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1、理数 课标版,第四节简单的三角恒等变换,考点一三角函数式的化简 典例1化简: (1)-2cos(+); (2)(0). 解析(1)原式=,考点突破,= =,= =. (2)原式= =cos =.,00,原式=-cos .,规律总结 1.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则,2.三角函数式化简的方法 化简三角函数式的常见方法有弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂与升幂. 在三角函数式的化简中,“次降角升”和“次升角降”是基本的规律.,1-1化简: (1)sin 50(1+tan 10); (2). 解析(1)sin 50(1+tan 10) =sin 50(1+tan 60tan 10) =s
2、in 50 =sin 50 =,=1. (2)原式= = = =cos 2x.,考点二三角函数的给值求值(角)问题 命题角度一给值求值 典例2(2016广东肇庆三模)已知sin =且为第二象限角,则tan =() A.-B.-C.-D.- 答案D 解析由题意得cos =-,则sin 2=-,cos 2=2cos2-1=.tan 2=- ,tan=-.,命题角度二给值求角 典例3设,为钝角,且sin =,cos =-,则+的值为() A.B.C.D.或 答案C 解析,为钝角,sin =,cos =-, cos =,sin =, cos(+)=cos cos -sin sin =0. 又+(,2)
3、, +,+=.,方法技巧 1.“给值求值”即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系.,2.“给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数. (2)已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选 正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,),选余弦函数;若角的范围为,选正弦函数.,3.解决上述两类问题时,常会用到角的变形,如:=2,=-(-),=(+) -,=(+)+(-),+=-等.,2-1(2016课标全国,14,5分)已知
4、是第四象限角,且sin=,则 tan=. 答案- 解析解法一:sin=(sin +cos )=, sin +cos =, 2sin cos =-. 是第四象限角,sin 0, sin -cos =-=-,由得sin =-,cos =,tan =-, tan=-. 解法二:+=, sin=cos=, 又2k-2k,kZ, 2k-+2k+,kZ, cos=,sin=,tan=,tan=-tan=-.,2-2(2016枣庄模拟)设为锐角,cos=,则sin的值为 . 答案 解析设+=, 因为为锐角,cos=, 所以cos =,sin =,cos 2=,sin 2=, 所以sin=sin =sin 2
5、cos -cos 2sin =.,2-3若sin 2=,sin(-)=,且,则+的值是 . 答案 解析,2, 又sin 2=,2, cos 2=-且, 又sin(-)=, -,cos(-)=-,cos(+)=cos(-)+2 =cos(-)cos 2-sin(-)sin 2 =-=, 又+,所以+=.,考点三三角恒等变换的简单应用 典例4如图,现要在一块半径为1,圆心角为的扇形铁片AOB上剪出 一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设BOP=,平行四边形MNPQ的面积为S. (1)求S关于的函数关系式; (2)求S的最大值及相应的的大小.,解析(1)分别过P
6、,Q作PDOB于点D,QEOB于点E,则四边形QEDP 为矩形. 由扇形半径为1,得PD=sin ,OD=cos . 又OE=QE=PD, MN=QP=DE=OD-OE=cos -sin , S=MNPD=sin =sin cos -sin2,. (2)S=sin 2-(1-cos 2)=sin 2+cos 2-=sin-,因为,所以2+,所以sin. 当=时,S取最大值,且Smax=.,规律总结 (1)解决与三角函数有关的优化问题时,一般结合具体图形引进角作为参数,并建立函数模型,从而利用三角函数的有关公式进行化简,结合三角函数的图象及性质求出最值. (2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后作出结论并回答问题.,变式3-1在本例中若点M与点O重合,如图,记平行四边形ONPQ的面积为S.求S的最大值.,解析如图,过点P作PDOB于点D,则由扇形半径为1,得PD=sin ,OD=cos ,因为PND=AOB=, 所以ND=PD=sin , ON=OD-ND=cos -sin , 所以S=ONPD=sin =sin cos -sin2=sin 2-(1-cos 2) =sin 2+cos 2-=sin-,因为, 所以2+,sin.,当=时,S取最大值,且Smax=.,