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1、 很全很全 抛物线焦点弦的有关结论抛物线焦点弦的有关结论知识点知识点 1 1：假设AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦。设Ax1, y1, Bx2, y2，p2那么1x1x2； 2y1y2 p24证明：如图，1假设AB的斜率不存在时，p2p依题意x1 x2,x1x242yxoFABp 假设AB的斜率存在时，设为k,那么AB : y kx ，与y2 2px联立，得2pk2p22222k x 2px k x k 2 px 0242p2p2x1x2.综上：x1x2.44yy222x11,x22， y1y2 p4 y1y2 p2,2p2p但y1y2 0, y1y2 p22另证：设AB : x
2、my p与y2 2px联立，得y2 2pmy p2 0, y1y2 p2222知识点知识点 2 2：假设AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦。设Ax1, y1, Bx2, y2，那么1AB x1 x2 p;2设直线AB的倾斜角为，那么AB 证明： 1由抛物线的定义知ppAF x1, BF x2,222p。2sinyoFA AB AF BF x1 x2 p2假设 900,则x1 x2p2pB,由1知AB 2p 22sinp 假设 900,设AB : y kx ,与y2 2px联立，得21pk2p2222k x 2px k x k 2 px 02422p k2 22p k21x1 x2,
3、AB x1 x2 p ，而k tan，k2k22p1 tan22p AB 22tansin知识点知识点 3 3：假设AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦，那么以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。y证明：过点A、B分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为AA1、B1,过AB中点M向准线引垂线，垂足为N,设以AB为直径的圆的半径为r,2r AB AF BF AA1 BB1 2MN MN r.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。oFB知识点知识点 4 4：假设AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦。过点A、B分别向抛物yA0线的准线引垂线，垂足分别为A1、B1,那么A1FB1 90。证明借
4、助于平行线和等腰三角形容易证明oFB知识点知识点 5 5：假设AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦，抛物线的准线与x轴相交于点K，那么AKF BKF.y证明：过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A1、B1.A AA1/ KF / BB1A KAF1而AF A1A,BF B1BB1KFBKoFBA1KA1AA KB K11，而AA1K BB1K 900B1KB1BA1AB1BAA1KBB1KA1KA B1KBAKF BKF2知识点知识点 6 6：假设AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦，o为抛物线的顶点，连接AO并延长交该抛物线的准线于点C,那么BC/OF.证明：设Ax1, y
5、1, Bx2, y2，那么yApy1py1AB: y x,C,x122x1y1py1pp2 yC 22x1yy1212poFCBp2 y2BC/OF由知识点 1 知y1y2 p yC 2py22逆定理：假设AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦，过点B作BC/OF交抛物线准线于点C,那么A、C、O三点共线。证明略知识点知识点 7 7：假设AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦，设AF m, BF n,那么112.mnpyAF证法： 1假设AB x轴，那么AB为通径，而AB 2p,m n p112.mnpoBp 2假设AB与x轴不垂直，设Ax1, y1, Bx2, y2，AB的斜率为
6、k，那么l : y kx 2pk2p222222与y 2px联立，得k x 2px k x k 2 px 0242p k2 2p2x1 x2,x1x2.24k由抛物线的定义知m AF x1pp,n BF x222311m nmnmnx1 x2 p22pppx1x2x1 x224知识点知识点 8 8：抛物线y2 2pxp 0中，AB为其过焦点F的弦，AF m, BF n,那么SAOBp24nmmnyAF证明：设AFx ,那么oSAOB SAOF SBOFB1p1pmsinsin2222pm nsin4ppp2p2而m ,n ,mn ,sin21cos1cosmnsinSAOBpp2p2nm.m
7、n4mn4mn逆逆 定定 理理 ： 抛 物 线y2 2pxp 0中 ，AB为 其 弦 且 与x轴 相 交 于 点M， 假 设AM m, BM n,且SAOBp24nmmn,那么弦AB过焦点。证明：设Ax1, y1, Bx2, y2，AMx ,Mt,0，那么111SAOB SAOM SBOM=tmsintnsinm ntsin222而siny1m,siny2n,sin2 y1y2mnsin y1y2 y1y21m n1SAOBm ntt y1y2mn2mn2mnnp2m1m np2mn2mn2t y1y22而SAOBp24又可设l : x ay t2 y 2pay 2pt 0 y1y2 2pt2
8、y 2px4由得t p p AB恒过焦点,022例 1、过抛物线y2 4x的焦点做直线交抛物线于A(x1, y1),B(x2, y2)两点，如果x1 x2 6，那么AB _. 8变式：变式： 过抛物线y2 4x的焦点做直线交抛物线于A,B两点， 如果AB 8，O为坐标原点，那么OAB的重心的横坐标是_. 2例 2、直线l经过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由A,B分别向准线引垂线AA,BB，垂足分别为A,B，如果AB a，Q为AB的中点，那么QF _.用a表示a2变式：变式：直线l经过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由A,B分别向准线引垂线AA,BB，垂足分别为A,B，如果AR a, BF b，Q为AB的中点，a2b2那么QF _.用a,b表示2例 3、设坐标原点为O，过焦点的直线l交抛物线y2 4x于A,B两点，OAOB -3例 4、过抛物线y ax(a 0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，假设线段PF与FQ的长分别是p,q，那么114_.pqaBB(x(x2 2,y ,y2 2) )2yAA(x(x1 1,y ,y1 1) )x小结：1抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；2万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.5