2y24上的点到直线xy20的距离的最大值为_.,1,2,3,4,解析答案,1,2,3,4,解设方程(x3)2(y3)26上的任意一点P(x，y).,由图可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值.,规律与方法,初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果. 圆是非常特殊的几何图形，它既
13、是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，经常使用的几何性质有,(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等. (2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理. (3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.,返回,