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1、第2课时 等比数列习题课,类型一错位相减法求数列的和 1.求和： . 2.(2013湖南高考)设Sn为数列an的前n项和，已知a10， 2an-a1=S1Sn，nN*. (1)求a1，a2，并求数列an的通项公式. (2)求数列nan的前n项和.,【解题指南】1.令Sn= 两边同乘以 ，错位相减转化为等比数列的前n项和求解. 2.(1)利用递推关系 求数列的通项公式. (2)根据第(1)问的结果利用错位相减法求数列前n项和.,【解析】1.令Sn= 则 由-得： 所以Sn=3 答案：,2.(1)令n=1，得2a1-a1=a12，因为a10，所以a1=1， 令n=2，得2a2-1=S2=1+a2，
2、解得a2=2. 当n2时，由2an-1=Sn，2an-1-1=Sn-1，两式相减，整理得an=2an-1，于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an=2n-1.当n=1时，满足，故an=2n-1.,(2)由(1)知nan=n2n-1，记其前n项和为Tn，于是Tn=1+22+322+n2n-1 2Tn=12+222+323+n2n -得-Tn=1+2+22+2n-1-n2n =2n-1-n2n. 所以Tn=1+(n-1)2n.,【规律总结】用“错位相减法”求数列前n项和的类型及方法 (1)类型：如果数列an是等差数列，公差为d；数列bn是等比数列，公比为q，则求数列anbn的前n项和
3、就可以运用错位相减法.,(2)方法：设Sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn， 当q=1时，bn是常数列， Sn=b1(a1+a2+a3+an)= 当q1时，则qSn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+qanbn =a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1，,所以(1-q)Sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+bn(an-an-1)-anbn+1 =a1b1+d -anbn+1， 所以Sn=,【变式训练】(2015重庆高二检测)已知数列an是等差数列，bn是等比数列，a1=1，a3=3，b2=4，b5=32. (1)求数列an，bn的通项公式. (2)设数列cn
4、中，cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn.,【解析】(1)由已知得：d= =1，所以an=1+(n-1)=n. q3= =8，q=2，所以bn=b2qn-2=2n. (2)cn=n2n.所以Sn=12+222+323+n2n. 两边乘以2得：2Sn=122+223+324+n2n+1. 将以上等式相减得：-Sn=12+22+23+2n-n2n+1 =2n+1-2-n2n+1. 所以Sn=(n-1)2n+1+2.,类型二可化为等比数列的求和问题 1.在首项为5，公差为3的等差数列an中，依次抽取第2项、 第4项、第8项，第2n项，按原来的顺序组成一个新 的数列bn，则数列bn的前n项和为.
5、2.(2014新课标全国卷)已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1. (1)证明an+ 是等比数列，并求an的通项公式. (2)证明：,【解题指南】1.根据等差数列an的通项公式，求出数列bn 的通项公式，然后求和. 2.(1)将an+1=3an+1进行配凑，得“an+1+ ”与“an+ ”的关 系，得证，然后求得an的通项公式. (2)求得 的通项公式，然后证得不等式.,【自主解答】1.由题意可知，an=3n+2， 所以bn=a2n=32n+2，因此bn的前n项和 Tn=b1+b2+bn =(32+2)+(322+2)+(32n+2) =3(2+22+2n)+2n =3 +2n=62
6、n+2n-6. 答案：62n+2n-6,2.(1)因为a1=1，an+1=3an+1，nN*. 所以an+1+ =3an+1+ =3(an+ ). 所以an+ 是首项为a1+ = ，公比为3的等比数列. 所以an+ = ，所以an=,(2) =1，当n1时， 所以 所以,【延伸探究】题2中，将条件“an+1=3an+1”换为“an+1=3an+3n+1”. (1)证明 是等差数列，并求an的通项公式. (2)求an的前n项和.,【解析】(1)因为an+1=3an+3n+1， 所以 ，即 所以 是首项为 ，公差为1的等差数列， 所以 = +(n-1)1，即an=(3n-2)3n-1.,(2)记a
7、n的前n项和为Sn， 则Sn=130+431+732+1033+(3n-2)3n-1， 3Sn=131+432+733+1034+(3n-5)3n-1+(3n-2)3n. 两式相减得 -2Sn=1+3(31+32+33+3n-1)-(3n-2)3n =1+3 -(3n-2)3n， 所以Sn= (6n-7)3n+ .,【规律总结】非等差、等比数列求和问题的求解方法 (1)当数列an既不是等差数列又不是等比数列时，在求数列an的前n项和时，可通过转化的思想，将数列的求和问题转化为等差或等比数列求和问题解决，常用的方法有分组求和、裂项求和等. (2)非等差、等比数列求通项问题，可对an所满足的关系式
8、进行变形，转化为等差或等比数列，借助于求和公式得出数列的通项公式.,【拓展延伸】裂项求和的两种常见类型 类型一：分式型，如 裂成两项差的形式； 类型二：根式型，如 裂成两项之差 的形式.,类型三等比数列及前n项和的综合应用 1.已知an是等比数列，a2=2，a5= ，则a1a2+a2a3+anan+1 =() A.16(1-4-n)B.16(1-2-n) C. (1-4-n)D. (1-2-n) 2.(2013湖南高考)设Sn为数列an的前n项和，Sn=(-1)nan- ，nN*，则(1)a3=. (2)S1+S2+S100=.,【解题指南】1.由a2，a5求出公比，再根据anan+1也为等比
9、 数列，求和. 2.(1)令n=1，求出a1，再令n=3即可得到答案. (2)通过an=Sn-Sn-1=(-1)nan- -(-1)n-1an-1+ 整理可发现当n为偶数时有an-an-1= ，于是代入第(2)问的 展开式即可得到答案.,【自主解答】1.选C.由a5=a2q3得q3= 所以q= 而数列anan+1也为等比数列， 首项a1a2=8，公比q2= 所以a1a2+a2a3+anan+1=,2.(1)由Sn=(-1)nan- ，nN*， 当n=1时，有a1=(-1)1a1- ，得a1= 当n2时，an=Sn-Sn-1=(-1)nan- -(-1)n-1an-1+ 即an=(-1)nan+
10、(-1)nan-1+ . 若n为偶数，则an-1=- (n2). 所以an= (n为正奇数)； 若n为奇数，则an-1=-2an+ =(-2) 所以an= (n为正偶数).所以a3=,(2)因为an= (n为正奇数)， 所以-a1= 又an= (n为正偶数)，所以a2= 则-a1+a2=2 则-a3+a4=2 -a99+a100=2,所以，S1+S2+S3+S4+S99+S100 =(-a1+a2)+(-a3+a4)+(-a99+a100)- 答案：,【规律总结】与Sn有关问题的求解步骤 (1)分析题设条件. (2)分清是an与an+1的关系，还是an与Sn的关系. (3)转化为等差数列或等比
11、数列，特别注意an=Sn-Sn-1(n2，n为正整数)在an与Sn的关系中的应用. (4)整理求解.,【变式训练】(2013新课标全国卷)若数列an的前n项和 Sn= 则an的通项公式是an=.,【解题指南】先利用S1=a1求出a1的值，再利用Sn-Sn-1=an(n2) 求出通项公式an. 【解析】由S1= =a1，解得a1=1，又Sn= 所以Sn- Sn-1= an-1=an，得 =-2，所以数列an是首项为1， 公比为-2的等比数列.故数列的通项公式an=(-2)n-1. 答案：(-2)n-1,【拓展类型】等比数列在实际中的应用 1.某家用电器一件现价2000元，实行分期付款，每期付款数
12、相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款元(1.008121.1).,2.某市2015年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2016 年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比 上一年增加50%，试问： (1)该市在2022年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总 量的 ？(lg657=2.82，lg2=0.30，lg3=0.48),【解题指南】1.设出每期应付款数，根据每期付款的本利和等于2000元的本利和求解应付款数. 2.(1)根据题意，从
13、2016年起，每年的电力型公交车数量构成等比数列，而2022年电力型公交车数量为该数列的第7项. (2)由等比数列的前n项和，建立不等关系求解.,【解析】1.设每期应付款x元，则第1期付款以及最后一次付款 时所生利息为x(1+0.008)11元；第2期付款以及到最后一次付 款所生利息为x(1+0.008)10元；第12期付款(无利息)为 x元，所以各期付款连同利息之和为：x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+x= 元，于是有 =20001.00812， 解得x= 176(元). 答案：176,2.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列 an，其中a1=128，q=1.
14、5，则在2022年应该投入的电力型 公交车为a7=a1q6=1281.56=1458(辆). (2)记Sn=a1+a2+an，依据题意， 得 即Sn5000， 由Sn= 5000，得1.5n,两边取常用对数，则nlg1.5lg ， 即n 7.3，又nN*，因此n8. 所以到2023年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车 总量的,【规律总结】1.解决数列应用问题的注意点 解决数列应用问题应注意所求的问题是等差数列问题，还是等比数列问题，是求an还是求Sn，特别是项数的多少. 2.对分期付款的理解 (1)分期付款分若干次付款，每次付款的款额相同，各次付款的时间间隔相同. (2)分期付款中各期所付的款额连同最后一次付款时所产生的利息和，等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和.,