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1、全等三角形的提高拓展训练(学生版)1he全等三角形经典题型50题(含答案)全等三角形的提高拓展训练知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应
2、角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的
3、位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础例题精讲板块一、截长补短【例1】 (年北京中考题)已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明 【例2】 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？ 【例3】 已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.【例4】 以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点求证：平分 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以
4、为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长 【例5】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180， 求证：AD平分CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在中，是的平分线，且，求的度数. 【例8】在等腰中，顶角，在边上取点，使， 求. 【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在中，又在上，在上，且满足，求. 全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADADBC延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BEAEAB+BE 即:10-22AD10+2
5、 4AD6 又AD是整数,则AD=5 2. 已知：D是AB中点，ACB=90，求证：DABC3. 已知：BC=DE，B=E，C=D，F是CD中点，求证：1=2ABCDEF21证明：连接BF和EF。因为 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF。所以 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,CBF=DEF。连接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以 EBF=BEF。又因为 ABC=AED。所以 ABE=AEB。所以 AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF。所以 三角形ABF和三角形AEF全等。所以 B
6、AF=EAF (1=2)。 BACDF21E4. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求证：EF=AC证明：过E点，作EG/AC，交AD延长线于G则DEG=DCA，DGE=2又CD=DEADCGDE（AAS）EG=ACEF/ABDFE=11=2DFE=DGEEF=EGEF=AC5. 已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2CACDB证明：在AC上截取AE=AB，连接EDAD平分BACEAD=BAD又AE=AB，AD=ADAEDABD（SAS）AED=B，DE=DBAC=AB+BD AC=AE+CECE=DEC=EDCAED=C+EDC=2CB=2C6. 已知：AC平分BAD，CE
7、AB，B+D=180，求证：AE=AD+BE证明： 在AE上取F，使EFEB，连接CF 因为CEAB 所以CEBCEF90 因为EBEF，CECE， 所以CEBCEF 所以BCFE 因为BD180，CFECFA180 所以DCFA 因为AC平分BAD 所以DACFAC 又因为ACAC 所以ADCAFC（SAS） 所以ADAF 所以AEAFFEADBE 12. 如图，四边形ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.ABE=FBE,BE=BE,则ABEFBE(SAS),EFB=A;AB平行于CD,则:A+
8、D=180;又EFB+EFC=180,则EFC=D;又FCE=DCE,CE=CE,故FCEDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.DCBAFE13.已知：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求证：F=CAB/ED,AE/BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB，所以:C=F14. 已知：AB=CD，A=D，求证：B=CABCD证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：AED是等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以
9、：BEC是等腰三角形所以：角B=角C.15. P是BAC平分线AD上一点，ACAB，求证：PC-PBAC-AB作B关于AD的对称点B，因为AD是角BAC的平分线，B在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）因为PCPB+BC,PC-PBBC,而BC=AC-AB=AC-AB,所以PC-PB三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以5=634已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCDEF因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE，BC平行EF所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内
10、错角相等）然后SSA（角角边）三角形全等ACBDEF35已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD证明：因为 AB=AC， 所以 EBC=DCB 因为 BDAC，CEAB 所以 BEC=CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC全等于三角形DCB 所以 BECD36、 如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F。AEBDCF求证：DE=DFAAS证ADFDCBAE37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,求AD 的长？角C=角E=90度角B=角
11、EAD=90度-角BACBC=AEABCDAEAD=AB=538如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC证明AB=ACABC是等腰三角形B=C又ME=MF，BEM和CEM是直角三角形BEM全等于CEMMB=MC39.如图，给出五个等量关系： 请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明ABC已知：求证：证明：已知1,2求证4因为AD=BC AC=BD，在四边形ADBC中，连AB所以ADB全等于BCA 所以角D=角C以4,5为条件，1为结论。即：在四边形ABCD中，D=C，A=B，求证：AD=BC因为
12、A+B+C+D=360D=C，A=B，所以 2(A+D)=360， A+D=180，所以 AB/DC 40在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1） 证明：ACB=90，ACD+BCE=90，而ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90，BCE+CBE=90，ACD=CBE在RtADC和RtCEB中，ADC=CEBACD=CBE AC=CB，RtADCRtCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）不成立，证明：
13、在ADC和CEB中，ADC=CEB=90ACD=CBE AC=CB，ADCCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=CE-CD=AD-BE；41如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF（1） 证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=AB AF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F（2） (2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已证）所以角G=角CAF因为角CAF=90
14、度所以EC垂直BF42如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。证明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90，ACN+BAC=90ABM=ACNBM=AC，CN=ABABMNACAM=AN（2）ABMNACBAM=NN+BAN=90BAM+BAN=90即MAN=90AMAN43如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF连接BF、CE，证明ABF全等于DEC（SAS），然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC平行于EF44如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则A
15、B与AC+BD相等吗？请说明理由在AB上取点N ,使得AN=AC CAE=EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以ANE=ACE又AC平行BD所以ACE+BDE=180而ANE+ENB=180所以ENB=BDENBE=EBNBE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD45、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF证明：AD是中线BD=CDDF=DE，BDE=CDFBDECDFBED=CFDBECFADECBF46、(10分)已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，求证：证明：D
16、EAC，BFAC，DEC=AFB=90，在RtDEC和RtBFA中，DE=BF，AB=CD，RtDECRtBFA，C=A，ABCD47、(10分)如图，已知1=2，3=4，求证：AB=CD 【待定】ACEDB48、 (10分)如图，已知ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.结论：CEDE。当AEB越小，则DE越小。证明：过D作AE平行线与AC交于F，连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且DFB为等腰三角形。RTBAE中，AEB为锐角，即AEB90DF/AE FDB=AEB45RTAFB中，FBA=90-DBF 45
17、ABAFAB=CE AF=DECEDE49、 (10分)如图，已知ABDC，ACDB，BECE，求证：AEDE.ABECD先证明ABCBDC 的出角ABC=角DCB在证明ABEDCE得出AE=DEABCDEF图950如图9所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDE证明：作CG平分ACB交AD于GACB=90ACG= DCG=45ACB=90 AC=BCB=BAC=45B=DCG=ACGCFADACF+DCF=90 ACF+CAF=90CAF=DCF AC=CB ACG=BACGCBECG=BE DCG=B CD=BDCDG BDEADC=BDE