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1、因数与倍数应用题答案因数与倍数应用题答案一、求因数的个数类应用题一、求因数的个数类应用题 1 1、筐内有、筐内有 9696 个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，拿，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法共有多少种拿法分析解答：依题意，每次拿出的苹果数拿的次数分析解答：依题意，每次拿出的苹果数拿的次数 =96=96，这个等式说明了什么呢说明了每次拿的苹果数和拿的次数这个等式说明了什么呢说明了每次拿的苹果数和拿的次数是是 9696 的因数（或约数）的因数（或约数） ，这样一分析，我们
2、就知道解答此题，这样一分析，我们就知道解答此题实际上是要求实际上是要求 9696 的因数分个数有多少个。的因数分个数有多少个。 96=3 96=32525，因因数个数定理公式知：，因因数个数定理公式知： 9696 的因数个数是：的因数个数是：（1+11+1）（）（5+15+1）=12=12 个；个； 12 12 个因数包括了个因数包括了 1 1 和和 9696 这两个因数，题目要求不能一次这两个因数，题目要求不能一次拿完，即：拿完，即：1 1 次次9696 个个=96=96 个，这种情况要排除；同时也不个，这种情况要排除；同时也不能一个一个地拿，即：能一个一个地拿，即：9696 次次1 1 个
3、个=96=96 个也要排除；个也要排除；所以共有：所以共有：12122=102=10（种）拿法。（种）拿法。 2 2、 （19961996 年日本算术奥林匹克竞赛）有年日本算术奥林匹克竞赛）有 5050 张卡片，分别张卡片，分别写着写着 1 15050 这这 5050 个数字，正反两面写的数字相同，卡片一个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝，某班有面是红，一面是蓝，某班有 5050 名学生，老师把名学生，老师把 5050 张卡片中张卡片中蓝色的一面朝上摆在桌子上，对同学们说：蓝色的一面朝上摆在桌子上，对同学们说：“请你们按学号“请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：凡是卡
4、片上的数是自己顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：凡是卡片上的数是自己学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻红，红翻蓝”学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻红，红翻蓝”，那么当每，那么当每个同学都翻完后，红色朝上的卡片有几张个同学都翻完后，红色朝上的卡片有几张分析解答：由“凡是卡片上的数是学号的倍数，把它翻过分析解答：由“凡是卡片上的数是学号的倍数，把它翻过来”知道，卡片翻几次的由卡片上的数的因数个数决定的，来”知道，卡片翻几次的由卡片上的数的因数个数决定的，卡片上的数的因数个数是几，就翻动几次。那么一张卡片翻卡片上的数的因数个数是几，就翻动几次。那么一张卡片翻动几次红色朝上呢我们需要找规律，动几次红色朝上呢我
5、们需要找规律，怎样找规律呢老师讲过怎样找规律呢老师讲过从特殊到一般找规律。我们要一下找出从特殊到一般找规律。我们要一下找出 5050 张卡片的规张卡片的规律有困难，我们只研究一张卡片。开始时是“蓝色朝上”律有困难，我们只研究一张卡片。开始时是“蓝色朝上”翻动一次，红色朝上；翻动两次蓝色朝上（还原到原翻动一次，红色朝上；翻动两次蓝色朝上（还原到原来的状态）来的状态）翻动翻动 3 3 次又的红色朝上翻动次又的红色朝上翻动 4 4 次蓝色朝次蓝色朝上；从中找到规律：翻动奇数次的卡片是红色朝上的；上；从中找到规律：翻动奇数次的卡片是红色朝上的；翻动偶数次的卡片是蓝色朝上。下面思考，翻动偶数次的卡片是蓝
6、色朝上。下面思考， 1 15050 这这 5050个数中那些数的因数个数是奇数我们学习了因数的个数定个数中那些数的因数个数是奇数我们学习了因数的个数定理：一个完全平方数的因数是奇数个，其它的数的因数是偶理：一个完全平方数的因数是奇数个，其它的数的因数是偶数个（包括数个（包括 1 1 和自身因数）和自身因数） ，这样问题就得到了解决，看，这样问题就得到了解决，看 1 15050 中那几个数是完全平方数，显然只有：中那几个数是完全平方数，显然只有：1 1，4 4，9 9，1616，2525，3636，4949。下面的问题就是怎么叙述解答过程，。下面的问题就是怎么叙述解答过程，关于怎么叙述问题，这是
7、现在五年级学生面临的一个难关于怎么叙述问题，这是现在五年级学生面临的一个难点，因为此题的解答过程包含证明推理，而命题的证明要到点，因为此题的解答过程包含证明推理，而命题的证明要到初中二年级才开始学习。初中二年级才开始学习。为了家长帮助学生建立这方面的能为了家长帮助学生建立这方面的能力，力，什么是推理和证明推理是反映从已知判断得出新的判断什么是推理和证明推理是反映从已知判断得出新的判断的思维形式。一般地讲逻辑推理只有两种形式，即：假设判的思维形式。一般地讲逻辑推理只有两种形式，即：假设判断如果断如果 A A 推出推出 B B（大前提）（大前提） ，如果有，如果有 A A 这个条件（小前这个条件（
8、小前提）提） ，则必定有，则必定有 B B（结论）（结论） ；第二种形式就是选言判断，或者；第二种形式就是选言判断，或者B B 成立或者成立或者 B B 的否定成立（大前提）的否定成立（大前提） ，如果，如果 B B 的否定不成立，的否定不成立，（小前提）（小前提） ，则必有，则必有 B B 成立（结论）成立（结论） 。数学问题解答过程虽然。数学问题解答过程虽然不必规定唯一的叙述形式，但应有统一的要求，即叙述形式不必规定唯一的叙述形式，但应有统一的要求，即叙述形式应合乎逻辑。五年级学生没有学习命题的证明，只要能够把应合乎逻辑。五年级学生没有学习命题的证明，只要能够把推理的过程说清楚就可以了，推
9、理的过程说清楚就可以了，现在说明推理的过程是有一定现在说明推理的过程是有一定的困难，不要紧，从现在去慢慢练习，也为上中学作准备。的困难，不要紧，从现在去慢慢练习，也为上中学作准备。下面叙述如下：下面叙述如下：解答示范：每张卡片翻动奇数下红色朝上，根据规则，凡解答示范：每张卡片翻动奇数下红色朝上，根据规则，凡是卡片上的数是学生学号的倍数，就把卡片翻动一次。也就是卡片上的数是学生学号的倍数，就把卡片翻动一次。也就是是 1 15050 这这 5050 个数它有多少个因数，卡片就翻动它的因数个数它有多少个因数，卡片就翻动它的因数个次数。因为完全平方数的因数个数是奇数，个次数。因为完全平方数的因数个数是
10、奇数，1 15050 中完中完全平方数“全平方数“1 1，4 4，9 9，1616，2525，3636，4949”的因数是奇数个，”的因数是奇数个，这些卡片被翻动了奇数次，所以，红色卡片朝上的一共有这些卡片被翻动了奇数次，所以，红色卡片朝上的一共有 7 7张，它们分别是：写有数的“张，它们分别是：写有数的“ 1 1，4 4，9 9，1616，2525，3636，4949”卡片。卡片。 3 3、在、在 100100 至至 300300 之间，只有三个因数的数是多少之间，只有三个因数的数是多少分析及解答：通过上面一题的解答，我们知道“完全平方分析及解答：通过上面一题的解答，我们知道“完全平方数的因
11、数个数是奇数个”数的因数个数是奇数个” ， 100100 至至 300300 之间的数的因数个数只之间的数的因数个数只有有 3 3 个的数一定是完全平方数。个的数一定是完全平方数。但要清楚是不是完全平方数但要清楚是不是完全平方数的因数都是的因数都是 3 3 个呢我们研究一下，个呢我们研究一下，42=1642=16 是完全平方数，它是完全平方数，它的因数个数是：的因数个数是：42=2442=24，根据学习过的因数个数定理：，根据学习过的因数个数定理：1616 的的因数个数是：因数个数是：4+1=54+1=5 个。同学们发现什么规律没有只有个。同学们发现什么规律没有只有质数的平方的数的因数是质数的
12、平方的数的因数是 3 3 个，如个，如 2222，3232， ，5252，7272，112112，132132，我们把问题转化为求我们把问题转化为求“100100 至至 300300 之间有那几个之间有那几个数是质数的平方的数”数是质数的平方的数” 。解答：因为只有质数的平方的数的因数是解答：因为只有质数的平方的数的因数是 3 3 个，在个，在100100 至至300300 之间只有之间只有 7 7 个完全平方数：个完全平方数：112112，122122，172172，但只有，但只有1111，1313，1717 是质数。所以只有是质数。所以只有 112=121112=121，132=16913
13、2=169，172=289172=289这三个数的因数是这三个数的因数是 3 3 个。个。二、分解质因数类应用题二、分解质因数类应用题 1 1、有、有 4 4 个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大 1 1 岁，岁，并且他们年龄的乘积是并且他们年龄的乘积是 360360，那么其中年龄最大的一个是多，那么其中年龄最大的一个是多少岁少岁分析解答像这种题，有的地方中考都出过，主要考察分析解答像这种题，有的地方中考都出过，主要考察学生灵活运用知识的能力。学生灵活运用知识的能力。对于小学生此题解答的思考不会对于小学生此题解答的思考不会出现干扰，但中学生因为方程的知识比较
14、牢固，认为问题中出现干扰，但中学生因为方程的知识比较牢固，认为问题中的数量关系明显，列方程解答一定能够解出来。设的数量关系明显，列方程解答一定能够解出来。设 4 4 个人的个人的年龄分别是：年龄分别是：X X， X+1 X+1， X+2 X+2， X+3 X+3 列方程是：列方程是：X X（X+1X+1） （X+2X+2）（X+3X+3）=360=360， 这个方程是高次方程，一般中学生是解不出这个方程是高次方程，一般中学生是解不出来，只有学习了奥数的同学才有办法解答。下面用学习过小来，只有学习了奥数的同学才有办法解答。下面用学习过小学奥数“转化的思想”老师解答一下，再次说明，学习数学学奥数“
15、转化的思想”老师解答一下，再次说明，学习数学要学习数学方法，看看小学奥数学习过的“转化数学思想”要学习数学方法，看看小学奥数学习过的“转化数学思想”的作用。的作用。 X X（X+1X+1） （X+2X+2） （X+3X+3）=360=360， 高次方程我们通过转化高次方程我们通过转化把它转化学习过的知识处理：初中一元二次方程。把它转化学习过的知识处理：初中一元二次方程。原方程变形为：原方程变形为： （X2+3XX2+3X） （X2+3X+2X2+3X+2）360=0360=0；（X2+3XX2+3X）2 2+2+2（X2+3XX2+3X）360=0360=0上面转化为我们学习过的一元二次方程了
16、，上面转化为我们学习过的一元二次方程了，这中关键的一这中关键的一步。步。设：设： （X2+3XX2+3X）=Y=Y， 即：即：Y2+2YY2+2Y360=0360=0， 解答解答 Y1=Y1= 2020（舍去）（舍去） ，Y2=18Y2=18；因假设知：因假设知： （X2+3XX2+3X）=18=18，解这个一元二次方程：，解这个一元二次方程：X1=X1= 6 6（舍去）（舍去） ，X2=3X2=3这样这样 4 4 个人年龄中最大的是：个人年龄中最大的是：X+3=6X+3=6 岁。岁。方法二，分解质因数方法方法二，分解质因数方法从上面解答过程看，用代数的方法解答过程是复杂的，有从上面解答过程看
17、，用代数的方法解答过程是复杂的，有时，在解答数学问题中，算术方法更为简便。这在中学处理时，在解答数学问题中，算术方法更为简便。这在中学处理有些问题中也经常用到。特别是在解答选择和填空题时。有些问题中也经常用到。特别是在解答选择和填空题时。 360=23 360=2332325 5；然后按照题意，然后按照题意，把上面分解后的把上面分解后的 6 6 个数进行组合成为个数进行组合成为 4 4 个个数的乘积，即：数的乘积，即： 360=3 360=34 45 56 6； 显然最大的年龄是显然最大的年龄是 6 6 岁。岁。 2 2，某班王老师带领全班同学去植树，学生恰好平均分成，某班王老师带领全班同学去
18、植树，学生恰好平均分成三组，如果老师与同学每人植树一样多，则共植树三组，如果老师与同学每人植树一样多，则共植树 572572 棵，棵，那么这个班有学生多少人，每人植树多少棵那么这个班有学生多少人，每人植树多少棵分析解答依题意知道分析解答依题意知道 ，植树总数植树总数= =每人植树棵数师每人植树棵数师生总数，生总数，师生总数师生总数= =每组学生数每组学生数3 3 组组+1+1 名老师，说明师生总数除名老师，说明师生总数除以以 3 3，余数是，余数是 1 1。 572=2 572=22 211111313，依题意，把分解得到是质因数进行组合得：依题意，把分解得到是质因数进行组合得： 572=11
19、 572=1152=1152=11（51+151+1）因此，这个班学生因此，这个班学生 5151 人，每人植树人，每人植树 1111 棵；棵；注意：注意：572=44572=4413=4413=44（12+112+1） ，这里，全班人数，这里，全班人数 1212 人，人，老师老师 1 1 人，每人植树人，每人植树 4444 棵情况不符合题意一个班学生棵情况不符合题意一个班学生人数应该不是人数应该不是 1212 人；人；三、奇数与偶数类应用题三、奇数与偶数类应用题自然数按奇偶性分类，分为奇数与偶数，利用奇数和偶数自然数按奇偶性分类，分为奇数与偶数，利用奇数和偶数的性质可以解决一些有趣的问题。的性
20、质可以解决一些有趣的问题。奇数与偶数的性质奥数教材第奇数与偶数的性质奥数教材第 2121 页进行了归纳，这些性页进行了归纳，这些性质要熟记。几点要注意：质要熟记。几点要注意： 1 1，偶数个奇数的和是偶数，奇数个奇数的和是奇数；，偶数个奇数的和是偶数，奇数个奇数的和是奇数； 2 2，在运算中，加法与减法运算结果的的奇偶性不变。也，在运算中，加法与减法运算结果的的奇偶性不变。也就是：就是： 偶数个奇数的差是偶数，偶数个奇数的差是偶数， 奇数个奇数的差仍然是奇数；奇数个奇数的差仍然是奇数； 3 3、奇数偶数、奇数偶数例题例题 1 1：9 9 只杯子全部口朝上，每次翻动其中的只杯子全部口朝上，每次翻
21、动其中的 4 4 只杯子，只杯子，能否经过若干次翻动，使能否经过若干次翻动，使 9 9 只杯子开口全部朝下只杯子开口全部朝下分析解答由题目知道，每次翻动分析解答由题目知道，每次翻动 4 4 只杯子，翻动若干只杯子，翻动若干次，那么具体一共翻动的次数的确切数是无法确定的。审题次，那么具体一共翻动的次数的确切数是无法确定的。审题后要知道后要知道 ，一个问题只能用奇偶性解决。我们先研究一只，一个问题只能用奇偶性解决。我们先研究一只杯子，翻动杯子，翻动 1 1 次口朝下，翻动次口朝下，翻动 2 2 次口朝上，翻动次口朝上，翻动 3 3 次口朝次口朝下，每只杯子要口朝下必须翻动奇数次，这样问题就找下，每
22、只杯子要口朝下必须翻动奇数次，这样问题就找到了解答的方案。到了解答的方案。叙述解答过程：每只杯子只有翻动奇数次口才能朝下，要叙述解答过程：每只杯子只有翻动奇数次口才能朝下，要使使 9 9 只杯子口全部朝下，翻动的总次数是只杯子口全部朝下，翻动的总次数是 9 9 个奇数的和。因个奇数的和。因为奇数个奇数的和是奇数，所以，翻动的总次数是奇数。依为奇数个奇数的和是奇数，所以，翻动的总次数是奇数。依题意，每次翻动题意，每次翻动 4 4 只杯子，翻动的总次数是只杯子，翻动的总次数是 4 4 的倍数，这个的倍数，这个总次数是偶数，前后矛盾，即奇数偶数，所以，无论怎么总次数是偶数，前后矛盾，即奇数偶数，所以
23、，无论怎么翻动，都不能使翻动，都不能使 9 9 只杯子的口朝下。只杯子的口朝下。例题例题 2 2（奇偶性中的周期问题）一个会议室有（奇偶性中的周期问题）一个会议室有 9 9 盏灯，从盏灯，从1 19 9 依次编号，开始时，只有编号是依次编号，开始时，只有编号是2 2，6 6，9 9 的灯是亮着的灯是亮着的，的，一个同学按一个同学按 1 19 9，再按再按 1 19 9 顺序不停地拉动开关，顺序不停地拉动开关，一共拉了一共拉了 300300 下，这时编号是几的灯是不亮着的。下，这时编号是几的灯是不亮着的。分析解答每盏灯拉动开关奇数下改变原来的状态，分析解答每盏灯拉动开关奇数下改变原来的状态，即即
24、暗的变亮，亮的变暗。暗的变亮，亮的变暗。 300 3009=339=333 3，所以，所以，1 1，2 2，3 3 号灯拉动了号灯拉动了 3434 次，拉了次，拉了偶数下，不改变原来的状态，即原来是亮的仍然亮，原来是偶数下，不改变原来的状态，即原来是亮的仍然亮，原来是暗的仍然暗；暗的仍然暗；4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9 拉了拉了 3333 下，是奇数下，改下，是奇数下，改变原来的的状态，原来亮的变暗，原来暗的变亮。所以不亮变原来的的状态，原来亮的变暗，原来暗的变亮。所以不亮的灯是：的灯是：1 1，3 3，6 6，9 9 号。号。四，数的倍数（整除）类应用题四，数的倍数（整除）
25、类应用题数论问题是数学“王国”中最有趣的数学知识，无论你的数论问题是数学“王国”中最有趣的数学知识，无论你的学历高低都能够研究这部分的内容，通过对数论的研究，可学历高低都能够研究这部分的内容，通过对数论的研究，可以训练人的分析问题和逻辑推理能力。以训练人的分析问题和逻辑推理能力。要熟练地解答整除问要熟练地解答整除问题类应用题，必须对题类应用题，必须对 2 2，5 5；4 4，2525；8 8，125125；3 3，9 9；7 7，1111，1313 倍数的数的特征倍数的数的特征（或能够被以上数整除的数的特征）（或能够被以上数整除的数的特征）十分十分清楚，并能够把知识灵活运用。清楚，并能够把知识
26、灵活运用。例题例题 1 1（奥数教材第（奥数教材第 2929 页练习页练习 3 3）六一儿童节快到了，四）六一儿童节快到了，四（2 2）班的同学分成）班的同学分成 4 4 组做绸花，每个小组做的绸花一样多，组做绸花，每个小组做的绸花一样多，马大哈统计了一下说“还是人多力量大，大家一共做了马大哈统计了一下说“还是人多力量大，大家一共做了 246246朵绸花”朵绸花” ，马大哈统计对了吗为什么，马大哈统计对了吗为什么分析解答四（分析解答四（2 2）班同学做的花总数）班同学做的花总数= =每个组做的花每个组做的花4 4，花的总数是，花的总数是 4 4 的倍数；下面就看的倍数；下面就看 246246
27、朵是不是朵是不是 4 4 的倍数，的倍数，问题就解决了。问题就解决了。答：答： 马大哈统计错了。马大哈统计错了。因为，因为，花的总数花的总数= =每个组做的花每个组做的花4 4，花的总数是花的总数是 4 4 的倍数；的倍数；4 4 是倍数的数的特征是末两位数的是倍数的数的特征是末两位数的 4 4的倍数，而的倍数，而 246246 的麦两位数的麦两位数 4646 不能被不能被 4 4 整除，整除，246246 不是不是 4 4的倍数，所以，马大哈统计错了。的倍数，所以，马大哈统计错了。例例 2 2、有有 7272 名学生，名学生，共交课间餐费元，共交课间餐费元，平均每人交多少元平均每人交多少元分
28、析解答把课间餐费化为分，则总钱数分析解答把课间餐费化为分，则总钱数 A527BA527B（分）（分）一定是总人数一定是总人数 7272 的倍数，又的倍数，又 72=872=89 9，所以，所以，A527BA527B 是是 8 8 和和9 9 的倍数。根据的倍数。根据 8 8 的倍数特征：一个数的后三位组成的数是的倍数特征：一个数的后三位组成的数是8 8 的倍数，这个数就是的倍数，这个数就是 8 8 的倍数。即：的倍数。即：27B27B 是的的倍数，只是的的倍数，只有有 B=2B=2， 这个数变为了这个数变为了 A5272A5272，又这个数是，又这个数是 9 9 的倍数，它的的倍数，它的各位数
29、字之和是各位数字之和是 9 9 的倍数，的倍数，A+5+2+7+2=A+16A+5+2+7+2=A+16，所以，所以，A=2A=2，7272 名学生的课间餐费总数是：名学生的课间餐费总数是：2527225272 分；平均每个同学交：分；平均每个同学交：252722527272=35172=351（分）（分）= =（元）（元）例题例题 3 3（奥数教材第（奥数教材第 3434 页练习页练习 4 4） 、新学期开学了，学校、新学期开学了，学校为了使同学们有一个更加方便的读书环境，新买了为了使同学们有一个更加方便的读书环境，新买了 1818 个书个书架，可是会计不小心把发票给弄污了，单价只剩下架，可
30、是会计不小心把发票给弄污了，单价只剩下 2 2 个数字个数字“2*02*0 元”元” ， 总价也只剩下总价也只剩下 2 2 个数字“个数字“*4*8*4*8*元”你能帮助元”你能帮助算出单价和总价吗算出单价和总价吗分析解答由题意，分析解答由题意， 总价一定是总价一定是 1818 的倍数，的倍数， 又又 18=218=29 9，总价一定能够被总价一定能够被 2 2 和和 9 9 整除，又单价的个位数字是整除，又单价的个位数字是 0 0，1818 乘乘以单价的个位数字一定是以单价的个位数字一定是 0 0，所以，总价的个位数为，所以，总价的个位数为 0 0，即：，即：总价是：总价是：A4B80A4B
31、80 元，这个数是元，这个数是 2 2、9 9 的倍数。又知道单价是的倍数。又知道单价是 2 2千多元，总价一定：千多元，总价一定： 18 1820002000总价总价181829902990，3600036000总价总价5382053820，而总价的，而总价的千位上的数字是千位上的数字是 4 4，所以总价万位的的数字只能是，所以总价万位的的数字只能是 4 4，所以，所以总价是：总价是：44B8044B80， 4+4+B+8+0=16+B 4+4+B+8+0=16+B 要是要是 9 9 的倍数，则的倍数，则 B=2B=2，总价是总价是 4428044280 元，单价是：元，单价是：442804428018=246018=2460（元）（元）