小学数学知识点《等差数列的认识与公式运用》教师版.pdf

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1、1本讲知识点属于计算板块的部分,难度较三年级学到的该内容稍大,最突出一点就是把公式用字母表示.要求学生熟记等差数列三个公式,并在公式中找出对应的各个量进行计算.一、等差数列的定义一、等差数列的定义 先介绍一下一些定义和表示方法定义:从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差数列譬如:2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起,每一项比前一项大 3 ,递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起,每一项比前一项小 5 ,递减数列 首项:一个数列的第一项,通常用1a表示末项:一个数列的最后一项,通常用na表示,它也可表示数列的第n项.项数

2、:一个数列全部项的个数,通常用n来表示;公差:等差数列每两项之间固定不变的差,通常用d来表示;和 :一个数列的前n项的和,常用nS来表示 二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式 通项公式:递增数列:末项首项(项数1)公差,11naand（）递减数列:末项首项(项数1)公差,11naand（）知识点拨知识点拨教学目标教学目标等差数列的认识与公式运用等差数列的认识与公式运用2回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手同时还可延伸出来这样一个有用的公式:nmaanmd（）,nm（） 项数

3、公式:项数(末项首项)公差+1 由通项公式可以得到:11nnaad（） (若1naa);11nnaad（） (若1naa)找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的譬如:找找下面数列的项数:4、7、10、13、40、43、46 ,分析:配组:(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、(46、47、48),注意等差是 3 ,那么每组有 3 个数,我们数列中的数都在每组的第 1 位,所以 46 应在最后一组第 1 位,4 到 48 有484145 项,每组 3 个数,所以共45315组,原数列有 15 组 当然还可以有其他的配组方法 求和公式:和=(

4、首项末项)项数2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手:(思路 1) 1239899100 1 1002993985051 共50个101（）（）（）（）101 505050(思路 2)这道题目,还可以这样理解: 23498991001009998973212101101101101101101101和=1+和倍和即,和 (1001) 1002101 505050(2) 中项定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数譬如: 48123236436922091800（）,题中的等差数列有 9 项,中间一

5、项即第 5 项的值是 20,而和恰等于209; 65636153116533233 331089 （）,题中的等差数列有 33 项,中间一项即第 17 项的值是 33,而和恰等于33 333模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例例 1】1】 下面的数列中下面的数列中,哪些是等差数列哪些是等差数列?若是若是,请指明公差请指明公差,若不是若不是,则说明理由则说明理由.6,10,14,18,22,98;1,2,1,2,3,4,5,6; 1,2,4,8,16,32,64; 9,8,7,6,5,4,3,2;3,3,3,3,3,3,3,3;1,0,1,0,l,0,1,0; 【考点】

6、等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】解答 【解析解析解析】是,公差 d=4.不是,因为数列的第 3 项减去第 2 项不等于数列的第 2 项减去第 1 项.不是,因为 4-22-1.是,公差 d=l.是,公差 d=0.不是,因为第 1 项减去第 2 项不等于第 2 项减去第 3 项.【答案】是,公差 d=4.不是,因为数列的第 3 项减去第 2 项不等于数列的第 2 项减去第 1 项.不是,因为 4-22-1.是,公差 d=l.是,公差 d=0.不是,因为第 1 项减去第 2 项不等于第 2 项减去第 3 项.【例例 2】2】 小朋友们小朋友们,你知道每一行数列各有多少个数字吗你知道每一

7、行数列各有多少个数字吗? （1）3、4、5、6、76、77、78（2）2、4、6、8、96、98、100（3）1、3、5、7、87、89、91（4）4、7、10、13、40、43、46【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】计算 【解析解析解析】连续的自然数列,3、4、5、6、7、8、9、10 ,对应的是这个数列的第 1、2、3、4、5、6、7、8、 ,发现它的项数比对应数字小 2,所以 78 是第 76 项,那么这个数列就有 76项对于连续的自然数列,它们的项数是:末项首项+1如果添上此数列所缺的一些奇数,就变成了1、2、3、4、5、6、7、8、95、96、97、98、99、10

8、0,可知这个数列是 100 项让它们两两结合有:（1、2） 、 （3、4） 、 （5、6） 、 （7、8） 、 （95、96） 、 （97、98） 、（99、100）,奇数在每一组的第 1 位,偶数在第 2 位,而且每组里偶数比奇数大,同学们一看就知道,共有100250组,每组把偶数找出来,那么原数列就有 50 项了这样的方法我们称为“添数配组法”利用“添数配组法”得:（1、2） 、 （3、4） 、 （5、6） 、 （7、8） 、 （87、88） 、 （89、90） 、（91、92）,192 有 92 项,每组 2 项,那么可以得到92246组,所以原数列有 46 项利用“添数配组法”得:（4

9、、5、6） 、 （7、8、9） 、 （10、11、12） 、 （13、14、15） 、例题精讲例题精讲4、 （46、47、48）,注意每两项的差是 3 ,那么每组有 3 个数,数列中的数都在每组的第 1位,所以 46 应在最后一组第 1 位,4 到 48 有484145 项,每组 3 个数,所以共45315组,原数列有 15 项当然,我们还可以有其他的配组方法【答案】76 50 46 15【巩固巩固巩固】1,3,5,7,是从是从 1 开始的奇数开始的奇数,其中第其中第 2005 个奇数是个奇数是_.【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第 4

10、题,6 分【解析】22005-1=4009【答案】4009【例例 3】3】312、610、128、246、484、是按一定规律排列的一串算式是按一定规律排列的一串算式,其中第六个算式其中第六个算式的计算结果是的计算结果是 .【考点】等差数列的基本认识 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第 3 题,6 分【解析】规律是,第一个加数是公比为 2 的等比数列,第二个加数是差为 2 的等差数列,所以第六个式子是96+2=98【答案】98【例例 4】4】 把比把比 100 大的奇数从小到大排成一列大的奇数从小到大排成一列,其中第其中第 21 个是多少个是多少? 【考点】等差数列

11、的基本认识 【难度】2 星 【题型】计算 【解析解析解析】该数列为等差数列,首项为 101,公差为 2,第 21 个数的项数为 21.则 101+（21-1）2=141【答案】141【巩固巩固巩固】2,5,8,11,14是按照规律排列的一串数是按照规律排列的一串数,第第 21 项是多少项是多少? 【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】计算 【解析解析解析】此数列为一个等差数列,将第 21 项看做末项.末项=2+（21-1）3=62【答案】62【例例 5】5】 已知一个等差数列第已知一个等差数列第 9 项等于项等于 131,第第 10 项等于项等于 137,这个数列的第这个数列的第

12、 1 项是多少项是多少?第第 19 项是多少项是多少? 【考点】等差数列的基本认识 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】把数列列出来:83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191【答案】191【巩固巩固巩固】一个数列共有一个数列共有 13 项项,每一项都比它的前一项多每一项都比它的前一项多 7,并且末项为并且末项为 125,求首项是多少求首项是多少? 【考点】等差数列的基本认识 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】把数列列出来:125,118,111,104,97,90,83

13、,76,69,62,55,48,41【答案】41【巩固巩固巩固】在下面在下面12个方框中各填入一个数个方框中各填入一个数,使这使这12个数从左到右构成等差数列个数从左到右构成等差数列,其中其中10、16已经填好已经填好,这这12个数的和为个数的和为 . 16 10 【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】计算 5【关键词】学而思杯学而思杯,3 年级年级【解析解析解析】由题意知:这个数列是一个等差数列,又由题目给出的两个数10和16知:公差为2,那么第一个方格填26,最后一个方格是4,由等差数列求和公式知和为:(426) 122180.【答案】180【例例 6】6】 从从 1 开始的

14、奇数开始的奇数:1,3,5,7,其中第其中第 100 个奇数是个奇数是_.【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】略【答案】199【例例 7】7】 观察右面的五个数观察右面的五个数:19、37、55、a 、91 排列的规律排列的规律,推知推知 a =_ .【考点】等差数列的基本认识 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】希望杯,四年级,二试【解析】19+18=37,37+18=55,所以 a=55+18=73【答案】73等差数列公式的简单运用【例例 8】8】 2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列是个连续偶数列,如果其中五个连续

15、偶数的和是如果其中五个连续偶数的和是 320,求它们中最小的求它们中最小的一个一个 【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】方法一:利用等差数列的“中项定理”,对于奇数个连续自然数,最中间的数是所有这些自然数的平均值,五个连续偶数的中间一个数应为320564,因相邻偶数相差 2,故这五个偶数依次是 60、62、64、66、68,其中最小的是 60 方法二:5 个连续偶数求和,我们不妨可以把这 5 个数用字母表示记作:4x、2x、x、2x、4x那么这 5 个数的和是5320 x ,64x ,进而可得这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是 60请教

16、师引导学生体会把中间数表示为x的便利,如果我们把最大或最小的数看成x,那么会怎样呢?【答案】60【巩固巩固巩固】1、3、5、7、9、11、是个奇数列是个奇数列,如果其中如果其中 8 个连续奇数的和是个连续奇数的和是 256,那么这那么这 8 个奇数中最大个奇数中最大的数是多少的数是多少? 【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】我们可以找中间的两个数其中一个为y,那么这 8 个数为:6y ,4y ,2y ,y,2y ,4y ,6y ,68y ,根据题意可得:88256y ,所以31y ,最大的奇数是839y 【答案】39【巩固巩固巩固】1、4、7、10、13、这个

17、数列中这个数列中,有有 6 个连续数字的和是个连续数字的和是 159,那么这那么这 6 个数中最小的是几个数中最小的是几? 【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】设这个数为:6x,3x,x,3x,6x,9x,它们的和是69159x,所以25x ,那么最小数为19【答案】19【例例 9】9】 在等差数列在等差数列 6,13,20,27,中中,从左向右数从左向右数,第第 _个数是个数是 1994 【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】填空 【解析解析解析】每个数比前一个数大 7,根据求通项1(1)naand的公式得1()1nnaad,列式得:(19

18、946)72842841285 即第 285 个数是 1994【答案】285【巩固巩固巩固】5、8、11、14、17、20、,这个数列有多少项这个数列有多少项?它的第它的第 201 项是多少项是多少?65 是其中的第几项是其中的第几项?【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】它是一个无限数列,所以项数有无限多项第n项首项公差1n（）,所以,第 201 项53201 1605 （）,对于数列 5,8,11,65,一共有:6553121n （）,即 65 是第 21 项【答案】无限多项;第201项是605;65是第21项【巩固巩固巩固】对于数列对于数列 4、7

19、、10、13、16、19,第第 10 项是多少项是多少?49 是这个数列的第几项是这个数列的第几项?第第 100 项与第项与第 50项的差是多少项的差是多少? 【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】可以观察出这个数列是公差为 3 的等差数列根据刚刚学过的公式:第n项首项公差1n（）,项数(末项首项)公差1,第n项第m项公差nm（）第 10 项为:4310 142731 （）,49 在数列中的项数为:4943 1 16 （）第 100 项与第 50 项的差:310050150（）【答案】第10项是31;49是第16项;第100项与第50项的差事150 【巩

20、固巩固巩固】已知数列已知数列 0、4、8、12、16、20、 ,它的第它的第 43 项是多少项是多少? 【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】第 43 项0443 1168（）【答案】168【巩固巩固巩固】聪明的小朋友们聪明的小朋友们,PK一下吧一下吧 73、5、7、9、11、13、15、 ,这个数列有多少项这个数列有多少项?它的第它的第 102 项是多少项是多少?0、4、8、12、16、20、 ,它的第它的第 43 项是多少项是多少?已知等差数列已知等差数列 2、5、8、11、14 ,问问 47 是其中第几项是其中第几项?已知等差数列已知等差数列 9、

21、13、17、21、25、 ,问问 93 是其中第几项是其中第几项?【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】它是一个无限数列,所以项数有无限多项第n项首项公差1n（,所以,第 102 项32 1021205 （）;第 43 项04 (43 1)168 首项2,公差3,我们可以这样看:2、5、8、11、14 、47 ,那么这个数列有:4723 1 16n （,(熟练后,此步可省略),即 47 是第 16 项 其实求项数公式,也就是求第几项的公式9394122n （【答案】无限多项;205 168 16 22 【例例 10】10】如果一个等差数列的第如果一个等差数列的第

22、 4 项为项为 21,第第 6 项为项为 33,求它的第求它的第 8 项项.如果一个等差数列的第如果一个等差数列的第 3 项为项为 16,第第 11 项为项为 72,求它的第求它的第 6 项项. 【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】要求第 8 项,必须知道首项和公差第 6 项第 4 项64（）公差 ,所以 ,公差6;第 4 项首项3 公差 ,21首项3 6 ,所以,首项3 ;第 8 项首项7 公差45 公差7,首项2,第 6 项37【答案】45 37【巩固巩固巩固】已知一个等差数列第已知一个等差数列第 8 项等于项等于 50,第第 15 项等于项等于

23、71.请问这个数列的第请问这个数列的第 1 项是多少项是多少? 【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】71-50=21.21（15-8）=3（公差）.50=首项+（8-1）3.所以首项=29【答案】29【巩固巩固巩固】如果一等差数列的第如果一等差数列的第 4 项为项为 21,第第 10 项为项为 57,求它的第求它的第 16 项项 【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】要求第 16 项,必须知道首项和公差第 10 项第 4 项104（）公差,所以,公差6 ;【解析解析解析】第 4 项首项3 公差 ,21首项3 6

24、,所以,首项3 ;第 16 项首项15公差93 【答案】93等差数列的求和8【例例 11】11】一个等差数列一个等差数列 2,4,6,8,10,12,14,这个数列各项的和是多少这个数列各项的和是多少? 【考点】等差数列的求和 【难度】2 星 【题型】计算 【解析解析解析】根据中项定理,这个数列一共有 7 项,各项的和等于中间项乘以项数,即为:8756【答案】56【巩固巩固巩固】有有 20 个数个数,第第 1 个数是个数是 9,以后每个数都比前一个数大以后每个数都比前一个数大 3这这 20 个数相加个数相加,和是多少和是多少? 【考点】等差数列的求和 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】末项

25、是:920 1366 （）,和是:966202750（）【答案】750【巩固巩固巩固】求首项是求首项是 13,公差是公差是 5 的等差数列的前的等差数列的前 30 项的和项的和 【考点】等差数列的求和 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】末项是:135301158 （）,和是:13158)3022565（【答案】2565【例例 12】12】15 个连续奇数的和是个连续奇数的和是 1995,其中最大的奇数是多少其中最大的奇数是多少? 【考点】等差数列的求和 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】由中项定理,中间的数即第 8 个数为:199515133,所以这个数列最大的奇数即第 15 个数是:

26、1332158147（）【答案】147【巩固巩固巩固】把把 210 拆成拆成 7 个自然数的和个自然数的和,使这使这 7 个数从小到大排成一行后个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是相邻两个数的差都是 5,那么那么,第第 1 个个数与第数与第 6 个数分别是多少个数分别是多少?【考点】等差数列的求和 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】由题可知:由 210 拆成的 7 个数一定构成等差数列,则中间一个数为210730,所以,这 7 个数分别是 15、20、25、30、35、40、45.即第 1 个数是 15,第 6 个数是 40.【答案】40【例例 13】13】小马虎计算小马虎计

27、算 1 到到 2006 这这 2006 个连续整数的平均数个连续整数的平均数.在求这在求这 2006 个数的和时个数的和时,他少算了其中的一他少算了其中的一个数个数,但他仍按但他仍按 2006 个数计算平均数个数计算平均数,结果求出的数比应求得的数小结果求出的数比应求得的数小 1.小马虎求和时漏掉的数是小马虎求和时漏掉的数是 .【考点】等差数列的求和 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】少的这个数应该给每一个数都补上 1,才能使结果正确,共要补上 2006,因此这个漏掉的数是 2006.【答案】2006模块二、等差数列的运用（提高篇）【例例 14】14】已知

28、数列已知数列:2,1,4,3,6,5,8,7,问问 2009 是这个数列的第多少项是这个数列的第多少项? 【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】偶数项的排列规律是:1、3、5、7, 奇数项的排列规律是:2、4、6、8,9方法一:可以看出两个数列都是等差数列由于 2009 是奇数,所以在偶数项数列中,它的项数是:2009121005（）,所以在整个数列中,2009 的项数是100522010,所以 2009 是这个数列的第 2010 项方法二:仔细观察能发现,在整个数列中,奇数的项数是该数1,偶数的项数是该数2,所以 2009 是这个数列的第200912010

29、 项【答案】2010【巩固巩固巩固】已知数列已知数列 2、3、4、6、6、9、8、12、,问问:这个数列中第这个数列中第 2000 个数是多少个数是多少?第第 2003 个数是多个数是多少少? 【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】奇数项的排列规律是:2、4、6、8, 偶数项的排列规律是:3、6、9、12,可以看出奇数项与偶数项都成等差数列,先求出要求的两个数各自在等差数列中的项数:第 2000个数在偶数项等差数列中是第200021000个数,第 2003 个数在奇数项等差数列中是第2003121002（）个数 ,所以第 2000 个数是3100013300

30、0（）,第 2003 个数是21002122004（）【答案】2004【例例 15】15】已知有一个数列已知有一个数列:1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、,试问试问: 15 是这样的数列中的第几个到第几个数是这样的数列中的第几个到第几个数? 这个数列中第这个数列中第 100 个数是几个数是几? 这个数列前这个数列前 100 个数的和是多少个数的和是多少?【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】分析可得下表: 数 :1 2 3 4 5 6 7 14 15 16 个数:2 4 6 8 10 12 14 28 30 32 24628210,所以 1

31、5 是第 211 个到 240 个 在这个数列中前 9 组的个数是:2461890 (个) 这个数列前 10 组的个数是:24620110 (个)而90100110,所以第 100 个数是第 10 组中的数,是 10这个数列中前 100 个数的和是:1 2243 69 1810 10670 【答案】第 211 个到 240 个 10 670【例例 16】16】有一列数有一列数:l,2,4,7,1l,16,22,29,37,问这列数第问这列数第 1001 个数是多少个数是多少? 【考点】等差数列的公式运用 【难度】4 星 【题型】计算 【解析解析解析】从题目中可以看出第二个数与第一个数差 1,第

32、三个数与第二个数相差 2,第四个数与第三个数相差 3,依此类推,以后每一项与前一项的差都会依次增加 1,因此有以下规律:第 1 个数:11,第 2 个数:21 1 ,第 3 个数:4221 12 ,第 4 个数:7341 123 ,10第 5 个数:114741 1231 1234 ,第 6 个数:1651151 12341 12345 ,第n个数:1 12345(1)n 第 1001 个数为:1 12345(1001 1)1 123451000 15005005005001 【答案】5005001【例例 17】17】已知等差数列已知等差数列 15,19,23,443,求这个数列的奇数项之和与

33、偶数项之和的差是多少求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少? 【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】公差=19-15=4项数=（443-15）4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为:15,23,31439,公差为 8,和为（15+439）542=12258偶数项组成的数列为:19,27,35443,公差为 8,和为（19+443）542=12474差为 12474-12258=216【答案】216【巩固巩固巩固】求从求从 1 到到 2000 的自然数中的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差所有偶数之和与所有奇数之和的差.【考

34、点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】解法 1:可以看出,2,4,6,2000 是一个公差为 2 的等差数列,1,3,5,1999 也是一个公差为 2 的等差数列,且项数均为 1000,所以:原式=（2+2000)10002-（1+1999）10002=1000解法 2:注意到这两个等差数列的项数相等,公差相等,且对应项差 1,所以 1000 项就差了 1000 个 1,即原式=10001=1000【答案】1000【例例 18】18】100 个连续自然数个连续自然数(按从小到大的顺序排列按从小到大的顺序排列)的和是的和是 8450,取出其中第取出其中第 1 个个

35、,第第 3 个个第第 99 个个,再把再把剩下的剩下的 50 个数相加个数相加,得多少得多少? 【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 (方法一)要求和,我们可以先把这 50 个数算出来.100 个连续自然数构成等差数列,且和为 8450,根据等差数列的和 （首项末项)项数2,则:首项末项84502100169,又因为末项比首项大 99,所以,首项16999235（）.因此,剩下的 50 个数为:36,38,40,42,44,46134.这些数构成等差数列,和为361345024250（）.（方法二)我们考虑这 100 个自然数分成的两个数列,这两个数列有相同的公差

36、,相同的项数,且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大 1,因此,剩下的数的总和比取走的数的总和大 50,又因为它们相加的和为 8450.所以,剩下的数的总和为84505024250（）.【答案】4250【巩固巩固巩固】 有有 20 个数个数,第第 1 个数是个数是 9,以后每个数都比前一个数大以后每个数都比前一个数大 3这这 20 个数相加个数相加,和是多少和是多少? 【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 11【解析解析解析】末项是:920 1366 （）,和是:966202750（）【答案】750【例例 19】19】把把 248 分成分成 8 个连续偶数的和

37、个连续偶数的和,其中最大的那个数是多少其中最大的那个数是多少? 【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】平均数:2488=31,第 4 个数:31-1=30.第 1 个数:30-6=24,末项:24+（8-1）2=38.即:最大的数为 38.【答案】38【巩固巩固巩固】把把 210 拆成拆成 7 个自然数的和个自然数的和,使这使这 7 个数从小到大排成一行后个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是相邻两个数的差都是 5,那么那么,第第 1 个个数与第数与第 6 个数分别是多少个数分别是多少? 【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解

38、析解析】由题可知:由 210 拆成的 7 个数必构成等差数列,则中间一个数为 2107=30,所以,这 7 个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第 1 个数是 15,第 6 个数是 40.【答案】40【例例 20】20】在在1100这一百个自然数中这一百个自然数中,所有能被所有能被 9 整除的数的和是多少整除的数的和是多少? 【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】每 9 个连续数中必有一个数是 9 的倍数,在1100中,我们很容易知道能被 9 整除的最小的数是99 1,最大的数是999 11,这些数构成公差为 9 的等差数列,这个数列一共有

39、:11 1 111 项,所以,所求数的和是:9182799999112594（）【解析解析解析】也可以从找规律角度分析【答案】594【巩固巩固巩固】在在1100这一百个自然数中这一百个自然数中,所有不能被所有不能被 9 整除的数的和是多少整除的数的和是多少? 【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】先计算1100的自然数和,再减去能被 9 整除的自然数和,就是所有不能被 9 整除的自然数和了121001 10010025050（）,9182799999112594（）,所有不能被 9整除的自然数和:50505944456如果直接计算不能被 9 整除的自然数和,

40、是很麻烦的,所以先计算所有1100的自然数和,再排除掉能被 9 整除的自然数和,这样计算过程变得简便多了【答案】4456【巩固巩固巩固】在在1 200这二百个自然数中这二百个自然数中,所有能被所有能被 4 整除或能被整除或能被 11 整除的数的和是多少整除的数的和是多少? 【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】先求出能被 4 整除的自然数和,再求出能被 11 整除的自然数和,将二者相加,但是此时得到的不是题目需要的和,因为 44,88 等数在两个数列中都存在,也就是说能被 44 整除的数列被计算了两次,所以我们还应该减去能被 44 整除的数列和4812200

41、1122331984488132176（）（）（）420050211 19818244176426541（）（）（）【答案】6541【巩固巩固巩固】在在 1145 这这 35 个数中个数中,所有不被所有不被 3 整除的数的和是多少整除的数的和是多少? 【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】先求被 3 整除的数的和;1145 中能被 3 整除的数有 12,15,45,和为:12121542451245122342（）;于是,满足要求的数的和为:1145342980342638（）【答案】638【例例 21】21】求求 100 以内除以以内除以 3 余余 2 的

42、所有数的和的所有数的和【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】100 以内除以 3 余 2 的数为 2、5、8、11、98 公差为 3 的等差数列,首先求出一共有多少项,9823133 （） ,再利用公式求和2983321650（）【答案】1650【巩固巩固巩固】从从 401 到到 1000 的所有整数中的所有整数中,被被 8 除余数为除余数为 1 的数有的数有_个个? 【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】因为被 8 除余数为 1 的整数组成公差是 8 的等差数列,最小的是 401,最大的是 993,于是项数9934018

43、175 （）【答案】75【例例 22】22】从正整数从正整数 1N 中去掉一个数中去掉一个数,剩下的剩下的(N 一一 1)个数的平均值是个数的平均值是 15.9,去掉的数是去掉的数是_.【考点】等差数列的公式运用 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】走美杯,5 年级,决赛【解析解析解析】因为“剩下的(N-1)个数的平均值是 159”,所以(N-1)是 10 的倍数,且 N 在 1592318 左右,推知 N=31.去掉的数是 (1+2+3+31)-15.930496-47719.【答案】19等差数列找规律找规律计算【例例 23】23】1 只青蛙只青蛙 1 张嘴张嘴,2 只眼睛只眼睛 4 条

44、腿条腿; 2 只青蛙只青蛙 2 张嘴张嘴,4 只眼睛只眼睛 8 条腿条腿; 只青蛙只青蛙 张嘴张嘴,32 只眼睛只眼睛 条腿条腿.【考点】找规律计算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析解析解析】32(21)=16;32(21)=16;32（42）=64.【答案】16;16;64【例例 24】24】如图如图 2,用火柴棍摆出一系列三角形图案用火柴棍摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去按这种方式摆下去,当当 N=5 时时,按这种方式摆下去按这种方式摆下去,当当N=5 时时,共需要火柴棍共需要火柴棍 根根.13【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】填空 【

45、解析】找规律 3,3+6,3+6+9,N=5 时,需要火柴棍 3+6+9+12+15=45【答案】45【例例 25】25】观察下面的序号和等式观察下面的序号和等式,填括号填括号 序号序号 等式等式1 12363 357155 5811247 711 1533 （） 7983 （）（）（）【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯【解析解析解析】可以这样想: 表中各竖行排列的规律是什么?(等差数列) 表中这四个括号,应先填哪一个?为什么?这个括号里的数怎么求?应先填左起第一个,因为它是序号,表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置,即各自的项数第一个括号:79

46、833411996 （）,11996123991（）;第二个括号:11996123991（）;第三个括号:根据等差数列通项公式:21996135987（） 或 3991 19965987;第四个括号:根据等差数列通项公式:619961917961 （）或 5987317961【答案】3991;3991;5987;17961【巩固巩固巩固】有许多等式有许多等式: 【巩固巩固巩固】 2461353 ;【巩固巩固巩固】 81012147911 134;【巩固巩固巩固】 161820222415171921235;那么第那么第 10 个等式的和是个等式的和是_【考点】找规律计算 【难度】4 星 【题型

47、】填空 【解析解析解析】前九个等式左边的数共有34113119263（）（个）数,那么第十个等式左边第一个数是6312128（）,所以第十个等式的和是1281301501281501221668（）【答案】166814【巩固巩固巩固】观察下列算式观察下列算式: 24623, 2461234 24682045 然后计算然后计算:246100 .【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】等式右边第一个乘数等于等式左边加数的个数,100 以内的偶数有 50 个,所以24610050512550【答案】2550【例例 26】26】将一些半径相同的小圆按

48、如下所示的规律摆放将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放:第第 1 个图形中有个图形中有 6 个小圈个小圈,第第 2 个图形中有个图形中有 10 个个小圈小圈,第第 3 个图形中有个图形中有 16 个小圈个小圈,第第 4 个图形中有个图形中有 24 个小圈个小圈,依此规律依此规律,第第 6 个图形有个图形有_个小圈个小圈.【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】除周围 4 个小圆外,中间小圆的规律是 12,23,34,第 6 个图有 67446 个小圆.【答案】46【例例 27】27】观察下列四个算式观察下列四个算式:=20,=10,= ,

49、=.从中找出规律从中找出规律,写出第五个算式写出第五个算式: .20120210452516【考点】找规律计算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,六年级,二试【解析】发现规律,第 5 个算式为16=5256.516【答案】5256规律计数【例例 28】28】从从 1 到到 50 这这 50 个连续自然数中个连续自然数中,去两数相加去两数相加,使其和大于使其和大于 50有多少种不同的取法有多少种不同的取法?【考点】找规律计算 【难度】4 星 【题型】填空 【解析解析解析】设满足条件的两数为a、b,且ab,则有若1a ,则50b ,共 1 种15若2a ,则49b ,50,共 2 种

50、若25a ,则26b ,27,50,共 25 种若26a ,则27b ,28,50,共 24 种 （26a ,25b 的情况与25a ,26b 的情况相同,舍去）若27a ,则28b ,29,50,共 23 种若49a ,则50b ,共 1 种所以,所有不同的取法种数为12325242322121232425625 （）【答案】625【巩固巩固巩固】从从 1 到到 100 的的 100 个数中个数中,每次取出两个不同的自然数相加每次取出两个不同的自然数相加,使它们的和超过使它们的和超过 100有几种不同的有几种不同的取法取法? 【考点】找规律计算 【难度】4 星 【题型】填空 【解析解析解析】