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1、 很全 抛物线焦点弦的有关结论附答案 1 很全抛物线焦点弦的有关结论附答案 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（很全抛物线焦点弦的有关结论附答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为很全抛物线焦点弦的有关结论附答案的全部内容。很全 抛物线焦点弦的有关结论附答案 2 x B A y o F B A y
2、o F 很全 抛物线焦点弦的有关结论 知识点 1：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦.设,11yxA22,yxB，则(1)4221pxx；(2）221pyy 证明：如图,（1)若AB的斜率不存在时，依题意,221pxx4221pxx 若AB的斜率存在时，设为,k则2:pxkyAB,与pxy22联立,得 042222222222pkpxkxkpxpxk.4221pxx 综上：.4221pxx（2）pyxpyx2,2222211，,22142221pyypyy 但22121,0pyyyy（2）另证：设2:pmyxAB与pxy22联立,得22122,02pyyppmyy 知识点 2：若AB是
3、过抛物线022ppxy的焦点F的弦。设,11yxA22,yxB,则（1）;21pxxAB（2）设直线AB的倾斜角为，则2sin2pAB。证明:(1）由抛物线的定义知,2,221pxBFpxAF pxxBFAFAB21(2）若,2,90210pxx则由（1)知2sin22ppAB 若pxypxkyAB2,2:,9020与设联立，得 很全 抛物线焦点弦的有关结论附答案 3 B A o y F B A o y F B A o y F K 042222222222pkpxkxkpxpxk ,22221kkpxx 222112kkppxxAB，而tank，222sin2tantan12ppAB 知识点
4、3：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。证明:过点BA、分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11BA、过AB中点M向准线引垂线，垂足为,N 设以AB为直径的圆的半径为,r.2211rMNMNBBAABFAFABr 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.知识点 4：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦。过点BA、分别向抛物线的准线引垂线,垂足分别为,11BA、则01190 FBA.证明借助于平行线和等腰三角形容易证明 知识点 5：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦,抛物线的准线与x轴相交于点K，则.BKFAKF 证明：过点BA、分别作准
5、线的垂线，垂足分别为.11BA、11/BBKFAA BBBFAAAFFBAFKBKA1111,而 BBAAKBKA1111 BBKBAAKA1111,而01190KBBKAA 很全 抛物线焦点弦的有关结论附答案 4 C F B A o y B A o y F KAA1KBB1 KBBKAA11 BKFAKF 知识点 6：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦，o为抛物线的顶点，连接AO并延长交该抛物线的准线于点,C则./OFBC 证明：设,11yxA22,yxB，则 11112,2,:xpypCxxyyAB 1221111222yppypyxpyyC 由知识点1 知221pyy 2222y
6、yppyC OFBC/逆定理：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦，过点B作OFBC/交抛物线准线于点,C则OCA、三点共线。证明略 知识点 7：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦，设,nBFmAF则.211pnm 证法：（1)若xAB 轴，则AB为通径，而,2pAB pnm .211pnm（2）若AB与x轴不垂直,设,11yxA22,yxB，AB的斜率为k,则2:pxkyl与pxy22联立，得 042222222222pkpxkxkpxpxk ,22221kkpxx.4221pxx 很全 抛物线焦点弦的有关结论附答案 5 B A o y F 由抛物线的定义知2,221pxBFn
7、pxAFm ppxxpxxpxxmnnmnm242112212121 知识点 8:已知抛物线022ppxy中，AB为其过焦点F的弦，,nBFmAF则 nmmnpSAOB42 证明：设,AFx则 BOFAOFAOBSSS sin4sin221sin221nmppmp 而mnppmnpnpm222sin,sin,cos1,cos1.4422nmmnpmnpnmpSAOB 逆定理：已知抛物线022ppxy中，AB为其弦且与x轴相交于点M，若,nBMmAM且,42nmmnpSAOB则弦AB过焦点.证明：设,11yxA22,yxB，,AMx0,tM,则 BOMAOMAOBSSS=sin21sin21si
8、n21tnmtntm 而,sin,sin21nymy mnyy212sin mnyy21sin 21212121yytmnnmmnyytnmSAOB 而221422pmnnmnmmnpSAOB 2221pyyt 很全 抛物线焦点弦的有关结论附答案 6(x1,y1)(x2,y2)xyBA又可设0222:22ptpayypxytayxl ptyy221 由得2pt AB恒过焦点0,2p 例 1、过抛物线24yx的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)A x yB xy两点,如果126xx，那么AB _.8 变式：过抛物线24yx的焦点做直线交抛物线于,A B两点，如果8AB，O为坐标原点，则O
9、AB的重心的横坐标是_.2 例 2、直线l经过抛物线22(0)ypx p的焦点F，且与抛物线交于,A B两点，由,A B分别向准线引垂线,AA BB，垂足分别为,A B，如果ABa，Q为AB的中点，则QF _。（用a表示)2a 变式：直线l经过抛物线22(0)ypx p的焦点F，且与抛物线交于,A B两点，由,A B分别向准线引垂线,AA BB，垂足分别为,A B，如果,ARa BFb，Q为AB的中点，则QF _.（用,a b表示）222ab 例 3、设坐标原点为O,过焦点的直线l交抛物线24yx于,A B两点，OA OB -3 例 4、过抛物线2(0)yax a的焦点F作一直线交抛物线于,P Q两点，若线段PF与FQ的长分别是,p q，则11pq _.4a 小结：(1)抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题,在解决这类问题时注意对这个梯形的运用;（2)万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.