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1、第十章 推理与证明,第1讲,合情推理和演绎推理,1合情推理,归纳推理,类比推理,(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想， 再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理 (2)合情推理可分为_和_两类： 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该 类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 一般结论的推理简言之，归纳推理是由_到_、由_,到_的推理；,部分,整体,个别,一般,类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理,2演绎推理,定义：从一般性的原理出发
2、，推出某个特殊情况下的结论的,推理叫做演绎推理,简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演 绎推理的一般模式，它包括：大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特 殊情况作出的判断,1在ABC 中，若 BCAC，ACb，BCa，则ABC 的,外接圆半径 r,，将此结论拓展到空间，可得出的正确结,论是：在四面体 SABC 中，若 SA，SB，SC 两两垂直，SAa，,SBb，SCc，则四面体 SABC 的外接球半径 R_.,2已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到,空间正四面体，类似的结论是_.,1 3,3用火柴棒按图 1011 的方法搭三角形： 图
3、 1011 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个,数 n 之间的关系式可以是_.,an2n1,4类比是一个伟大的引路人我们知道，等差数列和等比数 列有许多相似的性质，请阅读下表并根据等差数列的结论，类似,的得出等比数列的两个结论：,5.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图 1012，按这,白色,种规律往下排，那么第 36 个圆的颜色应是_ 图1012,bmqnm,例 1：(2011年山东)设函数 f(x),考点1 归纳推理,x x2,，观察：,f1(x)f(x),x x2,，,f2(x)ff1(x),x 3x4,，,f3(x)ff2(x),x 7x8,，,f4(x)ff3
4、(x),x 15x16,，, 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 nN*且 n2 时，fn(x)f(fn1(x)_.,(2011 年陕西)观察下列等式 11.,2349.,3456725.,4567891049.,照此规律，第五个等式应为_,解析：把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的 式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n1；等式右边都是完 全平方数，,答案：561381,归纳推理的一般步骤：通过对某些个体的观察、 分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律；从已知的相同 性质中推出一个明确表达的一般性命题如以上两题归纳总结时， 看等号左边的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出
5、第 五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键,【互动探究】 1观察以下等式：,11 123 1236 123410 1234515,131 13239 13233336 13233343100 1323334353225,可以推测 132333n3_(用含有 n 的式子,表示，其中 n 为自然数),考点2 类比推理,例2：在直角ABC 中，两直角边的长分别为 a，b，直角顶,棱 SA，SB，SC 两两垂直，SAa，SBb，SCc，点 S 到平面 ABC 的距离为 h，类比上述结论，写出 h 与 a，b，c 的等式关系并 证明,如图D16，过 S 作ABC 所在平面的垂线，垂足为 O
6、，连接,CO 并延长交 AB 于 D，连接 SD. SO平面 ABC，SOAB.,SCSA，SCSB，SC平面 ABC. SCAB，SCSD.AB平面 SCD. ABSD.,图 D16,类比推理经常用到转化与化归的思想，如空间转 化为平面、三角形类比三棱锥、正方形类比正方体、实数类比到 向量、椭圆类比到双曲线、等差数列类比到等比数列等类比推 理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一 类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜 想).,【互动探究】 2已知 O 是ABC 内任意一点，连接 AO，BO，CO 并延长,平面几何题，其证明常采用“面积法” 请运用类比思想，对
7、于空间中的四面体 VBCD，存在什么 类似的结论？并用体积法证明,解：在四面体VBCD 中，任取一点O，连接VO，DO，BO， CO 并延长分别交四个面于 E，F，G，H 点,考点3 演绎推理,例3：(2011年江西)已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33. (1)若a1，求数列an的通项公式； (2)若数列an唯一，求a的值,演绎推理是一种必然性推理，只要前提和推理形式,正确，其结论也必然正确,【互动探究】 3(2011 年广东湛江测试)命题：“若空间两条直线 a，b分 别垂直平面，则 ab”，学生小夏这样证明： 设 a，b 与面分别相交于 A，B
8、，连接 A，B，,a，b，AB， aAB，bAB., ,ab.,这里的证明有两个推理，即：和.老师评改认为 小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是_.,考点4,信息给予题,则下列结论恒成立的是(,),AT，V 中至少有一个关于乘法是封闭 BT，V 中至多有一个关于乘法是封闭 CT，V 中有且只有一个关于乘法是封闭 DT，V 中每一个关于乘法是封闭,例4：(2011年广东)设S是整数集Z的非空子集，如果a，bS，有abS，则称S关于数的乘法是封闭的若T，V是Z的两个不相交的非空子集，TVZ，且a，b，cT，有abcT，x，y，zV，有xyzV.,答案：A,解析：由于TVZ，故整数1一定在T
9、，V两个集合中的一个中，不妨设1T，则a，bT，由于a，b,1T，则ab1T，即abT，从而T对乘法封闭 另一方面，当T非负整数，V负整数时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对；当T奇数，V偶数时，T，V显然关于乘法都是封闭的，故B，C不对 从而本题就选A.,【互动探究】 4(2011 年四川)设 S 为复数集 C 的非空子集若对任意 x，y S，都有 xy，xy，xyS，则称 S 为封闭集下列命题： 集合 Sabi|(a，b 为整数，i 为虚数单位)为封闭集； 若 S 为封闭集，则一定有 0S； 封闭集一定是无限集； 若 S 为封闭集，则满足 STC 的任意集合 T 也是封闭集,其中
10、真命题是_(写出所有真命题的序号),答案：,1合情推理主要包括类比推理和归纳推理数学研究中，在 得到一个新结论之前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明 一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向 2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结 论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段 论数学问题的证明方法主要通过演绎推理来进行,3合情推理仅是合乎情理的推理，它得到的结论不一定正确,而演绎推理得到的结论一定正确,1合情推理包括类比推理和归纳推理归纳推理是从特殊到 一般的推理，类比推理是从特殊到特殊的推理合情推理是从已 知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严 格证明，合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展 的依据,2演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数 学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性,