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1、第07讲不等式章节检测一、单项选择题1、（2021 江苏省滨海中学高三月考）以下命题为真命题的是（）A.假设 4匕0,那么一力0,那么 Q，,人，a b.1c 口、 ab4,八 a a + cC.假设ca0,那么Z?c0,那么一c a c bb b + c【答案】D【解析】：对于A选项，当。=-21=-1时，不等式不成立，故是假命题； 对于B选项，当C =。时: 不满足，故为假命题;2 h 1对于C选项，当。=3,。= 2/=1时，- =不满足，故为假命题.c-a 3-2 c-b 2对于D选项,a a + c由于bc0,所以:一b b + cab + c)-b(a + c) ac-hc a-b
2、)bb + c b(b + c) bb + c)0,即a a + c ,、f 一 r ， 故为真命题.b b + c应选：D.2、（2021 浙江高三期末）设一元二次不等式加+ + l0的解集为x|-lx 1296 x +12960 = 38880 （元），当且仅 =或（10）,即x = 10时取等号. x当污水处理池的长为16. 2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.0x16Q 1由限制条件知八162/二工x160 168Q 1g(x)在-,16O设 g(x) = x +上是增函数，当x =过时（此时= 16）, 8xg（x）有最小值,即/（%）有最小值,Q 1即为 12
3、96x( j880081)+12960=38882 (元).Q 1当污水处理池的长为16米，宽为软米时总造价最低，总造价最低为38 882元.821、(2020泰州市第二中学高二月考)关于x的不等式ox2 (o+l)x+l0(1)假设a=-2解关于x的不等式ax2 (a+l)x+l0解关于x的不等式ax? (a+l)x+l0【解析】(l)a = 2时,不等式为-2f +1 + 1 0，(x-l)(2x+l)0,不等式的解集为x|x1.当。0时，不等式可化为。(X L)(X1)0 ,故(x L)(x1)0 aa当01,不等式的解集为xlx1时，-1,不等式的解集为x|xl. Qa综上，当0al时
4、，解集为xl x1时，解集xxl. aa22、(本小题总分值13分)函数/(工)=工2+bx + c(b,CR),对任意的xwA,恒有.(1)证明：当x20时，/(x)(x + c)2；(2)假设对满足题设条件的任意反。，不等式/(c)-/)恒成立，求知的最小值.【解析】证明 易知/(X)= 2x + Z?.由题设，对任意R,2x + Z?Q.故当 xNO时，有(x + c)2 - f(x) = (2c-b)x + c(c-1) 0 .即当 x20 时，/(x)(x + c)2.(2)解由(1)易知，c2网.当C同时，有M三/ 一呼/ = * c2-b2c2-b2c + b/ b tt .,
5、c + 2b 1令，=一,那么-1 ?1,= 2.cc+h +t3) -00.2J而函数g=2-(-1/网时,M的取值集合为-,+oo l_2 J当。二同时，由易知，h = 2.c = 2 .此时 /(C) 一 /(b) = -8 或 0 ,一匕2 = 0 ,3从而/(c) /S)().3综上所述，M的最小值丐A. 0 B. y/ab a ba+b 8【答案】CD /. r 2 . t 2【解析】ab匕4区上幺，当且仅当。= b = 2时等号成立，1 2 )2mil ”(4丫71T/4丫,/+/贝！J 一 = 4 或一, 8,4xl = l, C选项正确. a b ab ab4应选：CD46、
6、(山东省青岛市2020-2021学年高三模拟)X/x0,qWx +，x + 2的充要条件是（）A. a2B. a2C. a2D. a2j-x-=-（当且仅当=时，取得等号）88 16 8 Y 16 8 23应选：D4、（2022 苏州期初考试）设服b是正实数，以下不等式恒成立的为2ab2A. yaba-/9 B. ab+ab9 C. a2-h24ab3b2 D. aabb【答案】D2ab【解析】对于选项A,因为、是正实数，所以那么12+，可得到，耳当且仅当2/2时等号成立，应选项A错误；对于选项B,因为。、Z?是正实数，所以ab+淀2 Alab标=2小,当 2且仅当ab=ab，即也时取等号，应
7、选项B错误；对于选项C, a2-kr（4ab3b2）=a14ab+4/?2 = （a2/7）220,当且仅当q = 2时取等号，应选项C错误；对于选项D, q+/?|q切，那么|。一加一Z?恒成立，应选项D正确；综上，答案选D.5、（2022.广东铁一中学高三期末）假设且+匕=4,那么以下不等式恒成立的是（）【答案】D444【解析】因为工0,可得工+ = x + 2 +22J（x + 2）x2 = 2,x+2x+2 V x+24当且仅当x + 2 +，即x = 0时等号成立，x + 24因为x。，所以x +2,x + 24所以+的充要条件是。2. x + 2应选：D.7、（2021山东威海市高
8、三期末）假设关于X的不等式（租+3）x+3mvO的解集中恰有3个正整数，那么实 数加的取值范围为（）A. -2,-1）B.（3,4）C.（5,6D.（6,7【答案】D【解析】因为不等式f （m+3）x+3m 0的解集中恰有3个正整数，即不等式（3）（x根）3,所以不等式的解集为（3,m）所以这三个正整数为4,5,6,所以6mW7, B|J6tz d ,那么 acB.假设 ab,那么 aH 之 HC.假设a/?。，贝 ij（一）c。D.假设 ab ,那么 a-cb-c【答案】BD【解析】对于 A,取 a = 2 = l,c = ld = -2,此时 ac = Z?d,故 A 错误；对于B,由/2
9、0时 利用不等式的性质，不等式两边乘以同一个正数，不等号方向不变，可知42力/2,故B正确；对于 C, .tabQ, ：.ab 0 ,当 c0 时，（a-Z?）c。，故错误；对于D,由不等式的性质，两边同时减一个数，不等号方向不变，故D正确；应选：BD10、（2021 江苏省滨海中学高三月考）设正实数m、满足几=2,那么以下说法正确的选项是（）n 2A.1 的最小值为3B. mn的最大值为1m nC.+ 的最小值为2D.加？+2的最小值为2【答案】ABD【解析】因为正实数m. n, n 2 n m + n n m ,八 几 m。所以一+ = += + + 1.2= 2 + 1 = 3,m n
10、m n m n m n几当且仅当一=一且m+/?=2,即时取等号，此时取得最小值3, A正确;m n由 run,.由 run,.2 m + n F,=1,当且仅当m二二1时，me取得最大值1, B正确;因为(J + 6)2 =m + n + 2dmn = 2 + 2dmn, 2 + m + n 4 , 当且仅当m=n=l时取等号，故J/+五,0,那么（a bA.A.B. a bC.laD.【答案】CD【解析】命题意图此题考查不等式的性质., a0, b a0, b，b3 a3h,A错误；a a a + 5b b + 5A. a a + 5B.lga + b lga + gb2a + b aC.
11、y/a-b【答案】BCDb【解析】A.因为 ab【解析】A.因为 a5( 一 a)a + 5 (a + 5)glgQ + lg 3 ”，-匚，故正确;26，&Na-b ,所以 2G/ + Ja,所以 2&-6 Ja-b ,故正确.应选：BCD.三、填空题13、（2022湖南娄底高三期末）m b为正实数，且2a+b = l,那么2 +三的最小值为.a 2b【答案】6 &刀2 a 41 + 2b a （2h a 12b a A /【解析】由条件得，一+ =+ = 一+ +42J+4 = 6,a 2b a 2b a 2b） a 2b当且仅当生=9,即Q = , = 2时取等号. a 2b 55故答案
12、为：6.1.14、（2022 沐阳如东中学期初考试）正实数m 满足i+l=0,那么Z+好的最小值是【答案】9【解析】由一匕+ 1 = 0可得。=/?，因为。=/? 1_b_/ 14+4。=。_i+4b=b_ 1+4(81) + 5,贝%1+431)22264(131_81=431),即6=2, =3时等号成立,故+4b的最小值为9.15、(2021浙江绍兴市高三期末)且。 J 2x + l y + 1【答案】V2【解析】令 a = 2x+l , b- y + 1 ,因为0,y。，所以a 111那么工=,y = b-l2所以，= I a b一”I 7 1a 73 (a 7 11、3所以 x +
13、y = 1-b l = -h = -b -l- 222)a b) 21 . b a 3 b a 、入 b a r-a=+ 1 + += - + 2J-x- = J2,当且仅当一 =2 a 2b 2 a 2b a 2ba 2bx- y -，时取等号20且b0得匕1,所以151）=4,所以Z+4829,当且仅当:1,那么x+y的最小值为.即人马史，af + , 2故答案为：V216、（2021 浙江杭州市高三期末）假设。0, b0,且。+力=1,那么2+的最小值等于,G+6的最大值等于.【答案】；V2【解析】：a0, b0, a+b = l,.她，（噂）2=；,当且仅当。=Z? = g时取等号，/
14、+/=（+勿22a/, = i 2之1 ,当且仅当Q = b =工时取等号，（& +扬）2=Q + b + 2点 = 1 + 2 口,1 +。+人=2,当且仅当4 =方=；时取等号，JZ + JF的最大值J5,故答案为：；2四、解答题17、（2020上海高一专题练习）求以下函数的最小值/（、x?+x + l（1） y =（x 0）；x,八x2 + 2x +6 / 八 y =（xD-x-l解析】+ X + I I .,八 v =% + - + 1 30xO, /.x + -2jxx- = 2 (当且仅当x=,，即 x=l 时取=) X XXN + Y + 1即y =(x 0)的最小值为3；x(3
15、)令才=九一10),那么y=+2x + 6(xd可化为: x-l9 I 9y = / + - + 4 2 2x + 4 = 10当且仅当t=3时取二即y的最小值为1018、（2022 江苏连云港灌云县第一中学10月月考）关于工的不等式以23工+20的解集为x|xb.（1）求、的值;a b（2）当机0, 0且满足一 + = 1时，有2/n +及2左之+左+ 2恒成立，求实数人 范围. m n【解析】（1）因为不等式办23x + 20的解集为xx耳.所以，关于工的方程以2一31+ 2 = 0有两个实根分别为%=L %=b,且有0,。-3+2=031 4 = 1所以得0i 2（2）由（1）知F= 1
16、,不等式2m+左之+左+ 2恒成立，那么（2加+） . k+k + 2,m nc /c / 12、） 4m . c P2 4m o2m + n = 2m + n F =4h14 + 2. -x=8,n J m n m n当且仅当 =2m时，取等号,所以：Sk2+k + 2,即左2+人640,即一34kV2.I 219、（202。江苏省通州高级中学高一月考）。/（0, + 8）, a + b = l,求丁 = 一 十 一的最小值. a b上12 f 12、b 2a个c个仄解法如下：y = + 丁= - + - （a + b） = - + + 33 + 2y/2 ,a b ya b）a bi G当
17、且仅当一=：,即=夜1，人=2 0时取到等号， a b12l那么y = + ：的最小值为3 + 20. a b应用上述解法，求解以下问题：（1）。，瓦C（0,+oo）, a+b+c = l,求=，+L+，的最小值;a b c(2) 0,-l 2 J1 Q求y = 十 的最小值;x l-2x（3 ）正数，4，满足 4 +。2 +。3 1-。 = 1 .求证:ax +a2 a2 + a3a3 + a4+ .+1.an +q 2【解析】(1) I3a+Z?+c = l,= ( + /? + c)(b a c a c b =3+ - + - + - + - + - + -a b a c b c)二9,
18、28(2) y = +=2x l-2x(28 )1y2x l-2x J2.匕2 + 8 .二222x l-2x2(1-2x) 82x 0=o2x -2x当且仅当丝31=色2xl-2x即工=，时取到等号，那么y218, 6当且仅当 = b = c =!时取等号，即丁 =，+ ? +，的最小值为9.3a b c(2x + l-2x) = 10 + 2.i + 872x l-2x1 Q回函数y = +的最小值为18,二1,x 1-2%(3 )回。+。2 + 3 + , , + ”E12S =a；2、an+-ax +a2 a2 + a3 a3 + a4(q + 凡)+ (a? + 4 ) + . + ( + 6 )a：atl + a1(% +3)+ (a +2)+,一 + ax +a2 a2 + %