《【3年高考2年模拟】课标版理科数学一轮第四节 导数的综合应用.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【3年高考2年模拟】课标版理科数学一轮第四节 导数的综合应用.pptx（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、理数 课标版,第四节导数的综合应用,1.利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形. (2)构造新的函数h(x). (3)对h(x)求导. (4)利用h(x)判断h(x)的单调性或最值.,教材研读,(5)下结论.,2.一元三次方程根的个数问题 令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f (x)=3ax2+2bx+c.,方程f (x)=0的判别式=(2b)2-12ac, (1)当0,即b23ac时, f (x)0恒成立, f(x)在R上为增函数,又易知存在x、xR,使f(x)f(x)0,即b23ac时,方程f (x)=0有两个实根,设为x1,x2(x1m). a.当m0时,方程f(x
2、)=0有一个实根; b.当m=0时,方程f(x)=0有两个实根; c.当m0时,方程f(x)=0有三个实根; d.当M=0时,方程f(x)=0有两个实根; e.当M0时,方程f(x)=0有一个实根.,考点一利用导数研究函数的零点或方程的根 典例1(2016北京,20,13分)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c. (1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程; (2)设a=b=4.若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;,考点突破,(3)求证:a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件. 解析(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c, 得f (x)=3x2+2a
3、x+b. 因为f(0)=c, f (0)=b, 所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=bx+c.(3分),(2)当a=b=4时, f(x)=x3+4x2+4x+c, 所以f (x)=3x2+8x+4. 令f (x)=0,得3x2+8x+4=0, 解得x=-2或x=-.(4分) f(x)与f (x)在区间(-,+)上的情况如下表:,(6分),所以,当c0且c-0时,存在x1(-4,-2),x2,x3,使 得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0. 由f(x)的单调性知,当且仅当c时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不 同零点.(8分),(3)证明:当=4a2-12b
4、0,x(-,+), 此时函数f(x)在区间(-,+)上单调递增,所以 f(x)不可能有三个不同零点.(9分),当=4a2-12b=0时, f (x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0. 当x(-,x0)时, f (x)0, f(x)在区间(-,x0)上单调递增; 当x(x0,+)时, f (x)0, f(x)在区间(x0,+)上单调递增. 所以f(x)不可能有三个不同零点.,综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有=4a2-12b0. 故a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要条件.(11分) 当a=b=4,c=0时,a2-3b0, f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2
5、只有两个不同零点,所以a2-3b0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.(12分) 因此a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.(13分),方法技巧 利用导数研究方程根的方法 (1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等. (2)根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置. (3)可以通过数形结合的思想去分析问题,使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 1-1(2015课标,21,12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x. (1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线? (2)用minm,n表示m
6、,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.,解析(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0, f (x0)=0,即 解得x0=,a=-. 因此,当a=-时,x轴为曲线y=f(x)的切线. (2)当x(1,+)时,g(x)=-ln x0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)内无零点. 当x=1时,若a-,则f(1)=a+0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=1是h (x)的零点;若a-,则f(1)0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)0,故x=1不是h(x
7、)的 零点.,当x(0,1)时,g(x)=-ln x0,所以只需考虑f(x)在(0,1)内的零点个数. (i)若a-3或a0,则f (x)=3x2+a在(0,1)内无零点,故f(x)在(0,1)内单调.而 f(0)=, f(1)=a+,所以当a-3时, f(x)在(0,1)内有一个零点;当a0时, f(x)在(0,1)内没有零点. (ii)若-30,即-a0,则f(x)在(0,1)内无零点; 若f =0,即a=-,则f(x)在(0,1)内有唯一零点;,若f -或a-时,h(x)有一个零点;当a=-或a=-时,h(x)有两个零 点;当-a-时,h(x)有三个零点.,考点二利用导数研究不等式的有关
8、问题 命题角度一证明不等式 典例2(2016课标全国,21,12分)设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明当x(1,+)时,11,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx. 解析(1)由题设知, f(x)的定义域为(0,+), f (x)=-1,令f (x)=0,解得x=1. 当00, f(x)单调递增;当x1时, f (x)0, f(x)单调递减. (4分) (2)证明:由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0. 所以当x1时,ln xx-1.,故当x(1,+)时,ln x1,设g(x)=1+(c-1)x-cx, 则g(x)=c-1
9、-cxln c,令g(x)=0, 解得x0=. 当x0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0. 所以当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.(12分),命题角度二不等式恒成立问题 典例3(2016四川,21,14分)设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中aR. (1)讨论f(x)的单调性; (2)确定a的所有可能取值,使得f(x)-e1-x在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数). 解析(1)f (x)=2ax-=(x0). 当a0时, f (x)0时,由f (x)=0,有x=. 此时,当x时, f (x)0, f(x)单调递增.,(2)令g(x)=-=,s(x)=e
10、x-1-x.则s(x)=ex-1-1. 而当x1时,s(x)0, 所以s(x)在区间(1,+)内单调递增. 又由s(1)=0,有s(x)0,从而当x1时,g(x)0.,当a0,x1时, f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0. 当01. 由(1)有f0, 所以此时f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立.,当a时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1). 当x1时,h(x)=2ax-+-e1-xx-+- =0. 因此,h(x)在区间(1,+)内单调递增.,又因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)=f(x)-g(x)0, 即f(x)g(x)恒成立. 综
11、上,a.,方法技巧 1.利用导数证明不等式的方法 证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)0,由减函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)g(x).,2.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 (1)首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围. (2)也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.,2-1已知f(x)=(1-x)ex-1. (1)求函数f(x)的最大值; (2)设g(x)=,x-1,且x0,
12、证明:g(x)0, f(x)单调递增;当x(0,+)时, f (x)0时, f(x)x.设h(x)=f(x)-x,则h(x)=-xex-1. 当x(-1,0)时,0-x1,0ex1,则0-xex1,从而当x(-1,0)时,h(x)h(0)=0,即g(x)1. 综上,总有g(x)1.,2-2设函数f(x)=+2ln x. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)如果对所有的x1,都有f(x)ax,求a的取值范围. 解析(1)f(x)的定义域为(0,+), f (x)=, 所以当0时, f (x)0, 故函数f(x)在上单调递减,在上单调递增. (2)当x1时, f(x)axa+, 令h(x)=+
13、(x1), 则h(x)=-=,令m(x)=x-xln x-1(x1),则m(x)=-ln x, 显然,当x1时,m(x)0, 所以m(x)在1,+)上为减函数, 所以m(x)m(1)=0, 因此h(x)0,于是h(x)在1,+)上为减函数, 所以当x=1时,h(x)有最大值h(1)=1,故a1, 即a的取值范围是1,+).,考点三用导数解决实际生活中的优化问题 典例4(2016云南玉溪一中月考)时下网校教学越来越受广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的关系式为y=+4 (x-6)2,其中2x6,m为常数
14、.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套. (1)求m的值; (2)假设网校的员工工资、办公费用等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(精确到0.1),解析(1)因为x=4时,y=21,所以+16=21,解得m=10. (2)由(1)可知,套题每日的销售量为y=+4(x-6)2,所以每日销售套题所获得的利润(单位:千元)为f(x)=(x-2)=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240 x-278(2x6)，,从而f (x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(20,函数f(x)
15、单调递增;在上, f (x)0,函数f(x)单调递减. 所以x=是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x= 3.3时,函数f(x)取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.,规律总结 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x); (2)求函数的导数f (x),解方程f (x)=0; (3)比较函数在区间端点和使f (x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)写出答案.,3-1某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇
16、的采购成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2t5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25x40),根据市场调查,日销售量q千克与ex成反比, 当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克. (1)求该工厂的日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式; (2)若t=5,则当每千克蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最大?并求出最大值.,解析(1)设q=(k0),则=100,所以k=100e30, 所以q=, 所以y=(25x40). (2)当t=5时,y=,则y=. 由y0得x26,由y0得x26,所以y=在区间25,26上单调递增,在区间26,40上单调递 减. 所以当x=26时,ymax=100e4, 即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的日利润最大,最大值为 100e4元.,