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1、理数 课标版,第四节直接证明和间接证明,1.直接证明,教材研读,2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤:(i)反设假设命题的结论不成立;(ii)归谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;(iii)结论断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.,3.数学归纳法的步骤 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(kn0,
2、kN*)时命题成立,证明当n=k+1 时命题也成立. 只要完成以上两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,1.用分析法证明时出现:欲使AB,只需CD,这里是的() A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案B由题意可知,应用,故是的必要条件.,2.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”,假设正确的是() A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角都大于60度 C.假设三个内角至多有一个大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 答案B根据反证法的定义,假设是对原命题结论的否定,故假设三个内角都大于60度.故选B.,3
3、.设a,b,c都是正数,则a+,b+,c+三个数() A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 答案D+ =+ 6, 当且仅当a=b=c时取等号, 三个数中至少有一个不小于2.,4.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的 点,其中nN*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为. 答案cncn+1 解析由题意知,an=,bn=n, cn=-n=. 显然,cn随着n的增大而减小, cncn+1.,5.用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时,左边表达式是;从kk+1需增添
4、的项是. 答案1+2+3;4k+5(或(2k+2)+(2k+3) 解析用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时,2n+1=3,所求左边表达式是1+2+3;从kk+1需增添的项是4k+5(或(2k+2)+(2k+3).,考点一综合法 典例1(2016天津,18,13分)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项. (1)设cn=-,nN*,求证:数列cn是等差数列; (2)设a1=d,Tn=(-1)k,nN*,求证:.,考点突破,证明(1)由题意得=anan+1,有cn=-=an+1an+2-anan+1=
5、2dan+1,因此cn+1-cn= 2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差数列. (2)Tn=(-+)+(-+)+(-+) =2d(a2+a4+a2n) =2d=2d2n(n+1). 所以=,= =.,方法技巧 用综合法证明是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围:(1)定义明确的问题,如判断函数的单调性、奇偶性;(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型,在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑混乱. 1-1设a,b,c0,证明:+a+b+c. 证明因为a,b,c0,根据基本不等式, 有+b2a,+c2b,+a2c, 三式相加,+a+b
6、+c2(a+b+c), 即+a+b+c.,1-2(2016山东临沂模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c成等差数列; (2)若C=,求证:5a=3b. 证明(1)由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B, 因为sin B0,所以sin A+sin C=2sin B, 由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列. (2)由C=,c=2b-a及余弦定理得,(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0, 所以=,即5a=3b.,考点二分析法 典例2已知
7、函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2R,均有 f. 证明要证明 f, 即证明-2, 因此只要证明-(x1+x2)-(x1+x2), 即证明, 因此只要证明,由于x1,x2R,所以0,0,由基本不等式知成立,故原结论成立.,方法技巧 (1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的,它的常用书面表达形式为“要证只需要证”或“”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写.
8、2-1已知 ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.求证:+=.,证明要证+=,即证+=3, 也就是+=1, 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证c2+a2=ac+b2, 又ABC的三个内角A,B,C成等差数列,故B=60, 由余弦定理,得,b2=c2+a2-2accos 60, 即b2=c2+a2-ac, 故c2+a2=ac+b2成立. 于是原等式成立.,考点三反证法 典例3(2015湖南,16,6分)设a0,b0,且a+b=+.证明: (1)a+b2; (2)a2+a0,b0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=
9、2,即a+b2. (2)假设a2+a0得0a1;同理,0b1,从而0ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,易错警示 用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从结论的反面出发进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与基本事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的. 3-1已知f(x)=ax2+bx+c,若a+c=0,f(x)在-1,1上的最大值为2,最小值为-.求证:a0且2. 证明假设a=0或2. (1)当a=0时,由a+c=0,得f
10、(x)=bx,由题意得b0, f(x)=bx在-1,1上是单调函数, 所以f(x)在-1,1上的最大值为|b|,最小值为-|b|, 由已知条件,得|b|+(-|b|)=2-=-, 这与|b|+(-|b|)=0相矛盾,所以a0. (2)当2时,a0,由二次函数f(x)的图象的对称轴为x=-,知f(x)在-1, 1上是单调函数,故其最值在区间的端点处取得. 所以或 又a+c=0,则b不存在,所以2.,由(1)(2),得a0且2.,考点四数学归纳法 典例4已知数列an的各项均为正数,bn=nan(nN+),e为自然对 数的底数.计算,由此推测计算的公式,并给出证明. 解析=1=1+1=2; =22=
11、(2+1)2=32; =323=(3+1)3=43. 由此推测:=(n+1)n.(*),下面用数学归纳法证明(*). (1)当n=1时,左边=右边=2,(*)成立. (2)假设当n=k时,(*)成立,即=(k+1)k. 当n=k+1时,bk+1=(k+1)ak+1,由归纳假设可得= =(k+1)k(k+1)=(k+2)k+1. 所以当n=k+1时,(*)也成立. 根据(1)(2),可知(*)对一切正整数n都成立.,易错警示 使用数学归纳法需注意的问题: 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,两个步骤缺一不可,否则就会导致错误. (1)第一步中,验算n
12、=n0中的n0不一定为1,根据题目要求,有时可为2或3等. (2)第二步中,证明n=k+1时命题成立的过程中,一定要用到归纳假设,掌握“一凑假设,二凑结论”的技巧.由k到k+1的证明中寻找由k到k+1的变化规律是难点,突破难点的关键是掌握由k到k+1的证明方法.在运用归纳假设时,应分析P(k)与P(k+1)的差异及联系,利用拆、添、并、放、缩等方法,或从P(k)出发拼凑P(k+1),或从P(k+1)中分离出P(k),再进行局部调整;也可考虑寻求二者的“结合点”,以便顺利过渡,切实掌握“观 察归纳猜想证明”这一特殊到一般的推理方法.,4-1已知等差数列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-
13、12x+27=0的两根,数列bn的前n项和为Tn且Tn=1-bn. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)设数列an的前n项和为Sn,试比较与Sn+1的大小,并说明理由. 解析(1)由已知得 又因为an的公差大于0, 所以a5a2,所以a2=3,a5=9, 所以d=2,a1=1,所以an=2n-1. 因为Tn=1-bn, 所以b1=, 当n2时,Tn-1=1-bn-1, 因为bn=Tn-Tn-1=1-bn-, 化简,得bn=bn-1, 所以bn是首项为,公比为的等比数列, 故bn=.,所以an=2n-1,bn=. (2)因为Sn=n=n2, 所以Sn+1=(n+1)2, 以下比较与Sn+1的大小: 当n=1时,=,S2=4, 所以S2, 当n=2时,=,S3=9, 所以S3,当n=3时,=,S4=16, 所以S5, 猜想:当n4时,Sn+1. 下面用数学归纳法证明: 当n=4时,已证. 假设当n=k(kN*,k4)时,Sk+1,即(k+1)2, 那么,当n=k+1时, =33(k+1)2 =3k2+6k+3 =(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12 =S(k+1)+1. 综合,当n4时,Sn+1. 所以当n=1,2,3时,Sn+1.,