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1、第十三章 立体几何,第1讲 空间几何体的三视图和直观图,1多面体的结构特征,(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且其余,每相邻两个面的交线都互相平行,侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱,柱叫做正棱柱,(2)棱锥：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶,点的三角形,如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它的顶点又在 过正多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥,(3)棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分,2旋转体的几何特征,(1)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一,周而形成的曲面所围成的几何体,(2)圆锥：以直角三角形的一
2、条直角边所在的直线为旋转轴， 将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 (3)圆台：类似于棱台，圆台可看作是用一个平行于圆锥底面 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分类似于圆锥的形成过 程，圆台还可以看作是一直角梯形绕垂直于底的腰所在的直线旋 转，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体,(4)球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周,形成的几何体,3用斜二测画法画水平放置的平面图形 (1)步骤：画轴、取点、成图,(2)图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中仍平行于 x轴且长 度保持不变，平行于 y 轴的线段，在直观图中仍平行于 y轴且长 度变为原来的一半，与坐标轴不平行的线段，可通
3、过确定端点的 办法来解决,(3)画空间图形的直观图时，只需增加一个竖直的 z轴，图形 中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z轴且长度保持不变,4三视图的定义,(1)俯视图：一个投影面水平放置，叫做水平射影面，投影到,这个平面内的图形叫做俯视图,(2)主视图：一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立 投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图(正视图) (3)左视图：和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧 立投影面，通常把这个平面放置在直立投影面的右面，投影到这 个平面内的图形叫做侧视图(左视图),5三视图的排列规则,长对正、高平齐、宽相等,1如图 1311，这是一幅电热水壶的主视图
4、，则它的俯视,图是(,),D,图 1311,2纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、 南、西、北现又沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上 展平，得到如图 1312 所示的平面图形，则标“”的面的方,位是(,),B,图 1312,A南,B北,C西,D下,3下面说法正确的是(,),D,A水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B两条相交直线的直观图可能是平行直线 C互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 D平行四边形的直观图仍是平行四边形,4如图 1313，已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱,垂直于底面，那么该四棱锥的三视图是(,),图 1313,B,5小华拿一个矩形木框在阳光下玩
5、，矩形木框在地面上形成,的投影不可能是(,),A,考点1 空间几何体的结构特征 例 1：如图 1314，模块均由 4 个棱长为 1 的小 正方体构成，模块由 15 个棱长为 1 的小正方体构成现从模块 中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为 3,的大正方体则下列选择方案中，能够完成任务的为(,),图 1314,A模块、 C模块、,B模块、 D模块、,解析：本小题主要考查空间想象能力先补齐中间一层，只 能用模块或，且如果补则后续两块无法补齐，所以只能先 用补中间一层，然后再补齐其他两块 答案：A,在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何 体的 4 个顶点，这些几何形体是_(写
6、出所有正确结论的 编号),矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角 三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三 角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体,解析：如图D22，AA1C1C为矩形；三棱锥B1A1BC1 就是有,三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边 三角形的四面体；三棱锥DA1BC1 就是每个 面都是等边三角形的四面体；三棱锥A1ABC 就是每个面都是直角三角形的四面体,答案：,图D22,【互动探究】 1(2011 年广东)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何 底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线,的条数共有(,),D,A20 条,B15
7、条,C12 条,D10 条,解析：正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中 的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共 有 5210(条),考点2,几何体的三视图,例2：(2010 年广东)如图1315，ABC为三角形，AA,则多面体ABCABC的正视图(也称主视图)是(,),图 1315,答案：D,画三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等”的 原则，即“正、俯视图一样长，正、侧视图一样高，俯、侧视图 一样宽”，看得见的线条为实线，被遮挡的为虚线,【互动探究】 2(2011 年江西)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如,图 1316 所示，则该几何体的左视图为(,),D,图 1
8、316 解析：左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起 来就可以得到答案,3(2011 年山东)如图 1317 是长和宽分别相等的两个矩 形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如 图 1317；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图 131 7；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图 12.其中真命题的,),A,个数是( A3 C1,B2 D0,解析：可以是放倒的三棱柱，所以 正确；容易判断正确；可以是放倒的,圆柱，所以也正确,图1317,考点3,几何体的直观图,例3：对一个三角形采用斜二测画法作其直观图时，其直观图,的面积是原三角形面积的_倍(,),答案：A,用斜二测画法
9、画直观图，关键是掌握水平放置的 平面图形直观图的画法，而其中的关键是确定多边形顶点的位置； 将直观图还原为其空间几何体时，应抓住斜二测画法的规则,D,易错、易混、易漏 20将三视图还原成几何体时对数据的判断产生错误 例3：一个正三棱柱的三视图如图 1318，求这个三棱柱 的表面积和体积,图 1318,图 1319,1要明确柱体、锥体、台体和球的定义，定义是处理问题的 关键；认识和把握空间几何体的结构特征是认识几何体的基础 2旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要 清楚圆柱、圆锥、圆台和球分别是由哪一种平面图形旋转形成的， 从而掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质,4圆
10、锥的母线l、高h和底面圆的半径R组成直角三角形圆锥的计算一般归结为解这个直角三角形，特别是关系式l2h2R2. 5圆台的母线l、高h和上、下底面圆的半径r、R组成直角梯形圆台的计算一般归结为解这个直角梯形，特别是关系式l2h2(R-r)2.,6球的截面性质：球的截面是圆面，球面被经过球心的平面 截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的 小圆；球心和截面圆心的连线垂直于截面；r (其中 r 为 截面圆半径，R 为球的半径，d 为球心 O 到截面圆的距离，即 O 到截面圆心 O1 的距离),正确理解锥体和台体的关系，台体是由平行于锥体底面的平 面所截得的，“还台为锥”是处理棱台和圆台的最有效手段,