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1、第四章 4.2 直线、圆的位置关系,4.2.1直线与圆的位置关系,1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离； 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系； 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,问题导学 新知探究 点点落实,知识点直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断,答案,dr,dr,dr,0,0,0,由,返回,题型探究 重点难点 个个击破,类型一直线与圆的位置关系的判定,例1已知圆C：x2y21与直线ykx3k，当k为何值时，直线与圆 (1)相交；,解析答案,(2)相切；,(3)相离.,反思与感悟,解方法
2、一(代数法)联立,消去y，,整理得(k21)x26k2x9k210. (6k2)24(k21)(9k21) 32k244(18k2).,(1),(3)当直线和圆相离时，0，,(2)当直线和圆相切时，0，即k .,解析答案,由条件知，圆的半径为r1.,方法二(几何法)圆心(0,0)到直线ykx3k的距离,(3)当直线与圆相离时，dr，,(2)当直线与圆相切时，dr，,(1)当直线与圆相交时，dr，,反思与感悟,反思与感悟,直线与圆位置关系判断的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断； (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断； (3)直线系法：若
3、直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.,跟踪训练1(1)直线xky10与圆x2y21的位置关系是() A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切,解析由直线xky10恒过定点(1,0)， 而(1,0)恰在圆x2y21上， 故直线与圆至少有一个公共点， 故选C.,解析答案,C,(2)过点P( ，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是_.,解析当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2y21没有公共点，,解析答案,060,060.,类型二切线问题,例2过点A(4，3)作圆(x3)2(y1)21的切线，求： (1)此切线的方程；,
4、解析答案,解因为(43)2(31)2171，所以点A在圆外. 若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4). 设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，,若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离也为1， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4. 综上，所求切线方程为15x8y360或x4.,即15x8y360.,解因为圆心C的坐标为(3,1)， 设切点为B， 则ABC为直角三角形，,解析答案,反思与感悟,(2)其切线长.,切线长为4.,反思与感悟,求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目. (1)求过圆上一点P(x0
5、，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为 ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为yb或xa. (2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解： 设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.,跟踪训练2(1)直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是() A.2或12 B.2或12C.2或12 D.2或12,解析圆方程x2y22x2y10， 可
6、化为(x1)2(y1)21，,解析答案,D,得b2或12，故选D.,(2)求由下列条件确定的圆x2y24的切线方程：,点P在圆x2y24上，,解析答案,切线斜率为2.,解设圆的切线方程为y2xb，即2xyb0， 由圆心到切线的距离为半径，可得：,类型三弦长问题,例3(1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_.,解析答案,解析 方法一(交点法) 由题意知直线l的方程为y2(x1)，即xy10.,解析答案,解析答案,方法二(弦长公式) 由题意知直线l的方程为y2(x1)，即xy10.,消去y，得2x22x70.,设A(x1，y1)，B
7、(x2，y2)，,方法三(几何法) 由题意知直线l的方程为y2(x1)， 即xy10，,(2)圆心为C(2，1)，截直线yx1的弦长为2 的圆的方程为_.,解析设圆的半径为r，由条件，得,所以r2224，r2， 所以所求圆的方程为(x2)2(y1)24.,(x2)2(y1)24,解析答案,(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2y225相交于A、B两点，截得的弦长为4 ，求l的方程.,解析答案,反思与感悟,解方法一若直线l的斜率不存在，则l：x5与圆C相切，不合题意， 所以直线l的斜率存在， 设其方程为y5k(x5)，即kxy5(1k)0. 如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离， |O
8、A|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，,在RtAHO中，|OA|5，,直线l的方程为x2y50或2xy50.,解析答案,反思与感悟,方法二若直线l的斜率不存在，则l：x5与圆C相切，不合题意， 所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y5k(x5)，且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点，,得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0. 所以10k(1k)24(k21)25k(k2)0，解得k0，,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,两边平方，整理得2k25k20， 解得k 或k2，均符合题意. 故直线l的方程为x2y50或2xy50.,由斜率公式， 得y1y2k(x1
9、x2).,反思与感悟,求直线与圆相交时的弦长有三种方法 (1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB| 求解. (2)弦长公式： 如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆 的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| (直线l的斜率k存在).,(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有 通常采用几何法较为简便.,跟踪训练3已知直线l：kxyk20与圆C：x2y28. (1)证明直线l与圆相交；,证明l：kxyk20， 直线l可化为y2k(x1)， 直线l经过定点(1,2)，
10、(1)2228， (1,2)在圆C内， 直线l与圆相交.,解析答案,返回,(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长.,解由(1)知，直线l过定点P(1,2)， 又x2y28的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短， kOP2，,解析答案,设直线l与圆交于A、B两点，,即x2y50.,1,2,3,达标检测,4,解析答案,1.直线yx1与圆x2y21的位置关系是() A.相切B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心D.相离,又直线yx1不过圆心(0,0)，选B.,B,1,2,3,4,解析答案,2.已知P(x，y)|xy2，Q(x，y)|x2y22，那么PQ为() A.
11、B.(1,1) C.(1,1) D.(1，1),C,1,2,3,4,3.若直线xym0与圆x2y2m相切，则m的值为() A.0或2 B.0或4 C.2 D.4,C,解得m2或m0(应舍去).,解析答案,1,2,3,4,解析答案,4.直线ykx3与圆(x1)2(y2)24相交于M，N两点，且|MN|2 ，则k的取值范围是_.,解得k0.,(，0,规律与方法,1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单. (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单. 2.过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.,(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在. 3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法 (1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法. (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法.,返回,