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1、学习必备欢迎下载2014中考数学压轴题精编 -安徽篇1 （安徽省）如图，已知ABC A1B1C1，相似比为k（k1） ，且 ABC 的三边长分别为a、b、c（abc） ，A1B1C1的三边长分别为a1、 b1、 c1（1）若 ca1，求证： a kc；（2）若 ca1，试给出符合条件的一对ABC 和A1B1C1，使得 a、b、c 和 a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若 ba1，cb1，是否存在 ABC 和A1B1C1，使得 k2？请说明理由1解 （1）证： ABC A1B1C1，且相似比为k（k1） ，1aak， aka1又 c a1， akc 3 分（ 2）解：取a8， b6，
2、c 4，同时取a14，b13，c12 8 分此时1aa1bb1cc2， ABC A1B1C1且 ca1 10 分注：本题也是开放型的，只要给出的ABC 和A1B1C1符合要求就相应赋分（ 3）解：不存在这样的ABC 和A1B1C1理由如下：若 k2，则 a2a1，b2b1，c 2c1又 b a1，cb1， a2a12b4b14cb2c 12 分bc2cc3c4c a，而 bca故不存在这样的ABC 和A1B1C1，使得 k2 14 分注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下k2 的情况不可能即可2 （安徽省B 卷）如图， RtABC 内接于 O，ACBC， BAC
3、的平分线AD 与 O 交于点 D，与 BC 交于点 E，延长 BD，与 AC 的延长线交于点F，连结 CD，G 是 CD 的中点，连结OG（1）判断 OG 与 CD 的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证： AEBF；（3）若 OGDE3( 22 ) ，求 O 的面积B C A A1abc B1C1a1b1c1A C B F D E O G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载2解：（ 1）猜想： OGCD证明：如图，连结OC、OD，则 OCOD G 是 CD 的中点由等腰三角形的性质，有OGCD
4、 2 分（2）证明： AB 是 O 的直径，ACB90 而 CAECBF（同弧所对的圆周角相等）在 RtACE 和 RtBCF 中 ACEBCF90 ，ACBC， CAECBF RtACERtBCF （ASA） AEBF 6 分（3）解：如图，过点O 作 BD 的垂线，垂足为H，则 H 为 BD 的中点OH21AD，即 AD2OH又 CAD BAD， CDBD， OHOG在 RtBDE 和 Rt ADB 中 DBE DACBAD， RtBDERtADBADBDDBDE，即 BD2ADDEBD2ADDE2OGDE6( 22 ) 8 分又 BDFD， BF2BDBF24BD224( 22 ) 9
5、分设 ACx，则 BC x，AB2 xAD 是 BAC 的平分线，FADBAD在 RtABD 和 Rt AFD 中 ADB ADF90 ，ADAD， FADBAD RtABD RtAFD （ASA ）AF AB2 x， BDFD CFAFAC2 xx (21) x在 RtBCF 中，由勾股定理，得BF2BC2CF2x2(21) x22( 22 ) x2 10 分由、，得2( 22 ) x224( 22 ) x212， x32或32（舍去）AB2 x23262 O 的半径长为6 11 分SO(6 )26 12 分3 （安徽省B 卷）已知：抛物线yax2bxc（a0）的对称轴为x1，与 x 轴交于
6、 A、B 两点，与y轴交于点C，其中 A（3，0） 、 C（0，2） A C B F D E H O G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得 PBC 的周长最小请求出点P 的坐标（3）若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点O、点 C 重合） 过点 D 作 DEPC 交 x 轴于点 E，连接PD、PE设 CD 的长为 m， PDE 的面积为S求 S与 m 之间的函数关系式试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说
7、明理由3解：（1）由题意得203912ccbaab 2 分解得 a32，b34，c2这条抛物线的函数表达式为y32x234x2 4 分（2）如图，连结AC、BC由于 BC 的长度一定，要使PBC 的周长最小，必须使PB PC 最小点 B 关于对称轴的对称点是点A，AC 与对称轴x1 的交点即为所求的点P设直线 AC 的表达式为ykx b，则203bbk 6 分解得 k32，b2直线 AC 的表达式为y32x2 7 分把 x1 代入上式，得y32(1)234点 P 的坐标为（1，34） 8 分（3）S存在最大值，理由如下：DEPC，即 DEAC， OED OACODOEOCOA，即mOE223，
8、 OE323m， AE23m方法一：连结 OP A C y B O P D E x A C x y B O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载SSPOESPOD SOED 21( 323m)3421( 2m)121( 323m)( 2m)43m223m 10 分430， S存在最大值 11 分S43m223m43( m1)243当 m1 时， S最大43 12 分方法二：SSOACSOEDSPAESPCD 213221( 323m)( 2m)2123m3421m143m223m 10 分以下同方法一
9、4 （安徽省芜湖市） （本小题满分12 分）如图， BD 是 O 的直径， OAOB，M 是劣弧上一点，过M 点作O 的切线 MP 交 OA 的延长线于P 点， MD 与 OA 交于 N 点（1）求证： PMPN；（2）若 BD4， P A23AO，过 B 点作 BC MP 交 O 于 C 点，求 BC 的长4解：（1）证明：连接OM 1 分MP是 O的切线， OM MP OMD DMP 90OAOB， ONDODM 90又 MNPOND ， ODM OMD DMP MNP， PM PN 4 分（2）解：设BC 交 OM 于点 E， BD4， OAOB21BD2 PA23AO3， PO5 5
10、分BCMP， OMMP， OMBC， BE21BC 7 分 BOMMOP90 ，在 RtOMP中， MPO MOP90 BOMMPO，又 BEO OMP90 OMP BEO，OPOMBOBE 10 分B A C D P N O M E B A C D P N O M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载得：522BE， BE54， BC58 12 分5 （安徽省芜湖市）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1） 、B（33， 1） 、C（33，0） 、O（0，0） 将此矩形沿着过
11、E（3 ，1） 、F（334，0）的直线 EF 向右下方翻折，B、C 的对应点分别为B 、C （1）求折痕所在直线EF 的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF 上求一点P，使得 PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由5解：（1）由于折痕所在直线EF 过 E（3 ，1） 、F（334，0）tanEFO3 ，直线 EF 的倾斜角为60直线 EF 的解析式为：ytan60 x(3 ) 化简得：y3 x4 3 分（2）设矩形沿直线EF 向右下方翻折后，B、C 的对应点为B（x1，y1） ，C（x2，y2）过 B作 BAAE 交 AE 所
12、在直线于A点BEBE32， BEFBEF60 BEA60 ， AE3 ，BA3 A 与 A重合， B在y轴上， x10，y12，即 B （0，2）【此时需说明B（x1，y1）在y轴上】 6 分设二次函数的解析式为：yax2bxc抛物线经过B（33，1） 、E（3 ，1） 、B （0，2）27a33bc13a3 bc1c2解得233431cbax y O B C E F A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载该二次函数解析式为：y31x2334x2 9 分（3）能，可以在直线EF 上找到 P 点，连接
13、BC 交 EF 于 P 点，再连接BP由于 BPBP，此时点P 与 C、B在一条直线上，故BPPCBPPC 的和最小由于为 BC 定长所以满足PBC 周长最小 10 分设直线 BC 的解析式为：ykxb 则bkb3302解得2932bk直线 BC 的解析式为：y932x2 12 分又点 P 为直线 BC 与直线 EF 的交点432932xxyy解得111031118yx点 P 的坐标为（31118，1110） 14 分6 （安徽省合肥一中自主招生）已知：甲、乙两车分别从相距300（km）的 M、 N 两地同时出发相向而行，其中甲到达N 地后立即返回，图1、图 2 分别是它们离各自出发地的距离y
14、（km）与行驶时间x（ h）之间的函数图象（1）试求线段AB 所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了29h，求乙车的速度；（3）在（ 2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间6解：（1）设线段AB 所对应的函数关系式为ykxb把（ 3，300） ， （427，0）代入得3003kb0427kb解得k80b540 x y O B C E F A ABCP B O y km A xh 3 427甲300 图 1 C O ykm xh 乙300 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
15、第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载线段 AB 所对应的函数关系式为y甲80 x540 5 分自变量 x 的取值范围是3 x427（或 3x427，下同） 7 分（2） x29在 3x427中，把x29代入y甲80 x540 中得y甲180乙车的速度为2918040（km/h） 12 分（3）由题意知有两次相遇方法一：当 0 x3 时， 100 x40 x 300，解得： x715 16 分当 3 x427时， ( 54080 x) 40 x300，解得： x6 20 分综上所述，当它们行驶了715小时或 6 小时时，两车相遇方法二：设经过x1小时两车首次相遇则 40 x1100 x1 3
16、00，解得： x1715 16 分设经过 x2小时两车第二次相遇则 80( x23) 40 x2，解得： x26 20 分7 （安徽省合肥一中自主招生）如图1，在 ABC 中， ABBC，且 BCAC，在 ABC 上画一条直线，若这条直线既平分 ABC 的面积，又平分ABC 的周长，我们称这条线为ABC 的“等分积周线” （1）请你在图1 中用尺规作图作出一条ABC 的“等分积周线” ；（2）在图 1 中过点 C 能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由；（3）如图 2，若 ABBC5cm，AC6cm，请你找出ABC 的所有“等分积周线” ，并简要说明确定的方法7解
17、：（1）图略，作线段AC 的中垂线BD 即可 2 分（2）不能如图 1，若直线CD 平分 ABC 的面积那么 SADCSDBC21ADCE21BDCEADBD 5 分A B C 图 1 D E A B C 图 2 A B C 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载ACBC， ADACBDBC过点 C 不能画出一条“等分积周线” 7 分（3）若直线经过顶点，则AC 边上的中垂线即为所求线段 8 分若直线不过顶点，可分以下三种情况：（a）直线与BC、 AC 分别交于E、F，如图 2 所示过点 E 作
18、 EHAC 于点 H，过点 B 作 BGAC 于点 G易求得 BG 4，AGCG3 设 CFx，则 CE8x由 CEH CBG，可得 EH54( 8x)根据面积相等，可得21x54( 8x)6 10 分x3（舍去，即为）或x5 CF5，CE3，直线 EF 即为所求直线 12 分（b）直线与AB、 AC 分别交于M、N，如图 3 所示由（ a）可得 AM 3，AN5，直线 MN 即为所求直线（仿照上面给分） 15 分（c）直线与AB、BC 分别交于P、Q，如图 4 所示过点 A 作 AYBC 于点 Y，过点 P 作 PXBC 于点 X由面积法可得AY524设 BPx，则 BQ8x由相似，可得PX
19、2524x据面积相等，可得212524x( 8x) 6 17 分x21485（舍去）或x2148而当 BP2148时， BQ21485，舍去此种情况不存在 19 分综上所述，符合条件的直线共有三条 20 分（注：若直接按与两边相交的情况分类，也相应给分）8 （安徽省合肥一中自主招生）如图，在RtABC 中， C90 ，AC 3cm，BC4cm，点 P 以一定的速度沿 AC 边由 A 向 C 运动，点Q 以 1cm/s 的速度沿CB 边由 C 向 B 运动，设P、Q 同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s） （1）若点 P 以43cm/s 的速度运动当 PQAB
20、 时，求 t 的值；在的条件下，试判断以PQ 为直径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由A B C 图 2 E F G H A B C 图 3 M N A B C 图 4 P Q X Y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载（2）若点 P 以 1cm/s 的速度运动，在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线AB 相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由8解：（1）如图1，当 PQAB 时，有ACPCCBCQ 2 分即3433t4t，解得： t2 当 t2 秒时， PQAB 5 分解法
21、1：如图 2，当 t2 秒时， PQAB，此时 PQ 为ACB 的中位线， PQ25 6 分取 PQ 的中点 M，则以 PQ 为直径的圆的圆心为M，半径为21PQ 8 分过点 M、C 向 AB 作垂线，垂足分别为N、H则 CH512，MN21CH56 10 分MN21PQ，直线AB 与以 PQ 为直径的圆相交 12 分解法 2：如图 3，当 t2 秒时， PQAB，此时 PQ 为ACB 的中位线，取PQ 的中点 M，分别过点M、 C 向AB 作垂线，垂足分别为N、H，CH 交 PQ 于点 G，连接 CMMN21CH，即 MNGHCG在 RtCGM 中， GCMC， MN MC直线 AB 与以
22、PQ 为直径的圆相交 12 分解法 3：如图 4，当 t2 秒时， PQAB，此时 PQ 为 ACB 的中位线，过点Q 向 AB 作垂线，垂足为N，则 RtBNQRt BCA，ABBQACNQ，即523NQ，NQ56A C B P Q 图 1 A C B P Q 图 3 M H N A C B P Q 图 4 M N A C B P Q 图 2 M H N A C B P Q A C B 备用图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载由平行线间的距离处处相等可知，点M 到 AB 的距离为56，小于21PQ
23、直线 AB 与以 PQ 为直径的圆相交 12 分（2）解法 1：如图 5，取 PQ 的中点 M，作 MNAB、PGAB、QHAB，垂足分别为N、G、H则由 RtAPGRt ABC，得 PG54t 14 分由 RtBHQRt BCA，得 HQ53(4t) 16 分此时 MN 是梯形 PGHQ 的中位线， MN5610t 20 分当 PQ24MN2时，以 PQ 为直径的圆与直线AB 相切即(3t)2t24(5610t)2 26 分解得： t1 3，t24927 30 分解法 2：如图 6，取 PQ 的中点 M，作 MHAB、MGAC、MNBC，垂足分别为H、G、N连接 AM、 BM、CM由 SAB
24、CSACMSBCM SABM 可得：2132t21421(3t) 215MH2134 解得： MH5610t当 PQ24MN2时，以 PQ 为直径的圆与直线AB 相切即(3t)2t24(5610t)2 26 分解得： t1 3，t24927 30 分解法 3：如图7，取 PQ 的中点 M，作 MHAB、MNBC，垂足分别为H、N，延长 NM 交AB 于点 G，则 MN21PC21(3t) ，NQ21CQ2t， NB42t由 RtBGNRt BAC，得 GN383t， GM383t21(3t) 2381t又 RtGMH RtABC，BCMHABGM，即4MH58123t解得： MH5610t当
25、PQ24MN2时，以 PQ 为直径的圆与直线AB 相切即(3t)2t24(5610t)2 26 分解得： t1 3，t24927 30 分A C B P Q 图 7 M N H G A C B P Q 图 5 M N H G A C B P Q 图 6 M N H G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载9 （安徽省蚌埠二中自主招生）青海玉树发生7. 1 级强震后，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风。刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令，一分队立即出发前往距营地30 千米的
26、 A 镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0 a3）小时再前往A 镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往 A 镇的道路在离营地10 千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1 小时打通道路。已知一分队的行进速度为b 千米 / 时，二分队的行进速度为（4a）千米 /时（1）若二分队在营地不休息，要使二分队在最短时间内赶到A 镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？（2）若 b4 千米 /时，二分队和一分队同时赶到A 镇，二分队应在营地休息几小时？9解：（1）若二分队应在营地不休息，则a0，速度为4 千米 /时，行至塌方处需4102. 5（小时）因为一分队到塌方处并打通道路需要b101（小时） 3
27、 分所以要使二分队在最短时间内赶到A 镇，则有：b1012. 5， b320（千米 /时） 5 分故一分队的行进速度至少为320千米 /时 3 分 6 分（2）若 b4 千米 /时，则一分队到塌方处并打通道路需要41013. 5（小时）一分队赶到A 镇共需43018. 5（小时） 8 分（）若二分队在营地不休息，且在塌方处需停留，则后20 千米与一分队同行，二分队和一分队可同时赶到A 镇； 10 分（）若二分队在营地休息，则a0，二分队的行进速度为4a4 千米 /时若二分队在塌方处需停留，则当一分队打通道路后，二分队将先赶到A 镇，不符合题意，舍去； 11 分若二分队在塌方处不停留，要使二分队
28、和一分队同时赶到A 镇，则有：aa4308. 5，即 a24.5a40 解得 a12253654.0（舍去），a22253654.264 3（舍去） 13 分综上所述，要使二分队和一分队同时赶到A 镇，二分队应在营地不休息 14 分10 （安徽省蚌埠二中自主招生）如图1、2 是两个相似比为1:2 的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合（1）在图 3 中，绕点D 旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC 交于点 E、F，如图 4求证： AE2BF2EF2；（2）若在图3 中，绕点C 旋转小直角三角形，使它的斜边和CD 延长线分别与AB 交于点
29、 E、F，如图 5，此时结论AE2BF2EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；C C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载（3）如图，在正方形ABCD 中， E、F 分别是边BC、CD 上的点，满足CEF 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，AE、AF 分别与对角线BD 交于 M、N，试问线段BM、MN、 DN 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由；10解：（1）如图 4，由 于 ADBD，将 AED 绕点 D 旋转 180 ，得
30、 BED则 AEBE，EDED，连接 EF FBE ABC ABE ABC CAB90在 RtBEF 中有 BE2 BF2EF2又 FD 垂直平分EE， EFEFAE2BF2 EF2 6 分（2）如图 5，由于 AC BC，将 AEC 绕点 C 旋转 90 ，得 BEC则 AEBE，CE CE，连接 EF FBE ABC CBE ABCCAB90在 RtBEF 中有 BE2 BF2EF2 ECF ECBBCFACEBCF 90ECF9045 45 ECFCECE ，CFCF CEF CEF， EFEFB 图 4 A C D E F EB 图 5 A C D E F EB A C D E F M
31、 N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载AE2BF2 EF2 12 分（3）将 ADF 绕点 A顺时针旋转90 ，得 ABG，且 FD GB，AFAG因为 CEF 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，所以CEEFCFCDCBCFFD CEBEEFFDBEGBBEGE从而可得 AEG AEF， EAG EAF又 EAGEAB BAG， BAG DAF EAFEABDAF ，而 EABEAF DAF90 EAF45由（ 2）知 BM2DN2MN2 由勾股定理的逆定理知：线段BM、MN、DN 能构成直角三角形 18 分B A C D E F M N G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页