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1、全等三角形的提高拓展训练 知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键 全等三角形的判
2、定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础
3、 例题精讲 板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？【例3】已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE.求证：BE+DF=AE.【例4】以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、A
4、CE，连结CD、BE相交于点O求证：OA平分DOE 如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长 NCDEBMADOECBANEBMAD【例5】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDE 板块二、全等与角度【例 7】如图，在ABC中，60BAC，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数.【例 8】在等腰ABC中，ABAC，顶角20A，在边AB上取点D，使ADBC，求BDC.【例 9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题)如图所示，在ABC中，
5、ACBC，20C，又M在AC上，N在BC上，且满足50BAN，60ABM，求NMB.全等三角形证明经典 50 题（含答案）1.已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中点，AD 是整数，求 AD 延长 AD 到 E,使 DE=AD,则三角形 ADC 全等于三角形 EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEAEAB+BE 即:10-22AD10+24AD6 又 AD 是整数,则 AD=5 2.已知：D 是 AB 中点，ACB=90，求证：12CDAB 3.已知：BC=DE，B=E，C=D，F 是 CD 中点，求证：1=2 D A B C A D B C CEDBA证明：连接 B
6、F 和 EF。因为 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF。所以三角形 BCF 全等于三角形 EDF(边角边)。所以 BF=EF,CBF=DEF。连接 BE。在三角形 BEF 中,BF=EF。所以EBF=BEF。又因为ABC=AED。所以ABE=AEB。所以 AB=AE。在三角形 ABF 和三角形 AEF 中，AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF。所以三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。所以BAF=EAF(1=2)。4.已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求证：EF=AC 证明：A B C D E F 2 1 B A C D F 2 1 E 过 E 点，
7、作 EG/AC，交 AD 延长线于 G 则DEG=DCA，DGE=2 又CD=DE ADCGDE（AAS）EG=AC EF/AB DFE=1 1=2 DFE=DGE EF=EG EF=AC 5.已知：AD 平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2C 证明：在 AC 上截取 AE=AB，连接 ED AD 平分BAC EAD=BAD 又AE=AB，AD=AD AEDABD（SAS）AED=B，DE=DB AC=AB+BD AC=AE+CE CE=DE C D B A C=EDC AED=C+EDC=2C B=2C 6.已知：AC 平分BAD，CEAB，B+D=180，求证：AE=AD+BE 证明
8、：在 AE 上取 F，使 EFEB，连接 CF 因为 CEAB 所以CEBCEF90 因为 EBEF，CECE，所以CEBCEF 所以BCFE 因为BD180，CFECFA180 所以DCFA 因为AC 平分BAD 所以DACFAC 又因为 ACAC 所以ADCAFC（SAS）所以 ADAF 所以 AEAFFEADBE 12.如图，四边形 ABCD 中，ABDC，BE、CE 分别平分ABC、BCD，且点 E 在 AD 上。求证：BC=AB+DC。证明:在 BC 上截取 BF=BA,连接 EF.ABE=FBE,BE=BE,则ABEFBE(SAS),EFB=A;AB 平行于 CD,则:A+D=18
9、0;又EFB+EFC=180,则EFC=D;又FCE=DCE,CE=CE,故FCEDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.13.已知：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求证：F=C AB/ED,AE/BD 推出 AE=BD,又有 AF=CD,EF=BC 所以三角形 AEF 全等于三角形 DCB，所以:C=F 14.已知：AB=CD，A=D，求证：B=C 证明：设线段 AB,CD 所在的直线交于 E，（当 ADBC 时，E 点是射线 AB,DC 的交点）。则：AED 是等腰三角形。所以：AE=DE 而 AB=CD 所以：BE=CE(等量加等量，或等量减
10、等量）所以：BEC 是等腰三角形 所以：角 B=角 C.15.P 是BAC 平分线 AD 上一点，ACAB，求证：PC-PBAC-AB D C B A F E A B C D 作 B 关于 AD 的对称点 B，因为 AD 是角 BAC 的平分线，B在线段 AC 上（在 AC 中间，因为 AB 较短）因为 PCPB+BC,PC-PBBC,而 BC=AC-AB=AC-AB,所以 PC-PB三角形ADC 全等于三角形 ABC.所以 BC 等于 DC，角 3 等于角 4,EC=EC 三角形 DEC 全等于三角形 BEC 所以5=6 34已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCD
11、EF 因为 D,C 在 AF 上且 AD=CF 所以 AC=DF D B CA F E 654321EDCBA又因为 AB 平行 DE，BC 平行 EF 所以角 A+角 EDF，角 BCA=角 F（两直线平行，内错角相等）然后 SSA（角角边）三角形全等 35已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD 证明：因为 AB=AC，所以EBC=DCB 因为 BDAC，CEAB 所以BEC=CDB BC=CB(公共边)则有三角形 EBC 全等于三角形 DCB 所以 BECD 36、如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于
12、F。求证：DE=DF AAS 证ADF 37.已知：如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE 若AB=5,求AD的长？角 C=角 E=90 度 角 B=角 EAD=90 度-角 BAC BC=AE ABCDAE AD=AB=5 38如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为 E、F，ME=MF。求证：MB=MC 证明AB=AC A C B D E F A E B D C F D C B A E ABC 是等腰三角形 B=C 又ME=MF，BEM 和CEM 是直角三角形 BEM 全等于CEM MB=MC 39.如图，给出五个等量关系：ADBCACBDCEDEDCDABCB
13、A请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明 已知：求证：证明：已知 1,2 求证 4 因为 AD=BCAC=BD，在四边形 ADBC 中，连 AB 所以ADB 全等于BCA 所以角 D=角 C 以 4,5 为条件，1 为结论。即：在四边形 ABCD 中，D=C，A=B，求证：AD=BC 因为A+B+C+D=360 D=C，A=B，所以 2(A+D)=360，A B C A+D=180，所以 AB/DC 40 在ABC中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD 于D，MNBE 于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图 1 的位置时，求
14、证：ADCCEB；BEADDE；(2)当直线MN绕点C旋转到图 2 的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1）证明：ACB=90，（2）ACD+BCE=90，（3）而 ADMN 于 D，BEMN 于 E，（4）ADC=CEB=90，BCE+CBE=90，（5）ACD=CBE（6）在 RtADC 和 RtCEB 中，ADC=CEBACD=CBEAC=CB，（7）RtADCRtCEB（AAS），（8）AD=CE，DC=BE，（9）DE=DC+CE=BE+AD；（2）不成立，证明：在ADC 和CEB 中，ADC=CEB=90ACD=CBEAC=CB，ADCCEB
15、（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=CE-CD=AD-BE；41如图所示，已知 AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBF （1）证明;因为 AE 垂直 AB（2）所以角 EAB=角 EAC+角 CAB=90 度（3）因为 AF 垂直 AC（4）所以角 CAF=角 CAB+角 BAF=90 度（5）所以角 EAC=角 BAF（6）因为 AE=ABAF=AC（7）所以三角形 EAC 和三角形 FAB 全等（8）所以 EC=BF（9）角 ECA=角 F（10）(2)延长 FB 与 EC 的延长线交于点 G（11）因为角 ECA=角 F(已证）（12）所
16、以角 G=角 CAF（13）因为角 CAF=90 度（14）所以 EC 垂直 BF 42如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。证明：（1）BEAC，CFAB ABM+BAC=90，ACN+BAC=90 ABM=ACN A E B M C F BM=AC，CN=AB ABMNAC AM=AN（2）ABMNAC BAM=N N+BAN=90 BAM+BAN=90 即MAN=90 AMAN 43如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF 连接 BF、CE，证明ABF 全等于DEC（SAS），然后通过四边形 BCEF 对边相
17、等的证得平行四边形 BCEF 从而求得 BC 平行于 EF 44 如图,已知 ACBD，EA、EB 分别平分CAB和DBA，CD过点 E，则 AB 与 AC+BD 相等吗？请说明理由 在 AB 上取点 N,使得 AN=AC CAE=EAN,AE 为公共边,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN 所以ANE=ACE 又 AC 平行 BD 所以ACE+BDE=180 而ANE+ENB=180 所以ENB=BDE NBE=EBN BE 为公共边,所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD 45、（10 分）如图,已知:AD 是 BC 上的中线,且 D
18、F=DE求证:BECF 证明：AD 是中线 BD=CD DF=DE，BDE=CDF BDECDF BED=CFD BECF 46、(10 分)已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，DEBF 求证：ABCD 证明：DEAC，BFAC，DEC=AFB=90，在 RtDEC 和 RtBFA 中，DE=BF，AB=CD，RtDECRtBFA，C=A，ABCD 47、(10 分)如图，已知1=2，3=4，求证：AB=CD A D E C B F【待定】48、(10 分)如图，已知 ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，试猜想线段 CE 与 DE 的大小与位置关系，并证明你的结论.结论
19、：CEDE。当AEB 越小，则 DE 越小。证明：过 D 作 AE 平行线与 AC 交于 F，连接 FB 由已知条件知 AFDE 为平行四边形，ABEC 为矩形，且DFB 为等腰三角形。RTBAE 中，AEB 为锐角，即AEB90 DF/AEFDB=AEB45 RTAFB 中，FBA=90-DBF45 ABAF AB=CEAF=DE CEDE 49、(10 分)如图，已知 ABDC，ACDB，BECE，求证：AEDE.先证明ABCBDC 的出角 ABC=角 DCB 在证明ABEDCE 得出 AE=DE A C E D B A B E C D 50如图 9 所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点F，求证：ADCBDE 证明：作 CG 平分ACB 交 AD 于 G ACB=90 ACG=DCG=45 ACB=90AC=BC B=BAC=45 B=DCG=ACG CFAD ACF+DCF=90 ACF+CAF=90 CAF=DCF AC=CBACG=B ACGCBE CG=BE DCG=BCD=BD CDGBDE ADC=BDE A B C D E F 图 9