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1、-平面向量的基本运算-第 6 页平面向量平面向量的基本运算高考要求 1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 2掌握向量的加法和减法 3掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件 知识点归纳 1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作|即向量的大小，记作 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非
2、零向量”这个条件（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同2向量加法求两个向量和的
3、运算叫做向量的加法设，则+=（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”3向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反
4、的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对
5、这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是
6、一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点题型讲解 例1 给出下列命题： 若|，则=； 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若=，=，则=，=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/，其中正确的序号是 解： 点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多，因而容易遗忘为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想例2 如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来解：点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起
7、点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示例3 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：解： 例4 设为未知向量，、为已知向量，解方程2-(5+3-4)+ -3=0例5设非零向量、不共线，=k+，=+k (kR)，若，试求k解例6 如图：已知在平行四边形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，设=，=，试用、分别表示、解例7 求证：起点相同的三个非零向量，32的终点在同一条直线上证明：点评：利用向量平行证明三点共线，需分两步完成： 证明向量平行； 说明两个向量有公共点；用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：证明向量平行；说明两向量无
8、公共点学生练习 1在中，设则（ ） () (B) (C) (D) 2化简：( ) (A) (B) (C) (D) 3在平行四边形中，（ ）() (B) (C) (D) 4给出下列3个向量等式，其中正确的个数为（ ）（1） （2） （3） () 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35若向量与 互为相反向量，则下列等式中成立的是（ ）(A) (B) (C) (D)6下列命题中，正确的命题是（ ）(A)且 (B)或 (C)若则 (D)若与 不平行，则7已知是平行四边形，O为平面上任意一点，设，则有( )(A) (B) (C) (D)8向量与 都不是零向量，则下列说法中不正确的是（ ）(A)向量与
9、同向，则向量+ 与的方向相同； (B)向量与 同向，则向量+ 与的方向相同；(C)向量与 反向，且则向量+ 与同向；(D)向量与 反向，且则向量+ 与同向9下列说法中错误的是（ ）(A)零向量没有方向 (B)零向量与任何向量平行(C)零向量的长度为零 (D)零向量的方向是任意的10下列命题正确的是（ ）(A)向量与是两平行向量(B)若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形(C)若、都是单位向量则 (D)两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同11在平行四边形ABCD中, +等于（ ）(A) (B) (C) (D) 12下列命题正确的是（ ）(A)向量的长度与向量的长度相等(B)两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同(C)非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线 (D)若平行且平行，则平行13在平行四边形中，若，则平行四边形的形状是 14化简： 15化简： 16若向量、满足条件，则的最大值是 ；最小值是 17等腰RtABC中，C=90，M为AB的中点，设，试用、表示、参考答案题号123456789101112答案BCBCCDBDAAAA13矩形 14 15 16，17 、