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1、第8讲,函数模型及其应用,1学习过的基本初等函数主要有,指数函数,一次函数、二次函数、正(反)比例函数、三角函数、_、,_、_等,对数函数,幂函数,要熟练掌握这些函数的图象与性质，以便利用它们来解决一 些非基本函数的问题 2用基本初等函数解决非基本函数问题的途径 (1)化整为零：即将非基本函数“拆”成基本初等函数，以便 用已知知识解决问题,(2)图象变换：某些非基本函数的图象可看成是由基本初等函 数图象通过图象变换得到的，搞清了变换关系，便可借助基本初,等函数解决非基本函数问题,二次函数模型,3在解决某些应用问题时，通常要用到的一些函数模型 _、_、_、_、 _、分式函数模型、分段函数模型等,
2、4三种函数增长的条件：,幂函数模型,当 a1 时，指数函数 yax 是增函数，并且当 a 越大时，其函 数的增长就越快,一次函数模型,指数函数模型,对数函数模型,当 a1 时，对数函数 ylogax 是增函数，并且当 a 越小时，,其函数的增长就越快,当 x0，n0 时，幂函数 yxn 是增函数，并且当 n 越大时，,其函数的增长就越快,5三种函数增长速度的比较,直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含 义：当 a1，n0 时，那么当 x 足够大时，一定有指数函数值增长 快于幂函数值增长，幂函数值增长快于对数函数值增长也就是 说，指数函数值增长最快，人们常称这种现象为“指数爆炸”,
3、1某一种商品降价 10%后，欲恢复原价，则应提价(,),D,300,一台计算机，9 年后的价格大约是_元,3某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为 200 万元，生产每台计算机的可变成本为 3 000 元，每台计算机的售价 为 5 000 元则： (1)总成本 C(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为_,_；,C2000.3x(xN*),(2)单位成本 P(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为_,_；,(3)销售收入 R(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为_,_；,R0.5x(xN*),(4)利润 L(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为_,_,L0.2x200(xN
4、*),4一等腰三角形的周长是 20，底边 y 是关于腰长 x 的函数， 它的解析式为_ 5已知函数 y12x 和 y2x2.,当 x(2,4时，函数_的值增长快；,当 x(4，)时，函数_的值增长快,y202x(5x10),y2x2,y12x,考点1,正比例、反比例和一次函数类的实际问题,例1：某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每 个定价 5 元，该店推出两种优惠办法： (1) 买一个茶壶赠送一个茶杯； (2) 按总价的 92%付款 某顾客需要购茶壶 4 个，茶杯若干(不少于 4 个)，若需茶杯 x 个，付款数为 y(元)，试分别建立两种优惠办法中 y 与 x 的函数关 系，并
5、讨论顾客选择哪种优惠方法更合算,解析：由优惠办法(1)可得函数关系式： y12045(x4)5x60(x4) 由优惠办法(2)可得函数关系式：,y2(5x420)92%4.6x73.6(x4) 比较：y1y20.4x13.6(x4),当 0.4x13.60，即 x34 时，y1y2，即当购买茶杯个数大,于 34 时，优惠办法(2)合算,当0.4x13.60，即x34 时，两种优惠办法一样合算 当0.4x13.60，即4x34 时，y1y2，优惠办法(1)合算,本题考查的是建立一次函数模型，并应用一次函 数模型解决实际问题的能力第一种优惠办法，实际付款是 4 个 茶壶的钱和(x4)个茶杯的钱第二
6、种优惠办法只需将货款总数乘 以 92%，而后再作差比较二者的大小即可,【互动探究】 1一批物资要用 11 辆汽车从甲地运到 360 千米外的乙地，,批物资至少需要(,),C,A10 小时,B11 小时 C12 小时,D13 小时,考点2分段函数类的实际问题 例2：某厂生产某种产品的年固定成本为250 万元，每生产 x,450(万元)每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产 的商品能全部售完 (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润 最大？,所以，当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最 大
7、，最大利润为 1 000 万元,现实生活中有很多问题是用分段函数表示的，如 出租车计费，个人所得税计算，邮政资费等等，故分段函数是刻 画现实生活的重要模型本题的分段函数考查二次函数前者配方， 后者利用基本不等式,【互动探究】 2通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能 力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间讲座开始时，学 生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想 的状态，随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明，用 f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出概念和讲授概念 的时间(单位：分)，可有以下的关系式：,(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能
8、维持多少时 间？ (2)一个数学难题，需要 55(或以上)的接受能力，上课开始 30 分钟内，求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟？ (3)如果每隔 5 分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值,M,f(5)f(10)f(30) 6,，它能高于 45 吗？,故当0x10时，f(x)递增，最大值为： f(10)0.1(3)259.959. 显然，当16x30时，f(x)递减， f(x)31610759. 因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力，并维持6分钟 (2)依题意，当0x10时，令f(x)55， 则(x13)249.6x10. 当10x16时，f(x)59符合要求,解：(1)0x
9、10时， 有f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9.,考点3,二次函数类的实际应用题,例3：某市场调查发现，某种产品在投放市场的 30 天中，其 销售价格 P 元和时间 t(tN)的关系如图 381 所示 (1)写出销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数解析式； (2) 若日销售量 Q( 件) 与时间 t( 天) 的函数关系是 Q t 40(0t30，tN)，求该商品的日销 售金额 y(元)与时间 t(天)的函数解析式； (3)问该产品投放市场第几天时， 日销售额最高，最高值为多少元？ 图 381,当25t30，tN 时，7030，函数在25,30上是减函数， 因此t25
10、时，y 有最大值1 125 元，因为1 125870，所以在第 25 天日销售额最大，最大值为1 125 元,二次函数是我们比较熟悉的函数模型，建立二次函 数模型可以求出函数的值域或最值解决实际中的优化问题时， 一定要分析自变量的取值范围利用配方法求最值时，一定要注 意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对 称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称 轴不在给定的区间内，最值在区间的端点处取得另外在实际的 问题中，还要考虑自变量为整数的问题,【互动探究】,3某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场 分析，每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x(xN
11、)的关系为 yx220 x36.,(1)每辆客车从第几年起开始盈利？,(2)每辆客车营运多少年，可使其营运的总利润最大？ (3)每辆客车营运多少年，可使其营运的平均利润最大？,考点4 实际应用中对模拟函数的优化设计,例4：福布斯 2009 年中国富豪榜发布后，有人认为中国富豪 受益于活跃的股票市场，得益于强劲的资本市场股票有风险应 考虑中长期投资，若某股票上市时间能持续 15 年，预测上市初期 和后期会因供求及市场前景分析使价格呈连续上涨态势，而中期 有将出现供大于求使价格连续下跌现有三种价格随发行年数的 模拟函数：(A)f(x)pqx；(B)f(x)logqxp；(C)f(x)(x1)(xq
12、)2 p(以上三式中 p，q 均为常数，且 q2),(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数？为什,么？,(2)若 f(1)4，f(3)6， 求出所选函数 f(x)的解析式； 一般散户为保证个人的收益，通常考虑打算在价格下跌期 间出售股票，请问他们会在哪几个年份出售？,所以函数f(x)有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间 所以应选f(x)(x1)(xq)2p为其价格模拟函数 (2)由f(1)4，f(3)6，得p4，q4，(其中q2舍去)， 所以f(x)x39x224x12(1x15，xN*) 由知：f(x)3x218x2402x4，所以f(x)在区间(2,4)上单调递减 故他
13、们会在发行的第2,3年出售,解数学应用题应该注意以下几点：,(1)在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时：要注意 自变量的取值范围；要检验所得结果，必要时运用估算和近似 计算，使结果符合实际问题的要求,(2)在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语 言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，使实际问题数学 符号化,(3)对于建立的各种数学模型，要能够识别模型，充分利用数 学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺 利解决实际问题的基本保证,(4)解题的过程要注意规范书写格式，做到有问必答,题意理解不准确，函数模型选用不当，是最常见的解题错误 对于实际问题，其定义域除了使解析式有意义外，还要注意 它的实际意义在利用函数模型求得问题的解后，要注意检验其 合理性,