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1、第04讲 不等式及性质 在考点详解【基础知识回顾】1、两个实数比拟大小的依据(l)a b0Oab.Q)ab=0=a = b. a bb=abbb, bcac；(3)可加性：aba-cb-c； ab, cd今a+cb+d；(4河乘性：Qk0ShabQ, 0d0 今 acbd；c0N, 21)；(6)可开方性：ab0 =ya 9(N, 22).3、常见的结论ab, ab0 今(2)a0b 今:/x0,0cd 0(4)0tzx/?或 axbb0, mQ,那么b bmb bm二z+苏b bm-a a-m(/?-m0).a cl inh h-m(/?/n0).a(2)t7 .； b h-m营热身训练1、
2、非零实数4, b满足b,那么以下命题成立的是()A. 4z2/?2B - ab20,ab,那么a2bab2,故B不成立;假设 a= 1, b=2, 那么工=2,故D不成立，由不等式的性质知，C正确.22、一 3。 一 2,3*4,那么万的取值范围为（）B.A. (1,3)C.2 3,r 4D.a 1【答案】A【解析】因为一3q 2,所以展w（4,9）,而3。mpB. mpnC. mnpD , pmn【答案】B【解析】由知，层+12a=（a1）20,即。2+2，而 2a（q+1） = q10,即 2aa- 1,/.a2-l2aa- 1,而y=logd在定义域上单调递增， /. mpn.1 1B.
3、 一 一 a b4、（多项选择题）设1, b网,那么以下不等式中恒成立的是（）C. ab1D. a1 b21 1 A.0时，一/，故B错误， a b/I, ,0Z?2，故 C 正确，al b-l,.a + b0,a-b0, ：. a2 -b2 = (a + h)(a-b) Q ,故 D 正确.应选：CD.5、A/=d3x, N=3f+x3,那么M, N的大小关系是【答案】MN【解析】Af7V=(x23x) (3x2+x3) =4f4x+3 =(2x1)2+20,：.MN.在典例剖析考向一不等式的性质例1、均为实数，那么以下命题正确的选项是（）A.假设 ab,c d ,那么 ac B.假设4/?
4、0,。一。10,那么工一40 a bC.假设那么 a ca hD.假设a,cd 0,那么一 d c【答案】BC【解析】 假设。0Z?, Qod,那么。0, bc-ad0,那么如二0,化简得工一40,故B对; aba bb t a b i 、人廿1 , = 1 9 故 D %曰; c d c假设cd,那么一 d-c,又 a，那么 a-dZ?-c,故 C 对;假设 a = -1, b =-2, c = 2, d = l,那么 = 一1, d应选：BC.变式1、（2022山东济南高三期末）实数,b,。满足bc0,那么以下说法正确的选项是（）B.1_/1(c-6f) bc-a(1 1 C. ab +
5、c1 ac + bcD.(。+ 匕)+ 的最小值为 4a b 7【答案】BC【解析】1 1 1 1 1对于A,因为aZ?cO,所以一 7, 0,所以c(Q-b)0,a(Q + c)。，h + c b q( + c) 仅a + c) ab + ac-ah-bc c(a-h)b b + c 匚所以二:;=:;=-7。，所以一0,。一。0 ,所以q/? + c2-(c + /?c) = qS-c)-cS-c) = (a-c)S-c)(),所以+ c2 ac + be 所以C正确，对于D,因为所以(Q + b)(_L + _L = 2 + 2 + 32 + 2、口2 = 4,当且仅当g =:即时取等号
6、, a hJ a h a ba b( i A因为所以取不到等号，所以( +。)一 +工的最小值不为4,所以D错误，I a b /应选：BC变式2、以下命题为真命题的是()A.假设 ab,贝lj a(?b(?B.假设 ab0,那么 a1abab0,那么 “x+yN 龙+yD. “ x y =“ x +1 4 +【答案】BCD【解析】A：当x = l,y = 2时，x|y|不成立，故错误；B：由尢0,那么0,故x+y = |九+升恒成立，故正确;D：当 x0 时，x+yx+y,当时，x+y = x+y,故正确；应选：BCD方法总结：方法总结：判断多个不等式是否成立，需耍逐一给出推理判断或反例说明.
7、常用的推理判断需要 利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：不等式两边都乘以一个代数式时，考 察所乘的代数式是正数、负数或0;不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一 定保持不变；不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.考向二不等式的比拟大小2 021 + 2 022+1例2、M=e2()22+1，2 023+，那么加，N的大小关系为【答案】MN【解析】e2 021_|_j e2 022-j.j方法一 MN= 022-e2 023 _|, (e2021 + l)(e2023+l)-(e2022+l)2=(e2022+l)(e202
8、3+l)e2 021_|_e2 023 _ 2e2 022-(e2022+l)(e2023+l)e2 021(e_1)2(e2 022 + 1 )(e2 023 + 1 ),，MN.eA +1 方法二令人幻=最亏如巧 + 1)+1-/I -=产不1=1+晟亏P显然火光)是R上的减函数， ：.f(2 021)次2 022), SP MN.变式、设Q泌0,试比拟与宅的大小. a +b a-b解法一（作差法）：J g b （ +乂 / -匕2） （a - b）（a? +/） 足+/ a+h（Y+/Xa + b）_ （。）（。+。）2-a2 +） _ 2ab（a-b）（4+ + 力）（“ + /?）（
9、/+/）因为。b0,所以 q+/x0, ab0, 2abQ.所以2qZ?（q-。）（a + b）（2 +）ll /一 ah0,所以再庐7Tp解法二(作商法):解法二(作商法):因为ab0,2序a b所以茄铲,市d所以次一反/ +及（4+ 8）22 + /72 + 2b方法总结：方法总结：比拟大小的方法(1)作差法，其步骤：作差=变形=判断差与0的大小=得出结论.(2)作商法，其步骤：作商=变形=判断商与1的大小=得出结论.(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比拟大小考向三运用不等式求代数式的取值范围例 3、设/(x) = ax2 + bx,假设 19( 1)42, 2/(1)4,那么/(
10、 2)的取值范围是.【答案】5, 10【解析】方法一 设/( 2) = m/( l) + a/(D(m,为待定系数)，那么 4a2b = m(ab) + a(a+b),即 4a2b = (m + n)a + (n m)b.m + n = 4,fm = 3,于是得解得nm29n = l./( 2) = 3/( 1)+/(1).又 19( 1)42, 29(1)“.*.53/(-l)+/(l)10,故 5/(-2)10.变式1、一lvx4,2勺3,那么九一y的取值范围是, 3x+2y的取值范围是【答案】(一4,2) (1,18)【解析】V-lx4,23,I. -3yv2, 4xy2.IiJ lx4
11、,2y3,得33x 12,42y6, .l3x+2)18.TT7T变式2、假设a,夕满足一5a或5,那么2a一4的取值范围是()A. 17i2一4 0B. 7i2a-/3ti2aD. 02a/37t【答案】C71 Tt【解析1，一2a一竽.Tt又 a一40, a-2ab,那么以下不等式恒成立的是（）A.B. /廿C.D. acbc【答案】C【解析】由题意可知，假设。0江那么应选项A错误；假设。=1, h=2,那么/尻，应选项B错误;因为。，且470,所以告7=7,应选项C正确；假设c=l,那么选项D错误；综上，答案选C. cz+1cz+1 cz+12、（2021 .广州市第一中学高三月考）十六
12、世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把作为 等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用上”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的开展影响深远.假设。人0,那么以下结论错误的选项是（） A. -0a bC后 后D. 33【答案】B【解析】因为那么,故A正确； a b ab假设。=3, b = 2,满足 ab0,但此时 log2（ b） = log21 =。，故 B 错;因为。60,由不等式的可开方性，可得消，故C正确； 因为函数y = 3.为增函数，由。人0可得33J故D正确.应选：B.3、（2022 江苏无锡市第一中学高三10月月考）（多项选择题） 假设那么一下几个不等式
13、中正确的选项是（）D. 2y/a -4b y/a-bb h + 5a + b 1g 6Z + 1g Z? 2a + b aA. - B. 1g- C.人0,- = 4一-（gy/ab=-,故正确;220,故正确; yfb，y/u y!ci b，所以 2 yb + yci b，所以 2/ yfb ci b，故正确.应选：BCD.4、（2022山东泰安高三期末）假设a,beR,abB. C.I 2D.ci ba-b aa hb a【答案】BCD11 a-a-b） b【解析】选项 A：r一一 = 7= 7由 avvO,可知。0, /?0, a-bQ,a-b a a-b）a a-b）ab11那么/力，
14、即一r 一 .选项a判断错误；a-b)aa-b a选项B：,由QvbvO,可知Qo, h09那么号0,即.选项B判断正确; a b ababa b选项C：当av8vO时，q + 22、口、2 = 2.选项C判断正确； b a h a选项D：当ab0时，问可选项D判断正确.应选：BCD5、假设0q/?,且+=1,那么将a, b, 2ah, /+从小到大排列为【答案】a2aba1 b2b【解析】 方法一 令=g,人=|,414 5那么 2ab=g, /+02=g+g=g,故 a2aba2+b2b.方法二 0qZ?且q+/?=1,二 ajb 1 且 2a 1, /. a2b-a2tz(l a) 2a2+2a2+ll 丁2 2,2+ll 丁2 2,BP a2ah4：.(a2+Z?2)-/?= (1 -b)1-bz-b=2b2-3b-1 =(2b 1)(/?-1)0,即 /+/?,综上可知 a2ahci2+b2h.