小学数学知识点例题精讲《带余除法（一）》教师版.pdf

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1、11. 能够根据除法性质调整余数进行解题2. 能够利用余数性质进行相应估算3. 学会多位数的除法计算4. 根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质1、定义：一般地,如果 a 是整数,b 是整数（b0）,若有 ab=qr,也就是 abqr, 0rb;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1)当0r 时：我们称 a 可以被 b 整除,q 称为 a 除以 b 的商或完全商(2)当0r 时：我们称 a 不可以被 b 整除,q 称为 a 除以 b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书,共有 a 本,这个 a 就可以理解为被除数,现在要求按照 b 本一捆打包,那么 b

2、就是除数的角色,经过打包后共打包了 c 捆,那么这个 c 就是商,最后还剩余 d 本,这个 d 就是余数.这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系.并且可以看出余数一定要比除数小.2、余数的性质 被除数除数商余数;除数（被除数余数）商;商（被除数余数）除数; 余数小于除数3、解题关键理解余数性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了除法公式的应用【例例 1 1】 某数被 13 除,商是 9,余数是 8,则某数等于 .【考点】除法公式的应

3、用 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第 2 题,5 分【解析】125【答案】125例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨教学目标教学目标5-5-1.5-5-1.带余除法（一）带余除法（一）2【例例 2 2】 一个三位数除以 36,得余数 8,这样的三位数中,最大的是_.【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第 3 题【解析】因为最大的三位数为999,999362727,所以满足题意的三位数最大为：36278980【答案】980【巩固巩固巩固】计算口,结果是：商为 10,余数为.如果的值是 6,那么的最小值是_.【考点】除法公式

4、的应用 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,复赛,第 4 题,6 分【解析】根据带余除法的性质,余数必须小于除数,则有 的最小值为 7.【答案】7【例例 3 3】 除法算式=208中,被除数最小等于 . 【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯,4 年级,初赛,4 题【解析】本题的商和余数已经知道了,若想被除数最小,则需要除数最小即可,除数最小是819 ,所以本题答案为：20（8+1）+8=188.【答案】188【例例 4 4】 71427 和 19 的积被 7 除,余数是几?【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初

5、赛,第 14 题【解析】71427 被 7 除,余数是 6,19 被 7 除,余数是 5,所以 7142719 被 7 除,余数就是 65 被 7 除所得的余数 2.【答案】2【例例 5 5】1013除以一个两位数,余数是12求出符合条件的所有的两位数【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】解答【解析解析解析】1013 121001,10017 11 13,那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91,因为“余数小于除数”,所以舍去11,答案只有13,77,91.【答案】13,77,91共三个【巩固巩固巩固】一个两位数除 310,余数是 37,求这样的两位数.【考点】除法公式的应

6、用 【难度】1 星 【题型】解答【解析解析解析】本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题-即“不整除问题”转化为整除问题.方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数;或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数.本题中 310-37=273,说明 273 是所求余数的倍数,而 273=3713,所求的两位数约数还要满足比37 大,符合条件的有 39,91.【答案】39 或者 97【巩固巩固巩固】在下面的空格中填上适当的数.33124774002【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】走美杯,3 年级,决赛,第 10 题,

7、12 分【解析】本题的被除数、商和余数已经给出,根据除法的计算公式：被除数除数=商余数,逆推计算得到：除数(2004713)742=27.【答案】27【例例 6 6】 一个两位奇数除 1477,余数是 49,那么,这个两位奇数是多少?【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】解答【解析】这个两位奇数能被 1477-49=1428 整除,且必须大于 49,1428=223717,所以这样的两位奇数只有 51.【答案】51【例例 7 7】 大于 35 的所有数中,有多少个数除以 7 的余数和商相等?【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答【解析】除以 7 的余数只能是 06,所以

8、商只能是 06,满足大于 7 的数只有商和余数都为 5、6,所以只能是 40、48.【答案】40、48【例例 8 8】 已知 2008 被一些自然数去除,所得的余数都是 10,那么这样的自然数共有多少个?【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目.由题意所求的自然数一定是 2008-10 即 1998的约数,同时还要满足大于 10 这个条件.这样题目就转化为 1998 有多少个大于 10 的约数,319982337,共有（1+1）（3+1）（1+1）=16 个约数,其中 1,2,3,6,9 是比 10 小的约数,所以符合题目条件的

9、自然数共有 11 个.【答案】11【巩固巩固巩固】写出全部除 109 后余数为 4 的两位数 【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】美国长岛,小学数学竞赛,第五届【解析】10941053 57 因此,这样的两位数是：15;35;21【答案】两位数是：15;35;21【例例 9 9】 甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答4【关键词】清华附中,小升初分班考试【解析解析解析】(法 1)因为 甲乙1132,所以 甲乙乙1132乙乙12321088;则乙(108832)1288 ,甲1088乙1000

10、(法 2)将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后,1056就应当是乙数的(11 1)倍,所以得到乙数10561288,甲数1088881000【答案】乙数10561288,甲数1088881000【例例 10】 10】用某自然数a去除1992,得到商是 46,余数是r,求a和r【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】第五届,小数报,决赛【解析解析解析】因为1992是a的46倍还多r,得到19924643.14,得1992464314,所以43a ,14r 【答案】43a ,14r 【例例 11】 11】当 1991 和 1769 除以某个自

11、然数 n,余数分别为 2 和 1那么,n 最小是多少?【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答【解析解析解析】如果用 1990 和 1769 去除这个自然数 n 时,余数是 1而1990176922113 17,我们不妨取13n ,再验证一下：1991 131532,1769131361,所以 n 最小为 13【答案】13【例例 12】 12】有三个自然数a,b,c,已知b除以a,得商 3 余 3;c除以a,得商 9 余 11.则c除以b,得到的余数是 .【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯,5 年级,初赛,第 4 题,6 分【解析】33ba911c

12、a(99)232cab所以应该余 2.【答案】2【例例 13 13】有两个自然数相除,商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和为2113,则被除数是多少?【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】小学数学奥林匹克【解析解析解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,由于被除数是除数的 17 倍还多 13,则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）（17+1）=115,所以被除数=2083-115=1968【答案】1968【巩固巩固巩固】两数相除,商 4 余 8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415,则被除数是_【

13、考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析解析解析】因为被除数减去 8 后是除数的 4 倍,所以根据和倍问题可知,除数为4154884179（）（）,所以,被除数为7948324.【答案】324【巩固巩固巩固】用一个自然数去除另一个自然数,商为 40,余数是 16.被除数、除数、商、余数的和是 933,求这 2个自然数各是多少?【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析】本题为带余除法定义式的基本题型.根据题意设两个自然数分别为 x,y,可以得到540164016933xyxy,解方程组得85621xy,即这两个自然数分别是 85

14、6,21.【答案】两个自然数分别是 856,21【例例 14 14】有一个三位数,其中个位上的数是百位上的数的 3 倍.且这个三位数除以 5 余 4,除以 11 余 3.这个三位数是_ 【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空【解析解析解析】首先个位数不是 4 就是 9,又因为它是百位的 3 倍所以一定是 9,那么百位就是 3,又因为它被 11 除余 3,因此十位是 9,答案是 399【答案】399【例例 15 15】一个自然数,除以 11 时所得到的商和余数是相等的,除以 9 时所得到的商是余数的 3 倍,这个自然数是_.【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空【关键

15、词】2004 年,福州市,迎春杯【解析解析解析】设这个自然数除以 11 余a(011)a,除以 9 余b(09)b,则有1193aabb,即37ab,只有7a ,3b ,所以这个自然数为12784.【答案】84【例例 16 16】盒子里放有编号 1 到 10 的十个球,小红先后三次从盒子中共取出九个球,如果从第二次起,每次取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一,那么剩下的球的编号为_.【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,四年级,初赛,第 11 题【解析】令第 1 次取的编号为 a,第二次取的编号为 2a+1,第三次取的编号为：2（2a+1）+1=4a+3;还

16、剩下的编号为：55-7a-4=517a,当 a 为 6 时,余下的是 9;当 a 为 7 时,余下的是 2.【答案】9或者2【例例 17 17】10 个自然数,和为 100,分别除以 3.若用去尾法,10 个商的和为 30;若用四舍五入法,l0 个商的和为3410 个数中被 3 除余 l 的有_个【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,五年级,初赛,第 13 题【解析】由题意,“用去尾法,10 个商的和为 30;用四舍五入法,l0 个商的和为 34”可知,10 个数中除以 3 余2 的数有 34-30=4（个）,又知道 10 个自然数的和为 100,设除以 3 余

17、 1 的数有x个,那么根据用去尾法后十个商的和与 10 个自然数的和,可得关系式：2410030333x,解得,2x .【答案】2【例例 18 18】3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍,那么除数最小可能是 .【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,4 年级,第 2 题【解析】设除数为a,商为b,余数为c,则3782abc ,且21bc.可以将除式转化为213782acc,所以2113782ca （）,所以c和211a （）是3782的约数,3782231 61,在3782的约数中只有31 611891被21除所得的余数为1,所以2111891a ,

18、90a .【答案】90【例例 19】 19】在大于 2009 的自然数中,被 57 除后,商与余数相等的数共有_个.【考点】除法公式的应用 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,第 10 题6【解析】根据题意,设这样的数除以 57 所得的商和余数都为 a（a57）,则这个数为 57a+a=58a.所以58a2009,得到 a200958=373458,由于 a 为整数,所以 a 至少为 35.又由于 a57,所以 a 最大为 56,则 a 可以为 35,36,37,56.由于每一个 a 的值就对应一个满足条件的数,所以所求的满足条件的数共有 56-35+1=22 个.【答案】22

19、【例例 20】 20】用 1、9、8、8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数?【考点】除法公式的应用 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,第 14 题【解析】用 1、9、8、8 可排成 12 个四位数,即1988,1898,1889,9188,9818,9881,8198,8189,8918,8981,8819,8891【解析】它们减去 8 变为 1980,1890,1881,9180,9810,9873,8190,8181,8910,8973,8811,8883 其中被 11 整除的仅有 1980,1881,8910,8811,即用 1、9、8、8 可排成 4

20、个被 1 除余 8 的四位数,即1988,1889,8918,8819.【解析】【又解】什么样的数能被 11 整除呢?一个判定法则是：比较奇位数字之和与偶位数字之和,如果它们之差能被 11 除尽,那么所给的数就能被 11 整除,否则就不能够【解析】现在要求被 11 除余 8,我们可以这样考虑：这样的数加上 3 后,就能被 11 整除了所以我们得到“一个数被 11 除余 8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数,再将奇位数字相加再加上 3,得另一个和数,如果这两个和数之差能被 11 除尽,那么这个数是被 11 除余 8 的数;否则就不是【解析】要把 1、9、8、8 排成一个被 11 除余 8 的

21、四位数,可以把这 4 个数分成两组,每组 2 个数字其中一组作为千位和十位数,它们的和记作 A;另外一组作为百位和个位数,它们之和加上 3 记作B我们要适当分组,使得能被 11 整除现在只有下面 4 种分组法：【解析】【解析】经过验证,第（1）种分组法满足前面的要求：A18,B98320,BA11 能被 11 除尽但其余三种分组都不满足要求【解析】根据判定法则还可以知道,如果一个数被 11 除余 8,那么在奇位的任意两个数字互换,或者在偶位的任意两个数字互换,得到的新数被 11 除也余 8于是,上面第（1）分组中,1 和 8 中任一个可以作为千位数,9 和 8 中任一个可以作为百位数这样共有 4 种可能的排法：1988,1889,8918,8819【解析】答：能排成 4 个被 11 除余 8 的数【答案】4