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1、与抛物线焦点弦有关的几个结论 在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点 不妨设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点，准线l的方程：. 过焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，又作AA1l, BB1l，垂足分别为A1、B1. ABx轴时，, , 此时弦AB叫抛物线的通径，它的长|AB|2p AB与x轴不垂直也不平行时，设弦AB所在直线的斜率为k(k0)，则方程为 (如图) 由方程组消去y，得 , 或消去x, 得. 结论1：(定值)，, 结论2：y1y2-p2(定值)，. 结
2、论3：弦长. 结论4：若此焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分，则为定值 事实上，若ABx轴，则 mnp， . 若AB与x轴不垂直，则. . 结论5：抛物线y22px(p0)的焦点弦中通径最小 证法1：设弦AB所在的直线方程为. 由方程组消去x，得 y2-2pmy-p2=0. y1+y2=2pm, y1y2=-p2. 当且仅当m0，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p 证法2：设过焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为，则 |AF|=|AA1|=p+|AF|cos, |BF|=|BB1|=p-|BF|cos, . , 当且仅当=90时，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p 结论6：
3、以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切(如图) 事实上，取弦AB的中点C，作CC1l，垂足为C1. 则 . 这表明圆心C到准线l的距离等于半径，故以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切 结论7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切 事实上，. 设AF的中点为D，则， D到y轴的距离. 这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切 结论8：A1FB1F（如图） 事实上，设，则 ， 。 。 由结论2有y1y2=-p2, , 即 A1FB1F。 结论9：若M为A1B1的中点，则MFAB。 事实上，当ABx轴时，显然有MFAB。 当AB与x轴不垂直时，。 由结论2，有， ，即MFAB。 结论10：在梯形AA1B1B中，两对角线AB1与BA1相交于点抛物线顶点O。 事实上，当ABx轴时，此时易得，结论显然成立。 当AB与x轴不垂直时，设、， 则， ， ， AB1经过原点O。 同理A1B经过原点O。 4 / 4