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1、学习必备欢迎下载中考数学压轴题型研究（一）动点几何问题下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题例 1： （北京市石景山区20XX年数学期中练习）在ABC中， B=60,BA=24CM,BC=16CM, (1)求 ABC的面积；(2)现有动点P从 A 点出发，沿射线AB向点 B方向运动，动点Q 从 C 点出发，沿射线CB也向点 B 方向运动。如果点 P 的速度是4CM/秒，点 Q 的速度是2CM/ 秒，它们同时出发，几秒钟后，PBQ的面积是 ABC的面积的一半？(3)在第（
2、2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？点评：此题关键是明确点P、Q 在 ABC边上的位置，有三种情况。（1）当 0t6 时， P、 Q 分别在 AB、BC边上；（2）当 6t8 时， P、 Q 分别在 AB延长线上和BC边上；（3）当 t 8 时 , P、Q 分别在 AB、BC边上延长线上 . 然后分别用第一步的方法列方程求解. 例 2: (北京市顺义20XX年初三模考 )已知正方形ABCD的边长是1， E为 CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从 A 点出发，沿A B C E运动，到达点E.若点 P经过的路程为自变量 x， APE的面积为函数y，（1）写出 y 与
3、x 的关系式(2)求当 y13时， x 的值等于多少？点评 :这个问题的关键是明确点P 在四边形 ABCD边上的位置 ,根据题意点P的位置分三种情况:分别在 AB上、 BC边上、 EC边上 . 例 3： (北京市顺义20XX 年初三模考 )如图1 ，在直角梯形ABCD中，B=90，DCAB，动点 P 从 B 点出发，沿梯形的边由 B C D A 运动，设点P 运动的路程为 x ,ABP的面积为 y , 如果关于x 的函数 y 的图象如图2 所示，那么ABC 的面积为（）A32 B18 C16 D10 例 4：（09 齐齐哈尔）直线364yx与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，
4、同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA运动，速度为每秒 1 个单位长度，点P沿路线OBA运动（1）直接写出AB、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、 、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标点评：本题关键是区分点P的位置：点P 在 OB 上，点 P在 BA 上。例 5：（2009 宁夏）已知：等边三角形ABC的边长为4 厘米，长为 1 厘米的线段MN在ABC的边AB上沿ABA C B x A O Q P B y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
5、- - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载方向以 1 厘米 /秒的速度向B点运动（运动开始时， 点M与点A重合，点N到达点B时运动终止） ，过点MN、分别作AB边的垂线，与ABC的其它边交于PQ、两点，线段MN运动的时间为t秒（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围解： （1）过点C作CDAB，垂足为D则2AD，当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即32AM时，四边形MNQP是
6、矩形，32t秒时，四边形MNQP是矩形3tan6032PMAM=，332MNQPS四边形（2）1当01t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形332t2当12t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形3323当23t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形7332t点评：此题关键也是对P、Q 两点的不同位置进行分类。例 6： （2009 四川乐山）如图（ 15） ，在梯形ABCD中，906DCABAAD， ，厘米，4DC厘米，BC的坡度3 4i ，动点P从A出发以 2 厘米 /秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3 厘米 /秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中
7、一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连结PQ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？6. 解： （1）作CEAB于点E，如图（ 3）所示，则四边形AECD为矩形图 （3）CDABQP EC P Q B A M N C P Q B A M N C P Q B A M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载46AECDCEDA，又33 44CEiEB ，812EBAB，
8、2 分在RtCEB中，由勾股定理得：2210BCCEEB（2）假设PC与BQ相互平分由DCAB，则PBCQ是平行四边形（此时Q在CD上） 即310122CQBPtt，解得225t，即225t秒时，PC与BQ相互平分（3）当Q在BC上，即1003t 时，作QFAB于F，则CEQFQFBQCEBC，即396105QFttQF119(122 )225PBQtSPB QFt=2981(3)55t当3t秒时，PBQS有最大值为2815厘米 当Q在CD上，即101433t 时，11(12 2 )622PBQSPB CEt=366t易知S随t的增大而减小故当103t秒时，PBQS有最大值为210366163
9、厘米 29541055381165101463633tttytt，0 ，综上，当3t时，PBQS有最大值为2815厘米 二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。例 7： （包头）如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点（1）如果点P在线段 BC上以 3 厘米 /秒的速度由B点向 C点运动，同时，点Q 在线段 CA上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全
10、等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边A Q C D B P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载运动，求经过多长时间点P与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？解： （1）1t秒，3 13BPCQ厘米，10AB厘米，点D为AB的中点，5BD厘米又8PCBCBPBC，厘米，835PC厘米，PCBD又ABAC，BC，BPDCQPPQvv， BPCQ，又BPDCQP，BC，则45BPPCCQBD，点P，点Q运动的时间433BPt秒，51544
11、3QCQvt厘米 /秒（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532 104xx，解得803x秒点P共运动了803803厘米8022824，点P、点Q在AB边上相遇，经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇例 8： （09 济南）如图，在梯形ABCD中，354 245ADBCADDCABB，动点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（1）求BC的长（ 2）当MNAB时，求t的值 （3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形解： （1）如图，过A、D分别作AKBC于K，
12、DHBC于H，则四边形ADHK是矩形3KHAD在RtABK中，2sin 454 242AKAB2cos454 242BKAB在，RtCDH中，由勾股定理得，22543HC43310BCBKKHHC（图）A D C B K H （图）A D C B G M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载（2）如图，过D作DGAB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形MNABMNDG3BGAD1037GC由题意知，当M、N运动到t秒时，102CNtCMt，DGMNNMCDGC又CCMNCGDCCNCMCDCG
13、即10257tt解得，5017t（3）分三种情况讨论：当NCMC时，如图，即102tt103t当MNNC时，如图，过N作NEMC于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得11102522ECMCtt在RtCEN中，5cosECtcNCt又在RtDHC中，3cos5CHcCD535tt解得258t90CCDHCNEC，NECDHCNCECDCHC即553tt258t当MNMC时，如图，过M作MFCN于F点.1122FCNCt解法一：（方法同中解法一）132cos1025tFCCMCt解得6017t解法二：90CCMFCDHC，MFCDHCFCMCHCDC即1102235tt6017tA D C B
14、M N （图）（图）A D C B M N H E （图）A D C B H N M F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载A B O C D P Q 综上所述，当103t、258t或6017t时，MNC为等腰三角形例 9： （呼和浩特）如图，在直角梯形ABCD 中， ADBC， ABC90o，AB12cm，AD8cm，BC22cm， AB为 O 的直径，动点 P从点 A开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动， 动点 Q 从点 C开始沿 CB边向点 B以 2cm/s的速度运动，P、Q 分
15、别从点A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t(s)(1)当 t 为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)当 t 为何值时， PQ与 O 相切？解： (1)直角梯形ABCD，ADBCPDQC当PDQC时，四边形PQCD为平行四边形由题意可知：2APtCQt，82tt，38t，83t当83ts时，四边形PQCD为平行四边形（2）解：设PQ与O相切于点H，过点P作PEBC，垂足为E直角梯形ABCDADBC，PEAB由题意可知：2APBEtCQt，222BQBCCQt222223EQBQBEtttAB为O的直径，90ABCDAB ADBC、为O的切线APPH
16、HQBQ，22222PQPHHQAPBQttt在RtPEQ中，222PEEQPQ22212(223 )(22)tt即：28881440tt211180tt，(2)(9)0tt1229tt，7 分因为P在AD边运动的时间为8811AD秒，而98t9t（舍去）当2t秒时，PQ与O相切例 10.如图，在矩形ABCD中， BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D出发沿 AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQ=xcm(0 x)，则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）当 x 为何值时，以
17、PQ，MN 为两边 ,以矩形的边（AD 或 BC）的一部O A P D B Q C O A P D B Q C H E A B D C P Q M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由解：（1）当点 P 与点 N 重合或点Q 与点 M 重合时，以PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边可
18、能构成一个三角形当点 P与点 N 重合时，212220211211xxxx由，得，（舍去）因为 BQ+CM=34(211)20 xx，此时点Q 与点 M不重合所以211x符合题意当点 Q 与点 M 重合时，320,5xxx由得此时22520DNx，不符合题意故点Q 与点 M 不能重合所以所求x 的值为211（2）由（ 1）知，点Q 只能在点M 的左侧，当点 P在点 N 的左侧时，由220(3 )20(2)xxxx，解得120()2xx舍去 ，当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形当点 P在点 N 的右侧时，由220(3 )(2)20 xxxx，解得1210()4xx舍去 ，当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形所以当24xx或时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形（3）过点 Q， M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点E ， F由于 2xx，所以点E一定在点P的左侧若以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点 F一定在点N 的右侧，且PE=NF ，即223xxxx解得120()4xx舍去 ，由于当 x=4 时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以,以 P，Q，M，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页