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1、2.2.1 等差数列,观察并发现:下面数列有什么共同特点?,(2)鞋的尺寸,按照国家统一规定,有: 22,22.5,23,23.5,24,24.5,25,25.5,26,,(1)0,5,10,15,20,25,,(3)21,19,17,15, (4)3,3,3,3,,5,0.5,0,-2,一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差, 公差 通常用字母 d 表示。,一、等差数列的定义:,注意: 等差数列的定义可用符号表示为:,an+1-an=d (nN*) ,其中d为常数 (或an-an-1=d,n2 ),
2、一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差, 公差 通常用字母 d 表示。,一、等差数列的定义:,思考1:若一数列的前4项分别是“1,3,5,7”,那么 这个数列是等差数列吗?为什么?,思考2:数列 ,是等差数列吗? 为什么?,练习:求出下列数列的公差. (1)1,6,11,16, (2)-8,-6,-4,-2, (3)10,5,0,-5, (4)21,19,17,15, (5)3,3,3,3,,已知数列an是等差数列,d是公差,则: 当d=0时, an为常数列; 当d0时, an为递增数列; 当d0时,
3、 an为递减数列;,思考:上述数列的公差与该数列的类型有关系吗?,d=5 d=2 d=-5 d=-2 d=0,练习:在下列两个数中间再插入一个数,使这三个数组成 一个等差数列,并思考插入的这个数与原有两数的关系。 (1)-1,5; (2)-12,0.,(1)-1,2,5 (2)-12,-6,0,如果在a与c中间插入一个数b,使a,b,c组成一个 等差数列,则中间的数b叫做a与c的等差中项,且,思考:若已知等差数列an的首项是a1,公差是d,能否求出通项公式?,若已知等差数列an的首项是a1,公差是d,则有:,a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d a4=a3+d=(a1
4、+2d )+d=a1+3d an=an-1+d=a1+(n-1)d,又当n=1时,上式也成立 an=a1+(n-1)d,方法1:由等差数列的定义可得 a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,,不完全归纳法,二、等差数列的通项公式:,若已知等差数列an的首项是a1,公差是d,则有:,a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d an-an-1=d,上述各式两边同时相加,得,an-a1=(n-1)d,方法2:由等差数列的定义可得,叠加法,an=a1+(n-1)d,二、等差数列的通项公式:,若等差数列an的首项是a1,公差是d,则 an=a1+(n-1)d,练习:求出下列数列的通项公式.
5、(1)10,5,0,-5, (2)21,19,17,15,,an=-5n+15,an=-2n+23,例1. (1)等差数列8,5,2,的第20项是几? (2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,的项? 如果是,是第几项?,(2)由题意得,a1=-5,d=-4 设an=-401,则有 -401=-5+(n-1)(-4) 解得 n=100 -401是这个数列的第100项,解: (1)依题意得,a1=8,d=5-8=-3 a20=a1+19d=8+19(-3)=-49,二、等差数列的通项公式:,若等差数列an的首项是a1,公差是d,则 an=a1+(n-1)d,等差数列的通项公式中包含四个量:
6、 an、a1、n、d 这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.,解:(1)依题意得 a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 a25=a1+24d = -2+243=70,例2.在等差数列an中, a5=10, (1)若a12=31,求a25 ; (2)若d=2,求a10;,解:(2)a5=a1+4d=a1+42=10 a1= 2 a10=a1+9d = 2+92=20,例2.在等差数列an中, a5=10, (1)若a12=31,求a25 ; (2)若d=2,求a10;,题结:在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有关等差数列的问题,如果
7、条件与结论之间的联系不明显,则均可化成有关a1与d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量。,例2.在等差数列an中, a5=10, (1)若a12=31,求a25 ; (2)若d=2,求a10;,在等差数列an中,若知道第k项 ak及公差d,则有,an=ak+(n-k)d,思考:第(2)题能不求a1直接求a10吗?,练习、a10=a6+ d, a99=a32+ d.,4,67,拓展:在等差数列an中, 若a5=10,a12=31,求a25 。,解:设等差数列an的公差为d,则依题意有 a25=a5+20d = 10+203=70,练习:在下列两个数中间再插入两个数,
8、使这四个数组成 一个等差数列,(1)-1,5; (2)-12,0.,作业:,1、课本P40A组第1题,二、等差数列的通项公式:,若等差数列an的首项是a1,公差是d,则 an=a1+(n-1)d,练习2:在等差数列an中, (1)已知a1= -1,d = 4,则a8 =_;,27,(2)已知a1=15,an=3,d= -3,则n=_;,5,(3)已知a1=8,a6=23,则d=_;,3,(4)已知d=2,a7=9,则a1 =_ ;,-3,注意:在等差数列中,an、a1、n、d 这四个量只需知道 其中的三个就可以求出第四个.,思考:下列数列有什么共同的特点? (1)1,6,11,16, (2)-
9、8,-6,-4,-2, (3)10,5,0,-5, (4)21,19,17,15, (5)3,3,3,3,,练习:在等差数列an中, (1)已知a1= -1,d = 4,求a8 ;,解:a8=a1+7d=-1+74=27,(2)已知a1=15,an=3,d= -3,求n;,解:3=15-3(n-1) n=5,(3)已知a1=8,a6=23,求d;,解:a6=a1+5d,即23=8+5d d=3,(4)已知d=2,a7=9,求a1;,解:a7=a1+6d 即9=a1+62 a1=-3,练习:求出下列等差数列的公差. (1)1,6,11,16, (2)-8,-6,-4,-2, (3)10,5,0,-5, (4)21,19,17,15, (5)3,3,3,3,,当_时, an为常数列; 当_时, an为递增数列; 当_时, an为递减数列;,等差数列的公差与该数列的类型的关系:,d=5 d=2 d=-5 d=-2 d=0,d=0,d0,d0,等差数列的通项公式中包含四个量: an、a1、n、d 这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.,5,3,-3,