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1、精品文档2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创1 / 9因数与倍数应用题答案一、求因数的个数类应用题 1 、筐内有 96 个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？分析解答：依题意，每次拿出的苹果数拿的次数=96，这个等式说明了什么呢？说明了每次拿的苹果数和拿的次数是 96 的因数（或约数） ，这样一分析，我们就知道解答此题实际上是要求96 的因数分个数有多少个。 96=3 25，因因数个数定理公式知：96 的因数个数是：（1+1）（ 5+1）=12 个； 12个因数包括了1 和 96 这两个因数，题目要
2、求不能一次拿完，即： 1 次 96 个=96 个，这种情况要排除；同时也不能一个一个地拿，即：96 次 1 个=96 个也要排除；所以共有： 122=10（种）拿法。 2 、 （1996 年日本算术奥林匹克竞赛）有50 张卡片，分别写着 150 这 50 个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝，某班有50 名学生，老师把50 张卡片中蓝色的一面朝上摆在桌子上，对同学们说：“请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：凡是卡片上的数是自己学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻红，红翻蓝”，那么当每个同学都翻完后，红色朝上的卡片有几张？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
3、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品文档2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创2 / 9分析解答：由“凡是卡片上的数是学号的倍数，把它翻过来”知道，卡片翻几次的由卡片上的数的因数个数决定的，卡片上的数的因数个数是几，就翻动几次。那么一张卡片翻动几次红色朝上呢？我们需要找规律，怎样找规律呢？老师讲过从特殊到一般找规律。我们要一下找出50 张卡片的规律有困难， 我们只研究一张卡片。开始时是 “蓝色朝上”翻动一次，红色朝上；翻动两次蓝色朝上（还原到
4、原来的状态） 翻动 3 次又的红色朝上翻动4 次蓝色朝上； 从中找到规律： 翻动奇数次的卡片是红色朝上的；翻动偶数次的卡片是蓝色朝上。下面思考，1 50 这 50个数中那些数的因数个数是奇数？我们学习了因数的个数定理：一个完全平方数的因数是奇数个，其它的数的因数是偶数个 （包括 1 和自身因数） ，这样问题就得到了解决，看 1 50 中那几个数是完全平方数，显然只有：1，4，9，16，25，36，49。下面的问题就是怎么叙述解答过程，关于怎么叙述问题，这是现在五年级学生面临的一个难点，因为此题的解答过程包含证明推理，而命题的证明要到初中二年级才开始学习。为了家长帮助学生建立这方面的能力，什么是
5、推理和证明？推理是反映从已知判断得出新的判断的思维形式。一般地讲逻辑推理只有两种形式，即：假设判断如果A 推出 B（大前提），如果有A 这个条件（小前提），则必定有B（结论）；第二种形式就是选言判断，或名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品文档2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创3 / 9者 B 成立或者B 的否定成立（大前提） ，如果 B 的否定不成立， （小前提），则必有B 成立（结
6、论） 。数学问题解答过程虽然不必规定唯一的叙述形式，但应有统一的要求，即叙述形式应合乎逻辑。五年级学生没有学习命题的证明，只要能够把推理的过程说清楚就可以了，现在说明推理的过程是有一定的困难，不要紧，从现在去慢慢练习，也为上中学作准备。下面叙述如下：解答示范：每张卡片翻动奇数下红色朝上，根据规则，凡是卡片上的数是学生学号的倍数，就把卡片翻动一次。也就是 150 这 50 个数它有多少个因数，卡片就翻动它的因数个次数。因为完全平方数的因数个数是奇数，1 50 中完全平方数“ 1，4，9，16，25，36，49”的因数是奇数个，这些卡片被翻动了奇数次，所以，红色卡片朝上的一共有7张，它们分别是：写
7、有数的“1，4，9，16，25，36，49”卡片。 3 、在 100 至 300 之间，只有三个因数的数是多少？分析及解答：通过上面一题的解答，我们知道“完全平方数的因数个数是奇数个”， 100 至 300 之间的数的因数个数只有 3 个的数一定是完全平方数。但要清楚是不是完全平方数的因数都是3 个呢？我们研究一下，42=16 是完全平方数，它的因数个数是：42=24，根据学习过的因数个数定理：16的因数个数是：4+1=5 个。同学们发现什么规律没有？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
8、- - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品文档2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创4 / 9只有质数的平方的数的因数是3 个，如 22，32， ，52，72，112，132，我们把问题转化为求“100 至 300 之间有那几个数是质数的平方的数”。解答：因为只有质数的平方的数的因数是3 个，在 100 至300 之间只有 7 个完全平方数： 112，122， 172，但只有11，13，17 是质数。所以只有112=121，132=169，172=289这三个数的因数是3 个。二、分解质因数类应用题 1 、有 4 个小朋友，他们的年龄
9、恰好一个比一个大1 岁，并且他们年龄的乘积是360，那么其中年龄最大的一个是多少岁？分析解答像这种题，有的地方中考都出过，主要考察学生灵活运用知识的能力。对于小学生此题解答的思考不会出现干扰，但中学生因为方程的知识比较牢固，认为问题中的数量关系明显，列方程解答一定能够解出来。设4 个人的年龄分别是： X， X+1， X+2， X+3 列方程是： X （X+1） （X+2）（X+3）=360， 这个方程是高次方程，一般中学生是解不出来，只有学习了奥数的同学才有办法解答。下面用学习过小学奥数“转化的思想”老师解答一下，再次说明，学习数学要学习数学方法，看看小学奥数学习过的“转化数学思想”的作用。
10、X （X+1） （X+2） （X+3）=360， 高次方程我们通过转化名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品文档2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创5 / 9把它转化学习过的知识处理：初中一元二次方程。原方程变形为： （X2+3X） （X2+3X+2 ） 360=0；（X2+3X ）2 +2（X2+3X ） 360=0 上面转化为我们学习过的一元二次方程了，这中关键的一步。设： （X2+
11、3X ）=Y， 即： Y2+2Y 360=0， 解答Y1= 20（舍去），Y2=18；因假设知：（X2+3X ）=18，解这个一元二次方程：X1= 6（舍去），X2=3 这样 4 个人年龄中最大的是：X+3=6岁。方法二，分解质因数方法从上面解答过程看，用代数的方法解答过程是复杂的，有时，在解答数学问题中，算术方法更为简便。这在中学处理有些问题中也经常用到。特别是在解答选择和填空题时。 360=23 325；然后按照题意， 把上面分解后的6 个数进行组合成为4 个数的乘积，即： 360=3 456； 显然最大的年龄是6 岁。 2 ，某班王老师带领全班同学去植树，学生恰好平均分成三组，如果老师与
12、同学每人植树一样多，则共植树572 棵，那么这个班有学生多少人，每人植树多少棵？分析解答依题意知道，植树总数 =每人植树棵数师名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品文档2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创6 / 9生总数，师生总数 =每组学生数 3 组+1 名老师，说明师生总数除以 3，余数是 1。 572=2 21113，依题意，把分解得到是质因数进行组合得： 572=11 52=11
13、（ 51+1）因此，这个班学生51 人，每人植树11 棵；注意： 572=4413=44（12+1） ，这里，全班人数12 人，老师 1 人，每人植树44 棵情况不符合题意一个班学生人数应该不是12 人；三、奇数与偶数类应用题自然数按奇偶性分类，分为奇数与偶数，利用奇数和偶数的性质可以解决一些有趣的问题。奇数与偶数的性质奥数教材第21 页进行了归纳，这些性质要熟记。几点要注意： 1 ，偶数个奇数的和是偶数，奇数个奇数的和是奇数； 2 ，在运算中，加法与减法运算结果的的奇偶性不变。也就是：偶数个奇数的差是偶数，奇数个奇数的差仍然是奇数； 3 、奇数偶数例题 1：9 只杯子全部口朝上，每次翻动其中
14、的4 只杯子，能否经过若干次翻动，使9 只杯子开口全部朝下？分析解答由题目知道，每次翻动4 只杯子，翻动若干名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品文档2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创7 / 9次，那么具体一共翻动的次数的确切数是无法确定的。审题后要知道，一个问题只能用奇偶性解决。我们先研究一只杯子，翻动1 次口朝下，翻动2 次口朝上，翻动3 次口朝下，每只杯子要口朝下必须翻动奇数次，
15、这样问题就找到了解答的方案。叙述解答过程：每只杯子只有翻动奇数次口才能朝下，要使 9 只杯子口全部朝下，翻动的总次数是9 个奇数的和。因为奇数个奇数的和是奇数，所以，翻动的总次数是奇数。依题意，每次翻动4 只杯子，翻动的总次数是4 的倍数，这个总次数是偶数，前后矛盾，即奇数偶数，所以，无论怎么翻动，都不能使9 只杯子的口朝下。例题 2（奇偶性中的周期问题）一个会议室有9 盏灯，从1 9 依次编号，开始时，只有编号是2，6，9 的灯是亮着的，一个同学按1 9，再按 1 9 顺序不停地拉动开关，一共拉了 300 下，这时编号是几的灯是不亮着的。分析解答每盏灯拉动开关奇数下改变原来的状态，即暗的变亮
16、，亮的变暗。 300 9=33 3，所以， 1，2，3 号灯拉动了34 次，拉了偶数下，不改变原来的状态，即原来是亮的仍然亮，原来是暗的仍然暗； 4，5，6，7，8，9 拉了 33 下，是奇数下，改变原来的的状态，原来亮的变暗，原来暗的变亮。所以不亮的灯是： 1，3，6，9 号。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品文档2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创8 / 9四，数的倍数（整除）类
17、应用题数论问题是数学“王国”中最有趣的数学知识，无论你的学历高低都能够研究这部分的内容，通过对数论的研究，可以训练人的分析问题和逻辑推理能力。要熟练地解答整除问题类应用题，必须对2，5；4，25；8，125；3，9；7，11，13 倍数的数的特征 （或能够被以上数整除的数的特征）十分清楚，并能够把知识灵活运用。例题 1（奥数教材第29 页练习 3）六一儿童节快到了，四（2）班的同学分成4 组做绸花，每个小组做的绸花一样多，马大哈统计了一下说“还是人多力量大，大家一共做了246朵绸花”，马大哈统计对了吗？为什么？分析解答四（2）班同学做的花总数=每个组做的花4，花的总数是4 的倍数；下面就看24
18、6 朵是不是 4 的倍数，问题就解决了。答：马大哈统计错了。 因为，花的总数 =每个组做的花4，花的总数是4 的倍数； 4 是倍数的数的特征是末两位数的4的倍数，而246 的麦两位数46 不能被 4 整除， 246 不是 4的倍数，所以，马大哈统计错了。例 2、有 72 名学生，共交课间餐费A52.7B 元，平均每人交多少元？分析解答把课间餐费化为分，则总钱数A527B （分）一定是总人数72 的倍数，又72=89，所以， A527B是 8 和名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
19、- 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品文档2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创9 / 99 的倍数。根据8 的倍数特征：一个数的后三位组成的数是8 的倍数，这个数就是8 的倍数。即： 27B 是的的倍数，只有 B=2， 这个数变为了A5272，又这个数是9 的倍数，它的各位数字之和是9 的倍数， A+5+2+7+2=A+16 ，所以， A=2，72 名学生的课间餐费总数是：25272 分；平均每个同学交：2527272=351（分） =3.51 （元）例题 3（奥数教材第34 页练习 4） 、新学期开学了，学校为了使同学们有一个更加方便
20、的读书环境，新买了18 个书架，可是会计不小心把发票给弄污了，单价只剩下2 个数字“2*0 元” ， 总价也只剩下2 个数字“ *4*8* 元”你能帮助算出单价和总价吗？分析解答由题意， 总价一定是18 的倍数，又 18=29，总价一定能够被2 和 9 整除，又单价的个位数字是0，18 乘以单价的个位数字一定是0，所以，总价的个位数为0，即：总价是： A4B80元，这个数是2、9 的倍数。又知道单价是2千多元，总价一定： 18 2000总价 182990，36000总价 53820，而总价的千位上的数字是4，所以总价万位的的数字只能是4，所以总价是： 44B80， 4+4+B+8+0=16+B 要是 9 的倍数，则B=2，总价是 44280 元，单价是： 4428018=2460（元）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -