《2022年中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法 2.pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、中考数学压轴题型研究（一）动点几何问题近几年中考数学中运动几何问题倍受青睐，它不仅综合考查初中数学骨干知识，如三角形全等与相似、图形的平移与旋转、函数（一次函数、二次函数与反比例函数）与方程等，更重要的是综合考查初中基本数学思想与方法。 此类题型也往往起到了考试的选拔作用，使学生之间的数学考试成绩由此而产生距离，所以准确快速解决此类问题是赢得中考数学胜利的关键。如何准确、快速解决此类问题呢？关键是把握解决此类题型的规律与方法以静制动。另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题，考生一般都能拿分，但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是本题基本的做题思想和方法，是特殊到一般
2、数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出答案，更重要的是明确此题的方法和思路。下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题例 1： （北京市石景山区2010 年数学期中练习）在ABC中， B=60,BA=24CM,BC=16CM, (1) 求 ABC的面积；(2) 现有动点P从 A点出发，沿射线AB向点 B方向运动，动点Q从 C点出发，沿射线CB也向点 B方向运动。如果点 P的速度是4CM/秒，点 Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，PBQ的面
3、积是 ABC的面积的一半？(3) 在第（ 2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？点评：此题关键是明确点P、Q 在 ABC边上的位置，有三种情况。（1）当 0t 6 时， P、Q 分别在 AB、BC边上；（2）当 6t 8时， P、Q 分别在 AB 延长线上和BC边上；（3）当 t 8时, P 、Q 分别在 AB、BC边上延长线上 . 然后分别用第一步的方法列方程求解. 例 2: ( 北京市顺义2010 年初三模考 ) 已知正方形ABCD的边长是 1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿ABCE运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，APE的面积为
4、函数y，（1）写出 y 与 x 的关系式(2) 求当y13时，x的值等于多少？点评 :这个问题的关键是明确点P在四边形ABCD边上的位置 , 根据题意点P的位置分三种情况: 分别在 AB上、 BC边上、EC边上 . 例 3： ( 北京市顺义2010 年初三模考 )如图 1 ， 在直角梯形ABCD 中，B=90，DC AB，动点 P 从 B 点出发，沿梯形的边由 BC D A 运动，设点 P运动的路程为x, ABP的面积为y , 如果关于x的函数y的图象如图2 所示，那么 ABC 的面积为（）A32 B18 C16 D10 例 4： （09 齐齐哈尔）直线364yx与坐标轴分别交于AB、两点，动
5、点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA运动，速度为每秒1 个单位长度， 点P沿路线OBA运动 （1）直接写出AB、两A C B x A O Q P B y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页点的坐标；（ 2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（ 3）当485S时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、 、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标点评：本题关键是区分点P的位置：点P在 OB上，点 P在 BA上。例 5： （2009 宁夏） 已知： 等边三角形ABC
6、的边长为4 厘米， 长为 1 厘米的线段MN在ABC的边AB上沿AB方向以1 厘米 /秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止） ，过点MN、分别作AB边的垂线，与ABC的其它边交于PQ、两点，线段MN运动的时间为t秒（ 1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（ 2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围解： （1）过点C作CDAB，垂足为D则2AD，当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即32AM时，
7、四边形MNQP是矩形，32t秒时，四边形MNQP是矩形3tan6032PMAM=，332MNQPS四边形（ 2）1当01t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形332t2当12t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形3323当23t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形7332t点评：此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。例 6： （2009 四川乐山）如图（ 15） ，在梯形ABCD中，906DCABAAD， ，厘米，4DC厘米，BC的坡度3 4i ，动点P从A出发以 2 厘米 /秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以 3厘米 /秒的速度沿BCD方向向点D运动， 两个动
8、点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3） 连结PQ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式， 求t为何值时，图 （3）CDABQP EC P Q B A M N C P Q B A M N C P Q B A M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页y有最大值？最大值是多少？6. 解： （1）作CEAB于点E，如图（ 3）所示，则四边形AECD为矩形46AECDCEDA，又33 44CEiEB ，812EB
9、AB，2 分在RtCEB中，由勾股定理得：2210BCCEEB（2）假设PC与BQ相互平分由DCAB，则PBCQ是平行四边形（此时Q在CD上） 即310122CQBPtt，解得225t，即225t秒时，PC与BQ相互平分（3）当Q在BC上，即1003t 时，作QFAB于F，则CEQFQFBQCEBC，即396105QFttQF119(122 )225PBQtSPB QFt=2981(3)55t当3t秒时，PBQS有最大值为2815厘米 当Q在CD上，即101433t时，11(122 )622PBQSPB CEt=366t易知S随t的增大而减小故当103t秒时，PBQS有最大值为21036616
10、3厘米 29541055381165101463633tttytt，0， 综上，当3t时，PBQS有最大值为2815厘米 二、 利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积） 直接转化为函数或方程。例 7： （包头）如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点（ 1）如果点P 在线段 BC上以 3 厘米 /秒的速度由B点向 C点运动，同时，点Q在线段 CA上由 C点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点P的运动速度相等， 经过 1 秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD
11、与CQP全等？（ 2） 若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点 P以原来的运动速度从点B 同时出发， 都逆时针沿ABC三A Q C D B P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页边运动，求经过多长时间点P与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？解： （1）1t秒，3 13BPCQ厘米，10AB厘米，点D为AB的中点，5BD厘米又8PCBCBPBC，厘米，835PC厘米，PCBD又ABAC，BC，BPDCQPPQvv， BPCQ，又BPDCQP，BC，则45BPPCCQBD，点P，点Q运动的时间433BPt秒，515
12、443QCQvt厘米 /秒（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532 104xx，解得803x秒点P共运动了803803厘米8022824，点P、点Q在AB边上相遇，经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇例 8： （09 济南） 如图， 在梯形ABCD中，354 245ADBCADDCABB，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2 个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（ 1）求BC的长（ 2）当MNAB时，求t的值（ 3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形解： （1）如图，过A、D分别作AKBC
13、于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形3KHAD在RtABK中，2sin454 242AKAB2cos454 242BKAB在，RtCDH中，由勾股定理得，22543HC43310BCBKKHHC（2）如图，过D作DGAB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形MNABMNDG3BGAD1037GC由题意知，当M、N运动到t秒时，102CNtCMt，DGMNNMCDGC又CC（图）A D C B K H （图）A D C B G M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页A B O C D P Q MNCGDC
14、CNCMCDCG即10257tt解得，5017t（3）分三种情况讨论：当NCMC时，如图，即102tt103t当MNNC时，如图，过N作NEMC于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得11102522ECMCtt在RtCEN中，5cosECtcNCt又在RtDHC中，3cos5CHcCD535tt解得258t90CCDHCNEC，NECDHCNCECDCHC即553tt258t当MNMC时，如图，过M作MFCN于F点.1122FCNCt解法一：（方法同中解法一）132cos1025tFCCMCt解得6017t解法二：90CCMFCDHC，MFCDHCFCMCHCDC即1102235tt6017t
15、综上所述，当103t、258t或6017t时，MNC为等腰三角形例 9： （呼和浩特）如图，在直角梯形ABCD中， ADBC ， ABC 90o，AB12cm，AD8cm，BC22cm，AB 为 O 的直径， 动点 P从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动， 动点 Q 从点 C开始沿 CB边向点 B以2cm/s 的速度运动， P、Q 分别从点A、 C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t( s) ( 1) 当 t 为何值时，四边形PQCD为平行四边形？( 2) 当 t 为何值时， PQ与 O 相切？解： ( 1) 直角梯形ABCD，ADB
16、CPDQC当PDQC时，四边形PQCD为平行四边形A D C B M N （图）（图）A D C B M N H E （图）A D C B H N M F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页由题意可知：2APtCQt，82tt，38t，83t当83ts时，四边形PQCD为平行四边形（2）解：设PQ与O相切于点H，过点P作PEBC，垂足为E直角梯形ABCDADBC，PEAB由题意可知：2APBEtCQt，222BQBCCQt222223EQBQBEtttAB为O的直径，90ABCDAB ADBC、为O的切线APPHHQ
17、BQ，22222PQPHHQAPBQttt在RtPEQ中，222PEEQPQ22212(223 )(22)tt即：28881440tt211180tt，(2)(9)0tt1229tt，7 分因为P在AD边运动的时间为8811AD秒，而98t9t（舍去）当2t秒时，PQ与O相切例 10.(2009 山东淄博 )如图，在矩形ABCD中， BC=20cm，P， Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC ，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQ=xcm(0 x)，则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（
18、1）当 x 为何值时，以PQ，MN 为两边 ,以矩形的边（ AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由解：（1）当点 P 与点 N 重合或点Q 与点 M 重合时，以PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点 P与点 N 重合时，212220211211xxxx由，得，（舍去）因为 BQ+CM=34(211)20 xx，此时点Q 与点 M不重合所以211x符合题意当点 Q 与点 M
19、重合时，320,5xxx由得此时22520DNx，不符合题意故点Q 与点 M 不能重合O A P D B Q C O A P D B Q C H E A B D C P Q M N （第 25 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页所以所求x 的值为211（2）由（ 1）知，点Q 只能在点M 的左侧，当点 P在点 N 的左侧时，由220(3 )20(2)xxxx，解得120()2xx舍去 ，当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形当点 P在点 N 的右侧时，由220(3 )(2)20 xxxx，解得1210()4xx舍去 ，当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形所以当24xx或时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形（3）过点 Q， M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点E ， F由于 2xx，所以点E一定在点P的左侧若以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点 F一定在点N 的右侧，且PE =NF，即223xxxx解得120()4xx舍去 ，由于当 x=4 时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以,以 P，Q，M，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页