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1、第四章 4.2 直线、圆的位置关系,4.2.3直线与圆的方程的应用,1.理解直线与圆的位置关系的几何性质； 2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题； 3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,问题导学 新知探究 点点落实,知识点坐标法解决几何问题的步骤,用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示 问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过 ，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.,代数运算,返回,答案,题型探究 重点难点 个
2、个击破,类型一直线与圆的方程的应用,例1某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m.现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？,反思与感悟,解析答案,解建立如图所示的坐标系.,依题意，有A(10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(5,0)，E(5,0). 设所求圆的方程是(xa)2(yb)2r2，,所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4). 把点D的横坐标x5代入上式，得y3.1. 由于船在水面以上高3 m,33.1， 所以该船可以从桥下通过.,反思与感悟,解此方程组，得a0，b10.5，r14.5.,反思与感悟,解决直线与圆的实际应用题的步骤
3、： (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素； (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知； (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.,跟踪训练1如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为_米.,解析答案,解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖 直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C， 圆的方程设为x2(yr)2r2， 水面所在弦的端点为A，B，则A(6，2)， 将A(6，2)代入圆的方程，得r10， 圆的方程为x2(y10)2100
4、. 当水面下降1米后，可设点A(x0，3)(x00)， 将A(x0，3)代入圆的方程，得x0 ， 当水面下降1米后，水面宽为2x0 米.,类型二坐标法证明几何问题,例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.,解析答案,反思与感悟,证明以AB所在直线为x轴，O为坐标原点， 建立平面直角坐标系，如图所示， 设|AB|2r，D(a,0)，,圆O：x2y2r2，,EF平分CD.,反思与感悟,反思与感悟,(1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下： 建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题 的几
5、何元素，将实际或平面问题转化为代数问题. 通过代数运算，解决代数问题. 把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论. (2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则： 若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴. 常选特殊点作为直角坐标系的原点. 尽量使已知点位于坐标轴上. 建立适当的直角坐标系，会简化运算过程.,跟踪训练2如图，直角ABC的斜边长为定值 2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线 BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值.,证明如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系， 于是有B(m,0)，C(m,0)，P(n,0)，Q(n,0). 设
6、A(x，y)，由已知，点A在圆x2y2m2上. |AP|2|AQ|2|PQ|2 (xn)2y2(xn)2y24n2 2x22y26n22m26n2(定值).,解析答案,类型三直线与圆位置关系的应用,例3一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60 km处，受影响的范围是半径长为20 km的圆形区域(如图).已知港口位于台风中心正北30 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？,解析答案,反思与感悟,解建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度， 由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0)，(0,3)，,反思与感悟,即x2y60， 台
7、风区域边界所在圆的方程为x2y24. 由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离,所以直线x2y60与圆x2y24相离， 因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响.,反思与感悟,针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题.,返回,跟踪训练3设半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为31，问A、B两人在何处相遇？,解析答案,返回,解由题意以村中心为原点，正东方向为x轴
8、的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立直角坐标系，如图， 设A、B两人的速度分别为3v km/h，v km/h， 设A出发a h，在P处改变方向，又经过b h到达相遇点Q， 则P(3av,0)，Q(0，(ab)v)， 则|PQ|3bv，|OP|3av，|OQ|(ab)v. 在RtOPQ中，|PQ|2|OP|2|OQ|2得5a4b.,由PQ与圆x2y29相切，,1,2,3,达标检测,4,解析答案,1.一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过() A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m,解析如图， 圆半径|O
9、A|3.6，卡车宽1.6， 所以|AB|0.8，,B,1,2,3,4,解析答案,2.据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响.从现在起经过约_h，台风将影响A城，持续时间约为_h(结果精确到0.1 h).,1,2,3,4,解析以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系， 则台风中心的移动轨迹是yx， 受台风影响的区域边界的曲线方程是(xa)2(ya)22502. 依题意有(300a)2a22502，,从现在起经过约2.0 h，台风将影响A城，持续时间约为6.6 h.,答案2.06
10、.6,1,2,3,4,3.设村庄外围所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路方程可用xy20表示，则从村庄外围到小路的最短距离为_.,解析答案,1,2,3,4,解析答案,4.已知集合A(x，y)|xym0，集合B(x，y)|x2y21.若AB，则实数m的取值范围是_.,解析如图， A(x，y)|xym0 表示直线xym0及其右下方区域， B(x，y)|x2y21表示圆x2y21及其内部， 要使AB，则直线xym0在圆x2y21的下方，,规律与方法,1.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归.所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识. 2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题.,返回,