整式的乘法与因式分解复习.ppt

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1、整式的乘法整式的乘法同底数幂的乘法同底数幂的乘法幂的乘方幂的乘方积的乘方积的乘方单项式的乘法单项式的乘法aman=am+nam n( )=amnabn( )=anb na2x54x2a3b(-3 )=4 ( -3)a3a2( )x2x5( )b=-12a5bx7整式的乘法整式的乘法同底数幂的乘法同底数幂的乘法幂的乘方幂的乘方积的乘方积的乘方单项式的乘法单项式的乘法单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘多项式的乘法多项式的乘法aman=am+nam( )n=amnabn( )=anb na2x54x2a3b(-3 )m(a+b)=(a+b)(m+n)=ma+mbam+an+bm+bn底数不变底数不

2、变指数相乘指数相乘指数相加指数相加mnnmaa)(nmnmaaa同底数幂相乘同底数幂相乘幂的乘方幂的乘方其中其中m , n都是都是正整数正整数想想一一想想a2a3a5+=(1)a2aa2=(2)(x-y)2(y-x)5=(x-y)7(8)x2( )3=x5(4)a3x635-(x-y)7(y-x)747(6)(-5) (-5) =511-511(-3)233=(-3)5(7)2(5)35a2a=10a610a5(3)a3a3=2a3a6找一找找一找47-x2yz2( )74-xy2( )=x3y3105103-1021010( ) ( )-2 3( ) =-621-61-a2b3a8b27(

3、) 3=a3n23n( ) b2( )ab( ) =(A)(D)(B)(C)D6n口答练习口答练习x3x2=( )a62+a43( )=x x2( )3=x3x2002=71( )1997719982=( ) (-ab)-c2b3a3(1)(3)(7)-abc( ) (-ab)2=(6)(5)(4)(2)x52a12x7x19997-a3b3c2+abc比一比比一比算算计计(1)3x2( )3-7x3 x3-x4x2+1( )a2( )-2b2a+2b( )-2ab(a-b)(2)先化简，再求值先化简，再求值:其中其中a=1,b=21.公 式 的 反 向 使 用nmnmaaa mnnmmnaa

4、abababa323210102101710410）（）（，求下列各式的值，已知公 式 的 反 向 使 用- - - - - - - - -单项式 的 除法 法则 如何进行单项式除以单项式的运算如何进行单项式除以单项式的运算?除式的系数除式的系数被除式的系数被除式的系数解： (1).(2xy)(7xy)(14x4y)=-56x7y5 (14x4y)= -4x3y2解：(2).(2a+b)4(2a+b)=(2a+b)= 4a2+4ab+b2=8x6y3 (7xy)(14x4y)= (2a+b)4-2(1)(-a)(1)(-a)8 8(-a(-a2 2) )(2)-5a(2)-5a5 5b b3

5、3c c5a5a4 4b b3 3(4)-3a(4)-3a2 2x x4 4y y3 3(-axy(-axy2 2) )(5)(4(5)(410109 9) )(-2(-210103 3) )=-a=-a6 6=-ac=-ac=3ax=3ax3 3y y=-2=-210106 6 (3) 6m(3) 6m2 2n n(-2mn)(-2mn)= -3m= -3m多项式除以单项式的法则abcmmm例 题 解 析aaaa3)61527( 1 23）（)21()213( 2 22xyxyxyyx）（ 例题例题 )21(32xyyx )21(21xyxy x6 .1 21()2xyxy2y(1)(-2a

6、(1)(-2a4 4b b3 3c)c)3 3(-8a(-8a4 4b b5 5c)c)(3(3 ) )(-3.6(-3.610101010) )(-2(-210102 2) )2 2(3(310102 2) )2 2=a=a8 8b b4 4c c2 2= 10= 10(2)(6x(2)(6x2 2y y3 3) )2 2(3xy(3xy2 2) )2 2=4x=4x2 2y y2 22234)21()212)(4(xxxx乘法公式乘法公式平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式(两数和的平方）两数和的平方）(a+b)(a-b) =a2b2-(a+b)2=a2b22ab+二次三项型乘法公

7、式二次三项型乘法公式(x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab2 计算：计算： （1） （2x3）（）（2x3） （2） （x2）（）（x2） （3） （2xy）（）（2xy） （4） （yx）（）（xy） ( 5 )1998 例例1 计算计算 1998200219982002 =（2000-2）（）（2000+2）2222000=4000000-4=3999996解解22)2)(2()2)(1 (nmnm：计算想一想想一想下列计算是否正确？如不正确，应下列计算是否正确？如不正确，应如何改正？如何改正？(-x+6)(-x-6) =-x2-6(1)2-x-1(-x-1)(x+1) =(2)=

8、(-x)2-62=x2-36-(x+1)=(x+1)=-(x+1)2=+1( )x22x-=-x2-2x-1(3)(-2xy-1)(2xy-1) =1-2xy2=(-1)2-(2xy)22=1-4x y2222222222)(_)(4(_)() 3(25_4_)2)(2(_6_)(1 (yxyxbabaxxaaa：填空39520 x2ab4xy已知已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,则则ab=( )(1)（A） 1（B）-1（C） 0（D） 1或或-1(C)(D)(2) 如果如果4x +12xy+k是一个关于是一个关于x、y的完全的完全2平方式平方式，则则k=( )(A)(B)3y29y

9、2y36y 2是一个关于是一个关于x、y的完全平的完全平如果如果4x2+kxy+9y2方式，则方式，则k=( )AB+12（3）如果如果a+a1=3,则则a2+a21=( )(A) 7(B) 9(C) 10(D) 11所以所以=9a+a1( )2所以所以a +a1=922+2A故故a a1=72+2因为因为a+a1=3解：解：(a-2b+3)(a+2b-3)的结果是的结果是（ ）（A）22a+4b+12b-9（C）22a+4b -12b-9（B）a2-4b2-12b-9（D）a2-4b2+12b-9D（4）计算计算=a-(2b-3)a+(2b-3)=a2-(2b-3)2=a2-(4b -12b

10、+9)2 =a2-4b2+12b-9(a-2b+3)(a+2b-3)解：解：因式分解1.运用前两节所学的知识填空运用前两节所学的知识填空1).m(a+b+c)= .2).(a+b)(a-b)= .3).(a+b)2= .2.试一试试一试 填空填空:1).ma+mb+mc= m( )2).a2-b2=( )( )3).a2+2ab+b2=( )2ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b2你能发现这你能发现这两组等式之两组等式之间的联系和间的联系和区别吗区别吗?a+b+c(a+b)(a-b)a+b 一般地，把一个多项式转化成几个整式一般地，把一个多项式转化成几个整式的的的形式，叫做的形式，叫做，

11、有时我们也把，有时我们也把这一过程叫做这一过程叫做。定义定义理解概念判断哪些是因式分解判断哪些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5)(a-3)(a+3)=a2-9 因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法)43(43)6(2aaaaa两者都不是两者都不是像像(1)(1)这种因式分解的方法叫这种因式分解的方法叫提公因式法提公因式法像像(2),(3)(2),(3)利用乘法公式对多项式进行利用乘法公式对多项

12、式进行因式分解的这种因式分解的方法就称为因式分解的这种因式分解的方法就称为公式法公式法. .1) ma+mb+mc=m( a+b+c )2) a2-b2=(a+b)(a-b )3)a2+2ab+b2=(a+b)2注意事项注意事项 1) 首选提公因式法首选提公因式法,其次考虑公式法其次考虑公式法 2)两项考虑平方差法，三项考虑完全平方公式两项考虑平方差法，三项考虑完全平方公式 3）因式分解要砌底）因式分解要砌底 4）（可用整式的乘法检验）但不走回头路）（可用整式的乘法检验）但不走回头路找出下列各多项式中的公因式找出下列各多项式中的公因式2231218)3(525)2(1536)1 (babaaa

13、bcba找一找找一找公因式公因式系数系数字母字母35a6ab各项系数的各项系数的最最大大公约数公约数取每项中含有的取每项中含有的相同字母相同字母问问:多项式中的公因式是如何确定的？多项式中的公因式是如何确定的？指数指数相同字母的最相同字母的最低低次幂次幂易易错错分分析析25)()()xyyxy2 x223 ) 8 19ab24 )84xx34 x1、 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：1）18-2b 2) x4 126) 43 (43 )abab22)2()1(25)7xx1.选择题：3)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A. 4X+y B. 4 x- (-y) C. -4 X-y

14、 D. - X+ y4) -4a +1分解因式的结果应是 （ ）A. -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1)C. -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)DD拓展提高拓展提高1.把下列多项式因式分解把下列多项式因式分解1). 6x(a+2b)2-3x(a+2b)2). (b-a)2-2a+2b3). a(a-b)2+(b-a)3提公因式法因式分解1) 13.80.125+86.22) 0.7332-0.32633) 33+112+664)已知已知a+b=5,ab=3,求求a2b+ab2的值的值.巧计妙算巧计妙算183.解方程解方程:(5x+3)(

15、5x+6)-(5x+3)(5x+7)=0(x-2004)2=(2004-x)(2005-x)提公因式法因式分解( ) ( ) x216练习：分解下列各式练习：分解下列各式: （1）x2-16 解：(1)（2）9m2-4n2 x x ( ) ( )a2b2aabb( ) ( )x2 4242x2(2) 9m2-4n2 3m 3m( ) ( )a2aabb (3m)2 (2n)2(2n)2(3m)2b22n 2n平方差公式的应用题平方差公式的应用题： 1、利用分解因式简便计算 (1) 652-642 (2) 5.42-4.62(3) (4) 22)412()435 (222248252100解解:

16、652-642=(65+64)(65-64)=1291=129 解解:5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6) =100.8 =8答案:5答案:28提高题提高题： 2、已知 , ,求（a+b）2-(a-b)2的值。 7522a4425b解: (a+b)2-(a-b)2 =(a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b) =2a2b =4ab当 ， 时，原式=4 =7522a4425b75224425323、求证:当n是整数时，两个连续奇数的平方差 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2+2ab+b2 =

17、(a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2 a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2用他们可以把一个三项式分解因式的用他们可以把一个三项式分解因式的特点特点：两项是两个数的两项是两个数的平方平方另一项是加上另一项是加上( (或减去或减去) )这两个数这两个数积的两倍积的两倍 x2-4x+4 =x2-4x+22 =(x-2)2 a2 +2a+1= a2 +2a1 +12=（a+1）2 a2+10a+25=a2+2a( )+( )2=(a+ )2555 X2+12ax+36a2=X2+2x6a +(6a)2=(x+6a)2 4a2+25b2-20ab=(2a

18、)2 -22a5b +(5b)2=(2a-5b)2 -8x2y-2x3-8xy2 =-2x(x2+4xy+4y2) =-2x(x+2y)2动手做动手做已知已知x=a+2b,y=a-2b，求求:x +xy+y 2 2（1）（2）解方程解方程:2(x+11)(x-12)=x -100 1 、已知、已知a+b=5 ，ab= -2， 求（求（1） a2+b2 （2）a-ba2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab2、已知、已知a2-3a+1=0，求（，求（1） （2）221aa 1aa3、已知、已知 求求x2-2x-3的值的值31x 6.若若(x-m)2=x2+8x+n,求求m

19、n的值的值7.若若9x2-mx+4是一个完全平方式，是一个完全平方式， 求求m的值的值8.若若(m+n)2=11,(m-n)2=7.求求5mn的值的值9.在整式在整式4x2+1中加上一个单中加上一个单项式使之成为完全平方式，项式使之成为完全平方式，则应添则应添 。10.在整式在整式 中加上一中加上一个单项式使之成为完全平方式，个单项式使之成为完全平方式，则应添则应添 。221xx 11.若若(2m-3n)2=(2m+3n)2+A成立，成立， A应为应为 。13.若若x2+2mx+36是完全平方式，是完全平方式， 求求m的值的值15.已知：已知：a+b=5,ab=3, 求求a2+b2的值的值16

20、.已知：已知：a-b=3,a2+b2=17 求求(a+b)2的值的值17.已知：已知：ab=12,a2+b2=25, 求求(a-b)2的值的值18.已知：已知：m2+n2+4m-6n+13=0, 求求mn的值。的值。的值。和求已知442211, 31.20mmmmmm考查知识点：（当考查知识点：（当m,n是正整数时）是正整数时）1、同底数幂的乘法：、同底数幂的乘法：am an = am+n 2、幂的乘方、幂的乘方: (am )n = amn 3、积的乘方、积的乘方: (ab)n = anbn 4、合并同类项、合并同类项:计算：计算：x3(-x)5-(-x4)2-(-2x3)4 -(-x10)(

21、- x)231解此类题应注意明确法则及解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆各自运算的特点，避免混淆.1、若、若10 x=5,10y=4,求求102x+3y+1 的值的值.2、计算：、计算：0.251000（-2）20016701004)271()9.(3注意点：注意点：（1）指数：相加）指数：相加底数相乘底数相乘转化转化（2）指数：乘法）指数：乘法幂的乘方幂的乘方转化转化（3）底数：不同底数）底数：不同底数同底数同底数转化转化 （3） （1）012516( (8 8) 17；（2）逆用公式逆用公式 即即 baabnnn）（）（abbannn505050505093124433151

22、5)2(125. 0（4 4）已知）已知2m=3，2n=5，求求23m+2n+2的值的值. . 计算：计算：(1) (-2a 2 +3a + 1) (- 2a)3 (2) 5x(x2+2x +1) - 3(2x + 3)(x - 5)(3) (2m2 1)(m 4) -2 ( m2 + 3)(2m 5)注意点：注意点：1、计算时应注意运算法则及运算顺序、计算时应注意运算法则及运算顺序2、在进行多项式乘法运算时，注意不要漏、在进行多项式乘法运算时，注意不要漏 乘，以及各项符号是否正确。乘，以及各项符号是否正确。计算：计算：(1) (1-x)(1+x)(1+x2)-(1-x2)2(2) (x2+3

23、2)2-(x+3)2(x-3)2 (2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+2(x-1)2 (x+4y-6z)(x-4y+6z) (x-2y+3z)2例例1、已知：、已知：x2+y2+6x-8y+25=0, 求求x,y的值；的值；yyxyyxyx21)(2)()(222并化简求值1、已知、已知x2-2mx+16 是完全平方式，则是完全平方式，则m=_4、如果、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么那么a+b=_2、已知、已知x2-8x+m是完全平方式，则是完全平方式，则m=_3、已知、已知x2-8x+m2是完全平方式，则是完全平方式，则m=_41644-mx85.若若 则则m=(

24、 )A. 3 B. -10 C. -3 D.-55)2)(x-(x10-mxx2A观察观察:；181-322请你用正整数请你用正整数n的等式表示你发现的规律的等式表示你发现的规律 _.nnn8) 12() 12(22正整数正整数n；283-522；385-722；487-922观察下列各组数观察下列各组数,；1-2312请用字母表示它们的规律请用字母表示它们的规律；1-4532；1-6752；1-897214) 12)(12(2nnnn是正整数是正整数观察下列各组数观察下列各组数,2525143212111211543221936116543请用字母表示它们的规律请用字母表示它们的规律21)2)(1(1) 3)(2)(1(nnnnnnn是正整数是正整数设设 (n为大于为大于0的自然数的自然数). 探究探究an 是否为是否为8的倍数，并用文字语言表述你的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；所获得的结论；22n222221) 12() 12(a3-5a1-3a nn，两个连续奇数的平方差是两个连续奇数的平方差是8的倍数的倍数