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1、2017年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集为R，集合M=1，1，2，4，N=x|x22x3，则M（RN）=（）A1，1，2B1，2C4Dx|1x22复数（i为虚数单位）的虚部是（）A1B1CiDi3已知命题p：“m=1”，命题q：“直线xy=0及直线x+m2y=0互相垂直”，则命题p是命题q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要4张丘建算经卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按30天计）共织布390
2、尺，最后一天织布21尺”，则该女第一天共织多少布？（）A3B4C5D65双曲线mx2+ny2=1（mn0）的一条渐近线方程为，则它的离心率为（）A2BC或D2或6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（）A3B4C5D7在等比数列an中，已知a3，a7是方程x26x+1=0的两根，则a5=（）A1B1C1D38设，则展开式的常数项为（）A20B20C160D2409设x0，3，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a，则“a5”的概率为（）ABCD10已知实数x，y满足，则的取值范围是（）AB3，11CD1，1111已知圆O的半径为1，A，B，C，D为该圆上四个点，且，
3、则ABC的面积最大值为（）A2B1CD12已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），对任意xR满足f（x）+f（x）0，则下列结论正确的是（）A2f（ln2）3f（ln3）B2f（ln2）3f（ln3）C2f（ln2）3f（ln3）D2f（ln2）3f（ln3）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知函数，则f（f（3）=14观察下列式子：，根据以上规律，第n个不等式是15函数的图象可由函数的图象至少向左平移个单位长度得到16已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17设
4、函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，c=2，求ABC面积的最大值18某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：（1）学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的22联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀及教学方式有关”甲班乙班合计优秀不优秀合计附：参考公式及数据P（x2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.
5、87910.828K2=（2）从两个班数学成绩不低于90分的同学中随机抽取3名，设为抽取成绩不低于95分同学人数，求的分布列和期望19如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，D为棱BB1上一点，E是AB的中点（1）若D是BB1的中点，证明：平面ADC1平面A1EC；（2）若平面ADC1及平面ABC的夹角为45，求BD的长20已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=4的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率不为0的任意一条直线及曲线C交于两点A，B，试问在x轴上是否存在一点P（及点F不重合），使得APF=BPF，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理
6、由21已知三次函数f（x）的导函数f（x）=3x2+3且f（0）=1，（1）求f（x）的极值；（2）求证：对任意x1，x2（0，+），都有f（x1）g（x2）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系及参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：，直线l的参数方程是（t为参数，0）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l及曲线C交于两点A，B，且线段AB的中点为M（2，2），求选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=m|x+4|（m0），且f（x2）0的解集为3，1（1）
7、求m的值；（2）若a，b，c都是正实数，且，求证：a+2b+3c92017年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案及试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集为R，集合M=1，1，2，4，N=x|x22x3，则M（RN）=（）A1，1，2B1，2C4Dx|1x2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出N中不等式的解集确定出N，根据全集R，求出N的补集，找出M及N补集的交集即可【解答】解：由N中不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：x1或x3，即N=（，1）（3，+），全集为R，RN=1，3，M=1，1
8、，2，4，M（RN）=1，1，2，故选：A2复数（i为虚数单位）的虚部是（）A1B1CiDi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案【解答】解： =，则复数（i为虚数单位）的虚部是：1故选：B3已知命题p：“m=1”，命题q：“直线xy=0及直线x+m2y=0互相垂直”，则命题p是命题q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件及充要条件的判断【分析】利用直线相互垂直及斜率之间的关系解出m，进而判断出结论【解答】解：命题q：由直线xy=0及直线x+m2y=0互相垂直，则=1，解得：m=1命题p是命题q的充分
9、不必要条件故选：A4张丘建算经卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按30天计）共织布390尺，最后一天织布21尺”，则该女第一天共织多少布？（）A3B4C5D6【考点】等差数列的前n项和【分析】设数列an，则数列an是等差数列，且S30=390，a30=21，由此能求出结果【解答】解：设数列an，则数列an是等差数列，且S30=390，a30=21，即390=15（a1+21），解得a1=5故选：C5双曲线mx2+ny2=1（mn0）的一条渐近线方程为，则它的离心率为（）A2BC或D2或【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的渐近线方程得到
10、a，b的关系，再根据离心率公式计算即可【解答】解：双曲线mx2+ny2=1（mn0）的一条渐近线方程为y=x，=或=，双曲线的离心率为e=2或，故选：D6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（）A3B4C5D【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图知，该几何体为半径为1的球体，挖去球体，结合图中数据求出它的表面积【解答】解：根据三视图知，该几何体为半径为1的球体，挖去球体，该几何体的表面积为S=4R2+2R2=4R2=4故选：B7在等比数列an中，已知a3，a7是方程x26x+1=0的两根，则a5=（）A1B1C1D3【考点】等比数列的通项公式【分析】利用一元二次方程的根及
11、系数的关系、等比数列的性质即可得出【解答】解：a3，a7是方程x26x+1=0的两根，a3a7=1，a3+a7=6a30，a76a50则a5=1故选：A8设，则展开式的常数项为（）A20B20C160D240【考点】二项式系数的性质；定积分【分析】利用定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式的常数项【解答】解： =cosx=（coscos0）=2，则=展开式的通项公式为：Tr+1=26r，令3r=0得：r=2展开式中的常数项为24=240故选：D9设x0，3，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a，则“a5”的概率为（）ABCD【考点】程序框图【分析】先分析程序的
12、功能为计算并输出分段函数y=的值，进而求出函数的值域，再由几何概型概率计算公式，得到答案【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，当x0，2）时，y3，5），当x2，3时，y5，10，故输出的结果的范围为3，10，若从输出的结果中随机取一个数a，a5a3，5，则P=，故选：C10已知实数x，y满足，则的取值范围是（）AB3，11CD1，11【考点】简单线性规划【分析】画可行域明确目标函数几何意义，目标函数=1+2，表示动点P（x，y）及定点M（1，1）连线斜率k的2倍过M做直线及可行域相交可计算出直线PM斜率，从而得出所求目标函数范围【解答】解：目标函数目标函目标函数=1
13、+2，表示动点P（x，y）及定点M（1，1）连线斜率k的两倍加1，由图可知，当点P在A（0，4）点处时，k 最大，最大值为：11；当点P在B（3，0）点处时，k 最小，最小值为：；从而则=1+21+2的取值范围是，11故选：C11已知圆O的半径为1，A，B，C，D为该圆上四个点，且，则ABC的面积最大值为（）A2B1CD【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量关系，判断四边形的形状，然后求解三角形的面积的最大值即可【解答】解：如图所示，由+=知，ABDC为平行四边形，又A，B，C，D 四点共圆，ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，当AB=AC 时，ABC 的面积取得最大值为=1故选：B1
14、2已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），对任意xR满足f（x）+f（x）0，则下列结论正确的是（）A2f（ln2）3f（ln3）B2f（ln2）3f（ln3）C2f（ln2）3f（ln3）D2f（ln2）3f（ln3）【考点】导数的运算【分析】由题意设g（x）=exf（x），求出g（x）后由条件判断出符号，由导数及函数单调性的关系判断出g（x）的单调性，由单调性和指数的运算即可得到答案【解答】解：由题意设g（x）=exf（x），则g（x）=exf（x）+exf（x）=exf（x）+f（x），对任意xR满足f（x）+f（x）0，ex0，对任意xR满足g（x）0，则函数g（x）在R上是减
15、函数，ln2ln3，g（ln2）g（ln3），即2f（ln2）3f（ln3），故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知函数，则f（f（3）=1【考点】函数的值【分析】由已知得f（3）=log22=1，从而f（f（3）=f（1），由此能求出结果【解答】解：函数，f（3）=log22=1，f（f（3）=f（1）=12=1故答案为：114观察下列式子：，根据以上规律，第n个不等式是【考点】归纳推理【分析】根据所给不等式，即可得出结论【解答】解：根据所给不等式可得故答案为：15函数的图象可由函数的图象至少向左平移个单位长度得到【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分
16、析】利用两角和差的三角公式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：把函数=2（sinxcosx）=2sin（x）的图象至少向左平移个单位，可得y=2sin（x+）=2sin（x+）=sinx+cosx的图象，故答案为：16已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为【考点】球的体积和表面积【分析】作出正四面体的图形，确定球的球心位置为O，说明OE是内切球的半径，运用勾股定理计算，即可得到球的体积【解答】解：如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为，所以OE为内切球的半径，设OA=OB=R，在等边三角形BCD中，BE=，AE=由OB2=OE2+B
17、E2，即有R2=（R）2+，解得，R=OE=AER=，则其内切球的半径是，内切球的体积为（）3=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17设函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，c=2，求ABC面积的最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理【分析】（1）利用三角函数的有关公式将函数化为y=Asin（x+）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增减区间上，解不等式得函数的单调增减区间；（2）根据，求解C角大小，利用余弦定理建立关系，根据基本不等式求解ABC
18、面积的最大值【解答】解：（1）函数化简可得： =令，则即f（x）的递增区间为，令，则可得f（x）的递减区间为（2）由得，ABC是锐角三角形，由余弦定理得 c2=a2+b22abcosC，将c=2，代入得 由基本不等式得，即，即ABC面积的最大值为18某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：（1）学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的22联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀及教学方式有关”甲班乙班合计优秀14822不优秀61218合计202040
19、附：参考公式及数据P（x2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=（2）从两个班数学成绩不低于90分的同学中随机抽取3名，设为抽取成绩不低于95分同学人数，求的分布列和期望【考点】独立性检验的应用；茎叶图【分析】（1）由茎叶图可得表格，计算可得K2的近似值，结合参考数值可得结论；（2）由题意可得的可能值，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望【解答】解：（1）如图所示甲班乙班合计优秀 14 822不优秀61218合计202040由K2=3.632.706知，可以判断：有90%把握认
20、为“成绩优秀及教学方式有关”（2）两个班数学成绩不低于90分的同学中，成绩不低于95分同学人数有3名，从中随机抽取3名，=0，1，2，3，的分布列为：X0123P19如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，D为棱BB1上一点，E是AB的中点（1）若D是BB1的中点，证明：平面ADC1平面A1EC；（2）若平面ADC1及平面ABC的夹角为45，求BD的长【考点】及二面角有关的立体几何综合题；平面及平面垂直的判定【分析】（1）推导出CEAB，从而CE平面ABB1A1，进而ADCE，再求出ADA1E，从而AD平面A1EC，由此能证明平面ADC1平面A1EC（2）以E为原点，EB为x轴，EC
21、为y轴，过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD的长【解答】（本小题满分12分）证明：（1）由AC=BC，AE=BE，知CEAB，又平面ABC平面ABB1A1，所以CE平面ABB1A1而AD平面ABB1A1，ADCE，在正方形ABB1A1中，由D，E分别是BB1和AB的中点，知ADA1E而A1ECE=E，AD平面A1EC，AD平面ADC1，平面ADC1平面A1EC解：（2）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设 BD=t，则A（1，0，0），D（1，0，t），C1（0，2），=（2，0，t），=（1，）
22、，设平面ADC1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，），平面ABC的法向量=（0，0，1），平面ADC1及平面ABC的夹角为45，cos45=，解得t=1BD=t=120已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=4的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率不为0的任意一条直线及曲线C交于两点A，B，试问在x轴上是否存在一点P（及点F不重合），使得APF=BPF，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由【考点】直线及椭圆的位置关系【分析】（1）设点M（x，y），利用条件可得等式=|x4|，化简，可得曲线C的轨迹方程；（2）通过设存在点P（x0，0）满
23、足题设条件，分AB及x轴不垂直及不垂直两种情况讨论，利用韦达定理化简、计算即得结论【解答】解：（1）设点M（x，y），则据题意有=|x4|则4（x1）2+y2=（x4）2，即3x2+4y2=12，曲线C的方程：（2）假设存在点P（x0，0）满足题设条件，当AB及x轴不垂直时，设AB的方程为y=k（x1）当AB及x轴不垂直时，设AB所在直线的方程为y=k（x1），代入椭圆方程化简得：（4k2+3）x28k2x+4k212=0，可知0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，若APF=BPF，则kAP+kBP=0，则kAP+kBP=（x11）（x2x0）+（x21）（x1
24、x0）=2x1x2（1+x0）（x1+x2）+2x0=0整理得：k（x04）=0，因为kR，所以x0=4；当ABx轴时，由椭圆的对称性可知恒有APF=BPF，满足题意；综上，在x轴上存在点P（4，0），使得APF=BPF21已知三次函数f（x）的导函数f（x）=3x2+3且f（0）=1，（1）求f（x）的极值；（2）求证：对任意x1，x2（0，+），都有f（x1）g（x2）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）法一：问题转化为xx2lnx+1（x0），即x2lnx+1x0（x
25、0）令h（x）=x2lnx+1x（x0），根据函数的单调性证明即可；法二：由a1知，令，求出h（x）的最小值，从而证明结论即可；法三：同法二，求h（x）的最小值时可以二次求导【解答】解：（ 1）依题意得f（x）=x3+3x1，f（x）=3x2+3=3（x+1）（x1）知f（x）在（，1）和（1，+）上是减函数，在（1，1）上是增函数f（x）极小值=f（1）=3，f（x）极大值=f（1）=1（2）法1：易得x0时，f（x）最大值=1，依题意知，只要由a1知，只要xx2lnx+1（x0）x2lnx+1x0（x0）令h（x）=x2lnx+1x（x0），则h（x）=2xlnx+x1注意到h（1）=0，
26、当x1时，h（x）0；当0x1时，h（x）0，即h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+）是增函数，h（x）最小值=h（1）=0即h（x）0，综上知对任意x1，x2（0，+），都有f（x1）g（x2）法2：易得x0时，f（x）最大值=1，由a1知，令则注意到h（1）=0，当x1时，h（x）0；当0x1时，h（x）0，即h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+）是增函数，h（x）最小值=h（1）=1，所以h（x）最小值=1，即g（x）最小值=1综上知对任意x1，x2（0，+），都有f（x1）g（x2）法3：易得x0时，f（x）最大值=1，由a1知，令，则令，则，知（x）在（0，+）递增，注意
27、到（1）=0，所以，h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+）是增函数，有h（x）最小值=1，即g（x）最小值=1综上知对任意x1，x2（0，+），都有f（x1）g（x2）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系及参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：，直线l的参数方程是（t为参数，0）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l及曲线C交于两点A，B，且线段AB的中点为M（2，2），求【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）由，代入即可求得直角
28、坐标系方程；（2）方法一：将直线l的参数方程，代入抛物线方程，利用中点坐标公式，求得tan，由0，即可求得的值；方法二：利用点差法，则求得直线AB的斜率k，则0，即可求得的值；方法三：利用中点坐标公式，求得A和B点坐标，即可求得直线AB的斜率，求得求得的值；方法四：将直线方程代入抛物线方程，则 k=tan=1，求得求得的值；【解答】解：（1）曲线，即sin2=4cos，于是有2sin2=4cos，化为直角坐标方程为：y2=4x（2）方法一：，则（2+tsin）2=4（2+tcos），即t2sin2+（4sin4cos）t4=0由AB的中点为M（2，2）得t1+t2=0，有4sin4cos=0，
29、所以k=tan=1由0，；方法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1+y2=4，由0，方法三：设，则由M（2，2）是AB的中点得，y1y2，y1=0，y2=4，知A（0，0），B（4，4），kl=tan=1，由0得方法四：依题意设直线l：y2=k（x2），及y2=4x联立得，即ky24y8k+8=0由得 k=tan=1，由0，选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=m|x+4|（m0），且f（x2）0的解集为3，1（1）求m的值；（2）若a，b，c都是正实数，且，求证：a+2b+3c9【考点】二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法【分析】（1）根据f（x2）0的解集为3，1，结合绝对值不等式的解法，即可求m的值；（2）利用柯西不等式，即可证明结论【解答】（1）解：依题意f（x2）=m|x+2|0，即|x+2|mm2x2+m，m=1（2）证明：由柯西不等式得整理得a+2b+3c9当且仅当a=2b=3c，即时取等号2017年3月27日29 / 29