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1、5-5-3.同余问题教学目标1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数知识点拨同余定理1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为：ab ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a同余于b,模m.2、重要性质及推论：（1）若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除例如：与除以的余数都是,所以能被整除（2）用式子表示为：如果有ab ( mod m ),那么一定有abmk,k是整数,即m|(ab)3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的建立余
2、数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R,使得：N与R对于除数m同余由于R是一个较简单的数,所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数; 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数; 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数; 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数; 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数;（不够减的话先适当加11的倍数再减）; 整数N被7,11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左
3、每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数就是原数被7,11或13除的余数例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 (法1) ,51-3=48,12的约数是,因为余数为3要小于除数,这个数是;(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数,所以这个数是【答案】【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是_. 【考点】两个数的同余问题 【
4、难度】2星 【题型】填空 【关键词】人大附中,分班考试 【解析】 “加上3后被3除余1”其实原数还是余1,同理这个两位数除以4、5都余1,这样,这个数就是3、4、5+1=60+1=61.【答案】【例 3】 有一个自然数,除345和543所得的余数相同,且商相差33求这个数是多少?【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于这个数除345和543的余数相同,那么它可能整除543-345,并且得到的商为33所以所求的数为【答案】【例 4】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是多少?【考点】两个数的同余问题
5、 【难度】3星 【题型】解答【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的余数,所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同,因此这个自然数是的约数,又大于10,这个自然数只能是17或者是34如果这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16,不符合题目条件;如果这个数是17,那么它去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16,符合题目条件,所以这个自然数是17【答案】【例 5】 两位自然数与除以7都余1,并且,求【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 能被7整除,即能被7整除所以只能有,
6、那么可能为92和81,验算可得当时,满足题目要求,【答案】【例 6】 现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子.余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1：3：2,这个大班有_名小朋友,每人分得糖果_粒,饼干_块,桔子_个.【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】南京市,兴趣杯【解析】 设大班共有a名小朋友.由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是1:3:2,所以余下的糖果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数,从而254+186-210一定是a的倍数,即254+186-210=230=1230=
7、1023=2523是a的倍数.同样,2254-186=322=2314=2314=2327也一定是a的倍数.所以,a只能是232的因数.但a40,所以a=46.此时254=465+24,210=463+72,186=463+48.故大班有小朋友46名,每人分得糖果5粒,饼干3块,桔子3个.【答案】小朋友46名,每人分得糖果5粒,饼干3块,桔子3个模块二、三个数的同余问题【例 7】 有一个大于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据同余定理,我们可以得到
8、：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数,的约数有,所以这个数可能为.【答案】【巩固】 有一个整数,除300、262、205得到相同的余数.问这个整数是几?【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,第9题【解析】 这个数除300、262,得到相同的余数,所以这个数整除30026238,同理,这个数整除26220557,因此,它是38、57的公约数19.【答案】【巩固】 在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】 因为
9、, ,由于13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除,所以所求的最大整数是98.【答案】【巩固】 140,225,293被某大于1的自然数除,所得余数都相同.2002除以这个自然数的余数是 .【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】三帆中学,入学测试【解析】 这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0.那么这个自然数是293-225=68的约数,又是225-140=85的约数,因此就是68、85的公约数,所以这个自然数是17.所以2002除以17余13.【答案】【巩固】 三个数：23,51,72,各除以大于1的
10、同一个自然数,得到同一个余数,则这个除数是 .【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,初赛,第4题,6分【解析】 ,（28,21）=7,所以这个除数是7.【答案】【例 8】 学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班?【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 所求班级数是除以余数相同的数那么可知该数应该为和的公约数,所求答案为17【答案】【例 9】 若2836,4582,5164,6522四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数
11、,除数和余数的和为_【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】 设除数为A因为2836,4582,5164,6522除以A的余数相同,所以他们两两之差必能被A整除又因为余数是两位数,所以A至少是两位数4582-2836=1746,因为,所以A是194的大于10的约数194的大于10的约数只有97和194如果,余数不是两位数,与题意不符如果,经检验,余数都是23,除数余数【答案】120【例 10】 一个大于1的数去除290,235,200时,得余数分别为,则这个自然数是多少?【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 根据题意可知,这
12、个自然数去除290,233,195时,得到相同的余数（都为）既然余数相同,我们可以利用余数定理,可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0那么这个自然数是的约数,又是的约数,因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19【答案】【巩固】 有3个吉利数888,518,666,用它们分别除以同一个自然数,所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_.【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】清华附中,入学测试【解析】 处理成余数相同的,则888、518-7、666-10的余数相同,这样我们可以转化成同余问题.这样我们用
13、总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0.那么这个自然数是888-656=232的约数,也是656-511=145的约数,因此就是232、145的公约数,所以这个自然数是29.【答案】【例 11】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是、,求这个自然数和的值. 【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：,、,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是,故同余.将这三个数相减,得到、,所求的自然数一定是和的公约数,而,所以这个自然数是的约数,显然1是不符合条件的,那么只能是19.经过验证,当这个自然数是时,除、所得的余数分别为、,
14、时成立,所以这个自然数是,.【答案】【例 12】 甲、乙、丙三数分别为603,939,393某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍,除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍求等于多少?【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 根据题意,这三个数除以都有余数,则可以用带余除法的形式将它们表示出来： ,由于,要消去余数, , ,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍,同理,第三个式子乘以4于是我们可以得到下面的式子： 这样余数就处理成相同的最后两两相减消去余数,意味着能被整除,51的约数有1、3、17、51,其中1、3显然
15、不满足,检验17和51可知17满足,所以等于17【答案】【例 13】 已知60,154,200被某自然数除所得的余数分别是,求该自然数的值【考点】三个数的同余问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 根据题意可知,自然数61,154,201被该数除所得余数分别是,由于,所以自然数与同余;由于,所以与201同余,所以除数是和的公约数,运用辗转相除法可得到,该除数为29经检验成立【答案】【例 14】 有一个自然数,它除以、所得到的商()与余数()之和都相等,这样的数最小可能是多少【考点】三个数的同余问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】至少为,至少为,至少为,最小为1081【答案】【例 15】
16、三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_,_,_.【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】 设所得的商为,除数为,由,可求得,所以,这三个数分别是,.【答案】523,631,847模块三、运用同余进行论证【例 16】 在33的方格表中已如右图填入了9个质数.将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作.问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗?为什么?【考点】运用同余进行论证 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】因为表中9个质数之和恰为100,被3除余1,经过
17、每一次操作,总和增加3的倍数,所以表中9个数之和除以3总是余1.如果表中9个数变为相等,那么9个数的总和应能被3整除,这就得出矛盾！所以,无论经过多少次操作,表中的数都不会变为9个相同的数.【例 17】 一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少?【考点】运用同余进行论证 【难度】4星 【题型】解答【关键词】仁华学校【解析】 设这个三位数为,它除以17和19的商分别为和,余数分别为和,则根据题意可知,所以,即,得所以是9的倍数,是8的倍数此时,由知由于为三位数,最小为100,最大为999,所
18、以,而,所以,得到,而是9的倍数,所以最小为9,最大为54当时,而,所以,故此时最大为;当时,由于,所以此时最小为所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154【答案】最大的是930,最小的是154【例 18】 从1,2,3,n中,任取57个数,使这57个数必有两个数的差为13,则n的最大值为多少? 【考点】运用同余进行论证 【难度】4星 【题型】解答【关键词】西城实验【解析】 被13除的同余序列当中,如余1的同余序列,1、14、27、40、53、66,其中只要取到两个相邻的,这两个数的差为13;如果没有两个相邻的数,则没有两个数的差为13,不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13,对于任
19、意一条长度为x的序列,都最多能取个数,使得取出的数中没有两个数的差为13,即从第1个数起隔1个取1个基于以上,n个数分成13个序列,每条序列的长度为或,两个长度差为1的序列,要使取出的数中没有两个数的差为13,能够被取得的数的个数之差也不会超过1,所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13,则这57个数被分配在13条序列中,在每条序列被分配的数的个数差不会超过1,那么13个序列有8个序列分配了4个数,5个序列分配了5个数,则这13个序列中8个长度为8,5个长度为9,那么当n最小为时,可以取出57个数,其中任两个数的差不为13,所以要使任取57个数必有两个数的差为13,那么n的最大值为108【答案】【例 19】 设是质数,证明：,被除所得的余数各不相同【考点】运用同余进行论证 【难度】5星 【题型】解答【解析】 略【答案】假设有两个数、,(),它们的平方,被除余数相同那么,由同余定理得,即,由于是质数,所以或,由于,均小于且大于0,可知,与互质,也与互质,即,都不能被整除,产生矛盾,所以假设不成立,原题得证7