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1、1等差数列的相关公式(1)三个重要的公式 通项公式:递增数列:末项首项(项数1)公差,11naand（） 递减数列:末项首项(项数1)公差,11naand（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手同时还可延伸出来这样一个有用的公式:nmaanmd（）,nm（） 项数公式:项数(末项首项)公差+1 由通项公式可以得到:11nnaad（） (若1naa);11nnaad（） (若1naa)找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的譬如:找找下面数列的项数:4、7、10、1
2、3、40、43、46 ,分析:配组:(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、(46、47、48),注意等差是 3 ,那么每组有 3 个数,我们数列中的数都在每组的第 1 位,所以 46 应在最后一组第 1 位,4 到 48 有484145 项,每组 3 个数,所以共45315组,原数列有 15 组 当然还可以有其他的配组方法 求和公式:和=(首项末项)项数2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手:(思路 1) 1239899100 1 1002993985051 共50个101（）（）（）（）101 505050(思路 2)这道题目,还可以这样理解: 知识点
3、拨知识点拨等差数列计算题等差数列计算题223498991001009998973212101101101101101101101和=1+和倍和即,和 (1001) 1002101 505050(2) 中项定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数譬如: 48123236436922091800（）,题中的等差数列有 9 项,中间一项即第 5 项的值是 20,而和恰等于209; 65636153116533233 331089 （）,题中的等差数列有 33 项,中间一项即第 17 项的值是 33,而和恰
4、等于33 33【例例 1】1】 用等差数列的求和公式会计算下面各题吗用等差数列的求和公式会计算下面各题吗? 345676777813578799471013404346【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【解析解析解析】根据例 1 的结果知:算式中的等差数列一共有 76 项,所以:34567677783787623078（）算式中的等差数列一共有 50 项,所以:13578799(199)5022500算式中的等差数列一共有 15 项,所以:471013404346446152375（）【答案】3078 2500 375【巩固巩固巩固】1 2 8 9 10 9 8 2 1 _
5、.【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】希望杯,四年级,二试【解析】1+2+3+n+3+2+1=nn,所以原式=1010=100【答案】100【巩固巩固巩固】1966、1976、1986、1996、2006 这五个数的总和是多少这五个数的总和是多少? 【考点】等差数列计算题 【难度】1 星 【题型】计算【关键词】华杯赛,初赛【解析】1986 是这五个数的平均数,所以和198659930.【答案】9930例题精讲例题精讲3【巩固巩固巩固】计算计算:110111112126 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】走美杯,四年级,初赛【解析】原式(
6、110126) 1722006【答案】2006【巩固巩固巩固】计算下面结果计算下面结果 48 12163236 65636153 1 34599100【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】根据刚刚学过的求项数以及求和公式,项数(末项首项)公差1等差数列的和（首项末项）项数2项数:364419 （）; 和:43692180 （）项数:65 12133 （）;和:16533233 331089（）项数:10031 198 （）;和:31009825047（） 【答案】180 1089 5047【巩固巩固巩固】用等差数列的求和公式会计算下面各题吗用等差数列的求和公式会计算下面
7、各题吗? 345676777813578799471013404346【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【解析解析解析】（1）算式中的等差数列一共有 76 项,所以:34567677783787623078（）（2）算式中的等差数列一共有 50 项,所以:13578799(199)5022500 （3）算式中的等差数列一共有 15 项,所以:471013404346446152375（）【答案】 （1）3078 （2）2500 （3）375【巩固巩固巩固】计算下列一组数的和计算下列一组数的和:105,110,115,120,195,200【考点】等差数列计算题 【难度】2
8、星 【题型】计算 【解析】根据等差数列求和公式,必须知道首项、末项和项数,这里首项是 105,末项是 200,但项数不知道若利用1(1)naand,可有1()1nnaad据此可先求出项数,再求数列的和 解:数列的项数1()1nnaad (200 105)5 1 4955 1 20故数列的和是:1()2nSaan (105200)202 305 202 3050【答案】3050【巩固巩固巩固】聪明的小朋友们聪明的小朋友们,PK一下吧一下吧 48 12163236 65636153 1【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】根据刚刚学过的求项数以及求和公式,项数(末项首项)公
9、差1等差数列的和（首项末项）项数2项数:364419 （）; 和:43692180 （）;项数:65 12133 （）;和:16533233 331089（）【答案】180 1089【巩固巩固巩固】巧算下题巧算下题: 500024698 1001357199519971999【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】原式500024698 10050002100502500025502450（）（）这一串加数可以组成首项为 1、末项为 1999,公差为 2 的等差数列, 项数19991211000 （）,原式1 1999100022000 100021000000（）【答案
10、】2450 1000000【巩固巩固巩固】(123200720082007321)2008【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】走美杯,四年级,初赛【解析】观察原式可知,1、2、32007 分别可与 2007、2006、20051 组成 2008,于是括号中有 2008 个2008,故原式结果为 2008.【答案】2008【巩固巩固巩固】2008)2011201020092008200720062005(_【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】希望杯,4 年级,1 试5【解析】根据中项定理知: 2005+2006+2007+2008+2009
11、+2010+2011=20087,所以原式= 200872008=7【答案】7【巩固巩固巩固】计算计算:150+250+9850+9950= 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】原式=()()123459899501999925099L【答案】99【例例 2】2】 计算计算: 1351997199924619961998（）-（）4000510159510099198297396495594693792891990【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】（方法一）第一个数列的项数 1000,第二个数列的项数为 9
12、99,利用求和公式得:1 1999100022199899921000（）（）（方法二）第一个括号内共有 1000 个数,第二个括号内有 999 个数把 1 除外,第一个括号内的各数依次比第二个括号里相应的数大 1,因此可简捷求和原式13254199919981 11l （）（）（）(共 1000 个 1)1000通过观察可知,题目中的减数可以组成等差数列,所以,可先求这些减数的和,再从被减数中减去这个和400051015951004000510159510040005100202（）（）（） 400010502950当一个数连续减去几个数,这些减数能组成等差数列时,可以先求这些减数的和,再从
13、被减数中减去这个和99198297396495594693792891990 100120023003100010 100200300100012310（）10010001021 10102（）（） 550055 5445【答案】1000 2950 5445【巩固巩固巩固】计算计算2461984198619881351983 1985 1987（）（）【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 6【解析】根据求项数公式可知两个括号内的算式都各有 994 项原式2 1432 143(1988 1987)（）（）（）（）11 1 11994 994个【答案】994【巩固巩固巩固】计算计算
14、:20072006200520042003200254321【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】走美杯,3 年级,决赛【解析】找规律并分组计算如下:20072006200520042003200254321 20031= 20072006200520042003200254321=1+1+1+1=2004 个【答案】2004【巩固巩固巩固】计算计算: 2469698100135959799（ 13467910121366676970; 1000999998997996995106105104103102101 616926993699946999956999996【
15、考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】 和式2498100,1359799中的项成等差数列,从而可能想到先求和,再做减法这样做,很自然,也比较简便,有其他更为简便的解法吗?再看题,你会冒出一个好想法:运用加减运算性质先做减法:21,43,65,10099,它们的差都等于 1,然后,计算等于 1的差数有多少个由于题中 1 至 100 的全部偶数之和作为被减数,奇数之和为减数,所以,相邻的奇偶数相减(以大减小),共得 50 个差数 1,从而,原式214398971009950（ 以把这个数列拆分为两个数列14710136770和369126669,对它们分别求和:原式
16、1702423692321680（; 本题也可以按照上题的方法做,但还有更简便的办法,把式子中的减法都计算出来可以得到下式:1000199711061 1031 这是1000997106103和1 11 1 的组合,分别计算结果即可: 原式100010330021 300165750 （ 7 原式709700870007700006700000570000004（77777709876547777731（【答案】50 1680 165750 7777731【巩固巩固巩固】计算计算:13520092462008（）（） 【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】方法一
17、:让学生用等差数列求和公式分别计算前后两部分,然后讲方法二,这样可以让学生体会观察数列规律,动脑思考的重要性原式120091005222008100421005（）（）方法二:把括号去掉,两两结合,简便计算原式1005113254200920081 1 11 1 11005 个（）（）（）【答案】1005【巩固巩固巩固】计算计算:24620081352007（）（） 【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】方法一:等差数列求和原式220081004212007100421004（）（）方法二:把括号去掉,两两结合,简便计算原式100412143200820071
18、1 11 1 11004 个（）（）（）【答案】1004【巩固巩固巩固】计算计算: 【巩固巩固巩固】200820072006200520042003200220014321【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【解析解析解析】方法一:原式200820072006200520042003200220014321（）（）（）502444445022008 个方法二:原式20082007200620052004200320022001200054（）（）（）（）（）32120081 1 1 11 1 12008 （）方法三:200820062007200520042002423 12
19、 ,观察到这一点就好办了,改变原来的运算顺序不难发现每两个数放在一起就是 2,就等于说每一个数都看成 1 就行了,原式有 2008 项,所以最后答案就是 2008 （让学生体会观察数列规律动脑思考的重要性 ）【答案】2008【巩固巩固巩固】计算计算:123456789979899 【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】原式123456789979899（）（）（）（）036996396 9633121584（）（）8【答案】1584【例例 3】3】 计算计算: 1.13.35.57.79.911.11 13.1315.1517.1719.19【考点】等差数列计算
20、题 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】第十三届,迎春杯,试题【解析解析解析】原式5.5515.155【解析解析解析】 5.515.15520.565103.25（【答案】103.25【例例 4】4】 计算计算12319901990199019901990_【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】原式12319901990 (1 1990) 199021990 19952【答案】19952【巩固巩固巩固】计算计算468 103436以质数以质数 71 做分母的最简真分数有做分母的最简真分数有123,.,71 71 7169 70,;71 71求这列数的和求这列数的和计
21、算计算:56789101113579111313131313131313【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】这是一个等差数列,根据等差数列求和公式计算得:(436) 172340方法一:将这列数的分子从左往右排起来是 1,2,3,469,70可以发现这是一个等差数列,首项是1,末项是 70,项数是 70我们可以用等差数列求和公式“和(首项末项)项数2”求出分子相加的和,再求出以质数 71 做分母的最简真分数的和 12346970.7171717171711234.6970(170) 7027135方法二:将这列数排列起来,可以发现:第二项比第一项多171,第三项比第二项多171,第四项比第三项多171,因此,可以直接使用等差数列求和公式求和912346970.717171717171170702717135带分数加法,我们先计算整数部分,再计算分数部分,认真观察我们发现整数部分和分数部分都可以利用等差数列求和公式进行计算.56789101113579111313131313131313567891011(1357911 13)()13131313131313(511)72(1 13)721344941345313【答案】340 35 45313