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1、正弦定理,正弦定理,1.1.1 正弦定理,在RtABC中,各角与其对边(角A的对边一般记为a，其余类似)的关系:,不难得到:,C,B,A,a,b,c,在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?,所以AD=csinB=bsinC, 即,同理可得,过点A作ADBC于D,此时有,若三角形是锐角三角形, 如图1,且,仿(2)可得,若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有,交BC延长线于D,过点A作ADBC，,正弦定理:,即,在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.,思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？,（R为ABC外接圆半径）,另证1:,证明：,作外接圆O,过B作直径BC,连接AC,
2、另证2:,证明：,而,同理,ha,剖析定理、加深理解,1.正弦定理可以解决三角形中的问题：,已知两角和一边，求其他角和边,已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角,剖析定理、加深理解,2.A+B+C=,3.大角对大边，大边对大角,剖析定理、加深理解,4.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。,剖析定理、加深理解,5.正弦定理的变形形式,6.正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化,正弦定理的应用一：,例 1.在ABC 中，已知c = 10, A = 45
3、。, C = 30。，解三角形 (精确到0.01）.,已知两角和任意边， 求其他两边和一角,.,例 2.,已知a=16， b= ， A=30 . 解三角形.,已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角,解：由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,当120时,变式: a=30, b=26, A=30，解三角形.,由于154.3+30180,故B只有一解（如图）,C=124.3,变式: a=30, b=26, A=30，解三角形.,所以,25.7,C=124.3,a b A B ,三角形中大边对大角,课堂小结,（1）三角形常用公式：,（2）正弦定理的应用,正弦定理：,课后作业,P1
4、0 习题1.1A组 1， 2（1）（2）,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角,根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30.,A=90，C=60，c= ,(2) b=40，c=20，C=45.,练习,注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解,无解,课堂小结,（2）正弦定理应用范围：,已知两角和任意边，求其他两边和一角,已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况),(1)正弦定理：,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?,课后思考,例：在ABC中，已知a2，b ，A45， 求B和c。,变式1：在ABC中，已知a4，b ，A45， 求B和c。,变式2：在ABC中，已知a ，b ，A45， 求B和c。,正弦定理应用二： 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进 而可求其他的边和角。（要注意可能有两解）,练习2.在 ABC中，若 a=2bsinA，则B（ ） A. B. C. D.,或,或,练习3.在ABC中， ，则ABC的形状是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形,练习1、在ABC中，若A:B:C=1:2:3，则 a:b:c( ) A.1:2:3 B.3:2:1 C.1: :2 D.2: :1,自我提高！,