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1、一元二次方程复习总结本章知识脉络本章专题归纳专题一、一元二次方程的解的应用方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，利用这个关系可以解决一些问题. 例 1、已知1x是一元二次方程2400axbx的一个解，且ab，求2222abab的值 . 思维点击： 待求式2222abab可化简为2ab， 故只要求出,a b的值或ab的值即可， 由已知条件无法确定,a b的值，但根据方程根的定义把1x代入原方程可得40ab，则问题可解. 解： 因为1x是一元二次方程2400axbx的一个解，所以211400ab，可知40ab. 所以224020.22222abababababab温馨提示： 本题在解题过程中体
2、验了整体求解的解题策略，即不求具体,a b的值是多少，而直接根据方程根的定义确定ab的值，从而求解 . 先将待求式进行化简便于找出解题思路，先化简再求值也是解这类题的常用方法. 专题二、一元二次方程解法的选择解一元二次方程，常用的方法有四种：直接开平方法，因式分解法，配方法，求根公式法。这四种方法各有长处， 直接开平方法和因式分解法虽然简便易行，但是并非所有的一元二次方程都能用这两种方法来解；配方法适用于任何一个一元二次方程，但配方过程比较麻烦；公式法也适合于任何一元二次方程，是解一元二次方程的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页
3、，共 8 页主要方法， 且公式法比配方法简单得多，它直接用配方法导出的公式求解。但公式法不如直接开平方法和因式分解法快捷。因此，在解具体方程是，要根据方程的特征，因题而异，灵活选用适当的解法. 例 2、对于方程2222140; 2 230; 3320; 4 41290;xxxxxxx22225 336; 670; 76 ; 8 241xxxxxx把最适宜解法的序号填在下面的横线上。（1） 直接开平方法_； （2）因式分解法 _； （3） 配方法 _； （4） 求根公式法 _。思维点击： （1）可以用平方差公式分解因式，也可以把4 移到方程的右边后直接开平方。（2）可以用提取公因式法分解因式后求
4、解。（3）左边不能直接开平方，也不能因式分解，可以考虑用配方法或求根公式法。（4）用完全平方公式分解因式后求解。（5）两边同时除以3 后，用直接开平方法求解。（6）可以用直接开平方法。（7）移项后，可以用提公因式法分解因式后求解。（8）移项变形后，既不能用直接开平方求解，也不能用因式分解法求解，可以考虑用配方法或求根公式法。解： （1）（ 1）（ 5）（ 6）；（2）（ 1）（ 2）（ 4）（ 7）；（3）（ 3）（ 8）；（4）（ 3）（ 8）. 规律总结： 一元二次方程的常用解法有（1）开平方法， （2）配方法， （ 3）求根公式法， （4）因式分解法， 。在上面的方法中，求根公式法最重要
5、，它是万能的，但计算量较大，容易出错。在求解时采取哪种方法，应根据题目的要求和具体的问题而定。其中公式法是万能的，但根据方程的特点，灵活应用另外三种方法能迅速、准确的求出方程的解，通常可以这样选择合适的解法：（1）当方程一边为含有未知数的完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法。（2）当方程的一边为0，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解。（3）当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法。（4）当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。专题三、一元二次方程的应用一元二次方程是一种重要的数学模型，利用一元二次方程，可以解决生活中的一些实
6、际问题. 例 3、某农场去年种植了10 亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2 倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率思维点击： 本题考查的是列一元二次方程解应用题，解题关键是找出题目中的相等关系。在本题中，南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，则今年种植了南瓜10 12x亩，每亩南瓜的产量为2000 1x，根据母产量亩数=总产量的关系可列方程10(12 ) 2 000(1)60 000 xx. 解： 设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x
7、根据题意，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页10(12 ) 2 000(1)60 000 xx解这个方程，得10.5x，22x（不合题意，舍去）答：南瓜亩产量的增长率为50温馨提示： 求得方程的解后，必须要检验，把不符合题意的解舍去. 例 4、 某商场将每件进价为80 元的某种商品原来按每件100 元出售， 一天可售出100 件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1 元，其销量可增加10 件（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元若商场经营该商品一天
8、要获利润2160 元，则每件商品应降价多少元？思维点击 ：商场一天可获利润为一天的销量销售单价，当每件降价x 元时，销量可增加10 x 件，即现在销量为（ 100+10 x）件，然后根据一天获利2160 元即可列出方程。解：若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100（ 10080） 2000（元） . 依题意得：（10080 x）（ 100+10 x） 2160, 即 x210 x+16=0, 解得： x1=2,x2=8. 经检验： x1=2,x2=8 都是方程的解，且符合题意. 答：商店经营该商品一天要获利润2160 元，则每件商品应降价2 元或 8 元. 解后反思 ：本题是一元二次方程知
9、识在市场经济中的应用，应注意对求得的一元二次方程的根进行检验，看其根是否符合实际意义。专题四、一元二次方程根的判别式与根与系数的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页专题五、创新型试题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页在中考中除考查基础知识与基本能力外，还考查同学们的创新能力，这样在中考中出现了一些创新型试题，如“新定义”型试题、阅读理解题、规律探究题等. 例 7、将 4 个数abcd， ， ，排成 2 行、 2 列，两边各加一条竖直线记成
10、abcd，定义abcdadbc，上述记号就叫做2 阶行列式若1111xxxx6，则x思维点击： 本题中给出了2 阶行列式定义，让考生根据定义规定的运算法则，从1111xxxx6中，提炼出一元二次方程111 16xxxx，化简、整理，得224,2xx. 答案：2温馨提示： “新定义”型中考题在前几年的数学竞赛中经常出现近年在中考试卷中也频频出现所谓“新定义”试题，是在试题中给出一个学生从未接触过的概念，要求学生现学现用，充分发挥阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力解答试题，这对于培养学生自主学习、主动探究的学习方式有积极的促进作用、例 8、探究下表中的奥秘，并完成填空：思维点击： 本考题从
11、一元二次方程根的角度来研究相对应的二次三项式的因式分解问题. 可直接利用求根公式，求出241330 xx的根为121,3.4xx仔细观察图表中数字的变化规律，不难发现一般结论为：若一元二次方程20axbxc的两个根为12,x x，则212axbxca xxxx. 解后反思： 本例从教材要求的基础知识出发，不仅探索揭示了一元二次方程与二次三项式因式分解之间的内在变化规律，而且注重了对观察类比及联想等数学思想方法的考查. 规律方法总结本章是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位，因此本章在解题过程中用到的数学思想方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
12、- - - - -第 5 页，共 8 页较多，主要运用了方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及整体思想。方程思想是弄清题意，将题目中的已知量与未知量的关系转换成方程，再求出未知量的一种数学思想方法，这种思想在本章主要体现在列方程解应用题、利用根的判别式和根与系数的关系确定一元二次方程中的字母系数等。转化思想是解决数学问题的基本思想，通常可把复杂的问题转化为简单问题，把实际问题转化为数学问题，以便从中寻求解题的最佳途径。这种思想在本章中主要体现在将一元二次方程转化为一元一次方程来解等。数形结合思想中数与形是对立统一的，因而在研究数学问题时，有许多问题可以把数与形有机地结合起来，从而寻求
13、解题的最佳方法。分类讨论思想可以培养思维的周密性，分类讨论一般分为三步：第一，根据题目需要确定分类讨论对象；第二，针对讨论对象进行合理的分类讨论；第三，对讨论结果归纳合并，综合得出结论。整体思想即从问题的整体出发，根据问题的整体结构特征，把大问题转化成为一个或几个很容易求解的“小整体性”问题来解决。经常运用整体思想解题，可提高我们观察分析和解决问题的能力，巧用这种思想解题，可使解题过程简捷快速，且不易出错。总之，数学思想方法是数学的生命和灵魂，是把知识转化为能力的桥梁，掌握了数学思想方法，就如同掌握了生活工作的“万能钥匙”。中考热点集训1、（ 2007 湖州）方程x225=0 的解是 ( )
14、Ax1=x2=5 B.x1=x2=25 C.x1=5,x2=5 D.x1=25,x2=25 2、关于x的一元二次方程225250 xxpp的一个根为1，则实数p的值是（）A4B0或2C1D13、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A、210 x B 、2210 xx C 、2230 xx D 、2230 xx4、为执行“两免一补”政策，某地区2006 年投入教育经费2500 万元，预计2008 年投入 3600 万元设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）225003600 x22500(1)3600 x22500(1%)3600 x22500
15、(1)2500(1)3600 xx5、据 2007 年 5 月 8日台州晚报报导，今年“五一”黄金周我市各旅游景点共接待游客约334 万人，旅游总收入约9 亿元已知我市2005 年“五一”黄金周旅游总收入约6.25 亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页12%16%20%25%6、已知1x是关于x的方程2220 xaxa的一个根，则a_7、一元二次方程22213xx的解是 _. 8、阅读材料：设一元二次方程20axbxc的两根为1x，2x，则两根与方程系数之间有如下关系
16、：12bxxa，12cx xa根据该材料填空：已知1x，2x是方程2630 xx的两实数根，则2112xxxx的值为 _9、若非零实数)(,baba满足020072aa,020072bb，则ba11_ 10、解方程：2410 xx11、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006 年的利用率只有30% ，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008 年的利用率提高到 60% ，求每年的增长率。( 取21.41)12、 阅读材料：为解方程 (x21)25(x21) 40， 我们可以将x21 看作一个整体， 然后设 x2
17、1y，那么原方程可化为y2 5y40，解得 y11，y24当 y1 时，x211，x22，x2；当 y4 时，x214，x25，x5，故原方程的解为x12，x22，x35，x45解答问题： (1) 上述解题过程，在由原方程得到方程的过程中，利用_法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；(2) 请利用以上知识解方程x4 x2 60中考热点集训答案1、C 2 、C 3 、D 4 、B 5 、C 6 、2或1 7 、1242,3xx 8 、10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页9、1200710、解：因为1a，4b，
18、1c，所以22444 1 ( 1)20bac代入公式，得2442042 52522 12bbacxa所以原方程的解为122525xx，11、解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：30%a （1x）2=60%a ，即（ 1x）2=2 x10.41， x2 2.41( 不合题意舍去 ) 。x0.41。即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41% 。12、解： (1) 换元法 (2)设 x2y，那么原方程可化为y2y60解得y13，y22 当y3时，x23，x3当y2时，x22不符合题意舍去原方程的解为：x13，x23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页