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1、数形结合之美八年级下 第十七章 学习目标学习目标1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理会用面积法证明勾股定理.2.会用勾股定理进行简单的计算会用勾股定理进行简单的计算 .3.培养在实际生活中发现问题总结规律的培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力意识和能力. 相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了某种图形的关系。发现朋友家用砖铺成的地面中反映了某种图形的关系。毕达哥拉斯毕达哥拉斯ABC看似平淡看似平淡无奇的现无奇的现象有时却
2、象有时却隐藏着深隐藏着深刻的道理刻的道理情景引入情景引入首页首页ABC合作探究合作探究活动：探究活动：探究勾股定理的探索发现、验证及简单应勾股定理的探索发现、验证及简单应用用首页首页 我们也来观察我们也来观察图中的地面，看看图中的地面，看看有什么发现？有什么发现？你发现了什么？说一说。SA+ +SB= =SC（图中每个小方格是（图中每个小方格是1 1个单位面积）个单位面积）B B的面积是的面积是 个单位面积个单位面积C C的面积是的面积是 个单位面积个单位面积9 99 918189 9实验：实验：【探究一探究一】A AB BC C：图：图1 1中三个正方形中三个正方形A A，B B，C C的面
3、积之间的数的面积之间的数量关系是量关系是: :S SA A+S+SB B=S=SC C三个正方形三个正方形A A，B B，C C 的面积有什么关系？的面积有什么关系？【探究二探究二】S SA A+S+SB B=S=SC C在图在图2 2中还成立吗？中还成立吗？A AB BC C图图2 2结论：结论：仍然成立。仍然成立。A A的面积是的面积是 个单位面积个单位面积B B的面积是的面积是 个单位面积个单位面积C C的面积是的面积是 个单位面积个单位面积252516169 9 你是怎样得到你是怎样得到正方形正方形C C的面积的？的面积的？与同伴交流交与同伴交流交流流（图中每个小方格是（图中每个小方格
4、是1 1个单位面积）个单位面积）S SA A+S+SB B=S=SC CA AB BC C问题问题2:2:式子式子S SA A+S+SB B=S=SC C能用直角能用直角三角形的三边三角形的三边a a、b b、c c来表示吗来表示吗? ?问题问题4:4:那么直角三角形三边那么直角三角形三边a a、b b、c c之间的关系式是之间的关系式是: :a ab bc ccbaCBA至此，我们在网格中验证了至此，我们在网格中验证了: :直角三角形直角三角形两条直角边上的两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即S SA A+S+SB B=S=SC Ca
5、 a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2问题问题1:1:去掉网格结论会改变吗？去掉网格结论会改变吗？问题问题3:3:去掉正方形结论会改变吗？去掉正方形结论会改变吗？命题命题1 1：如果直角三角形的两直角边长分如果直角三角形的两直角边长分别为别为a a，b,b,斜边长为斜边长为c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. .a ab bc c我们通过实验猜想：我们通过实验猜想：从特殊到一般的探索方法从特殊到一般的探索方法 我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等的直角三角形如下拼成一
6、个中空的正方形的直角三角形如下拼成一个中空的正方形.赵爽弦图赵爽弦图cba 黄黄 实实朱实朱实赵爽赵爽请同学们拿出已准备的四个全等直角三角形动手拼一拼！请同学们拿出已准备的四个全等直角三角形动手拼一拼！是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。温馨提示：温馨提示：上述这种验证方法是用上述这种验证方法是用面积法面积法 “赵爽弦图赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。这个图案被选为才智，它是我国古代数学的骄傲
7、。这个图案被选为2002年在年在北京召开的国际数学大会的会徽北京召开的国际数学大会的会徽.abcS大正方形大正方形c2S小正方形小正方形（b-a）S大正方形大正方形4S三角形三角形S小正方形小正方形赵爽弦图赵爽弦图证明：证明：b-a 请先用手中的全等直角三角形按图示进行摆放，然后根据图示的边长，选择其中一个图形，分析其面积关系后证明.图1图2毕达哥拉斯毕达哥拉斯的证法的证法.,214)(,)(2222222cbacabbacba即：所以小正方形的面积大正方形的面积图2解：毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Eu
8、clid，是公元前三百年左右的人）在编著几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了.aabbccabcbaba222212121222212121cba2梯形c21ab)212(a)b)(b(a21S美国第二十任总统加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 .222cba人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股1.成立条件： 在直
9、角三角形中；3.作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长.2.公式变形:abc222,acb222;bca如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么.222cba：）即：勾即：勾2 2+ +股股2 2= =弦弦2 2222222-acbbcacab,下列说法正确的是（）A.若a、b、c是ABC的三边，则B.若a、b、c是RtABC的三边，则C.若a、b、c是RtABC的三边， ， 则D.若a、b、c是RtABC的三边， ，则.222cba.222cba.222cba.222cba90A90C1 1、图中已知数据表示面积，求表示边的未、图中已知数据表示面积，求表示边的未知数知数x
10、x、y y的值的值. .y y144144169169【定理应用定理应用】求面积求面积=25=25=625=625225225400400X X 例例1 1 求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :6x1045X125x温馨提示：温馨提示：已知直角三角形的两边长，求第三边长时，已知直角三角形的两边长，求第三边长时，应选用勾股定理变形公式直接代入计算较为快捷准确！应选用勾股定理变形公式直接代入计算较为快捷准确！x= =8x= =3x= =13 例例2 2 已知：已知：RtBC中，中，AB，ACAC, ,则则BC= . . 5 或或 743ACB43CAB温馨提示：温馨提示：
11、当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下，一定要进行分类讨论，否则容易丢解这种情况下，一定要进行分类讨论，否则容易丢解.1.在RtABC中， ，（1）如果a=3，b=4，则c=_；（2）如果a=5，c=13，则b=_； (4) 如果c=25，b=20，则a=_.90C当堂检测：我知道了我知道了 我感受了我感受了 我探索了我探索了 a2+b2= c2课堂小结：2、查阅有关勾股定理的历史资料，及、查阅有关勾股定理的历史资料，及证明方法，与同学交流。证明方法，与同学交流。 1、课堂作业：、课堂作业： 完成学案中的达标检测。完成学案中的达标检测。 课本课本P24，练习，练习1、2.