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1、数学数学真奇妙数学数学真奇妙学好数学更聪明学好数学更聪明27.3 图形的位似图形的位似BAAEDCEDCB例如，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上（如图显例如，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上（如图显示了它工作的原理）在照相馆中，摄影师通过照相机，把人物的形象缩示了它工作的原理）在照相馆中，摄影师通过照相机，把人物的形象缩小在底片上小在底片上这样的放大缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图形这样的放大缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图片和满意的照片是相似的，因此，我们可以得到真实的图片和满意
2、的照片在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形， 观察与思考 下列图形中，每个图中的四边形下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形和四边形ABCD都是相似都是相似图形图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？有什么特征？ 归纳与小结 下列图形中，每个图中的四边形下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形和四边形ABCD都是相似都是相似图形图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对
3、应点的连线有什么特征？有什么特征？ABCABCOCBB/C/OA/A如果两个图形不仅如果两个图形不仅形状相同形状相同，而且每组，而且每组对应点所在的直对应点所在的直线都经过同一点线都经过同一点, ,那么这样的两个图形叫做那么这样的两个图形叫做位似图形位似图形, , 这个这个点叫做点叫做位似中心位似中心. .A B C D (A) B C D 定义 辨析ABCABCOCBB/C/OA/AA B C D (A) B C D 1 1两图形两图形相似相似 同时满足下面两个条件的两个图形才叫做位似图形两同时满足下面两个条件的两个图形才叫做位似图形两条件缺一不可条件缺一不可 显然，位似图形是显然，位似图形
4、是相似图形的特殊情形相似图形的特殊情形，其，其相似比相似比又叫做它们的又叫做它们的位似比位似比. . 2 2每组每组对应点所在直线都经过对应点所在直线都经过同一点同一点 定义 理解1.1.判断下列各对图形是不是位似图形判断下列各对图形是不是位似图形. .(1)相似五边形ABCDE与五边形ABCDE;( 是是 )(2)(2)正方形正方形ABCDABCD与正方形与正方形ABCD;ABCD;( 是是 )(3)(3)等边三角形等边三角形ABCABC与等边三角形与等边三角形A AB BC C. .( 是是 )BAAEDCEDCBCABDCBADCCBBAA 定义 巩固2.2.判断下列各对图形哪些是判断下
5、列各对图形哪些是位似图形位似图形，哪些不是，哪些不是. .(3)(3)ABCABC与与ADE ADE DEBCDEBC是是AEDAEDB BABCABC与与AED AED 不是不是（1 1）相似五边形）相似五边形ABCDEABCDE与五边形与五边形ABCDEABCDE； （2 2）在平行四边形）在平行四边形ABCDABCD中，中，ABOABO与与CDO CDO 是是不是不是是是 动脑想一想BAAEDCEDCBCABDCBADCCBBAA在位似图形中，位似中心可能有几种情况呢？在位似图形中，位似中心可能有几种情况呢？可以在图形内部，也可以中图形外部，还可以在图形的边或某个顶点可以在图形内部，也可
6、以中图形外部，还可以在图形的边或某个顶点上。上。观察下图中的五个图，回答下列问题：观察下图中的五个图，回答下列问题：（1）在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？（2）在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离.它们它们的比与相似比有什么关系？的比与相似比有什么关系？（位置不一样，位似中心就不一样（位置不一样，位似中心就不一样.）（相等（相等.）BAAEDCEDCBCABDCBADCCBBAA位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等位似图形上任意一对对
7、应点到位似中心的距离之比等于相似比于相似比. . 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上. .位似图形有以下性质：位似图形有以下性质：位似图形不一定相似。位似图形不一定相似。相似图形一定位似。相似图形一定位似。不是位似图形必定不相似。不是位似图形必定不相似。位似图形必是全等图形。位似图形必是全等图形。3.以下说法对吗？以下说法对吗？（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）5位似图形一定相似。位似图形一定相似。2. 分别在线段分别在线段OA、OB、OC、OD上取点上取点A、B、C、D，使得使得 3. 顺次连接点顺次连接点A、B、C、D，所得四边形，所得四边形ABC
8、D就是所要求的图形就是所要求的图形21ODODOCOCOBOBOAOAODABCABCD利用位似，可以将一个图形放大或缩小利用位似，可以将一个图形放大或缩小例如，要把四边形例如，要把四边形ABCD缩小到原来的缩小到原来的1/2，1. 在四边形外任选一点在四边形外任选一点O（如图），（如图），探究探究对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点O，分别在分别在OA、OB、OC、OD的反向延长线上取的反向延长线上取A ，B 、C 、D ，使，使得得 呢？如果点呢？如果点O取在四边形取在四边形ABCD内部呢？内部呢？分别画出这时得到
9、的图形分别画出这时得到的图形21ODODOCOCOBOBOAOAODABCABCDODABCABCD1.如图，如图，OAB和和OCD是位似图形，是位似图形，AB与与CD平行吗？平行吗？为什么？为什么？OABCDABCDOAB与与ODC是位似图形是位似图形OABOCDA=CABCD 练练 习习2. 如图，以如图，以O为位似中心，将为位似中心，将ABC放大为原来的两倍放大为原来的两倍OABC作射线作射线OA 、OB 、 OC分别在分别在OA、OB 、OC 上取点上取点A 、B 、C 使得使得顺次连结顺次连结A 、B 、C 就是就是所要求图形所要求图形A B C 2OCCOOBBOOAAO1 1、下
10、列说法不正确的是（、下列说法不正确的是（ ）A A、位似图形一定是相似图形、位似图形一定是相似图形 B B、相似图形不一定是位似图形、相似图形不一定是位似图形 C C、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 D D、位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行、位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行4、下列说法正确的是（、下列说法正确的是（ ）A、将图形、将图形A平移后得到图形平移后得到图形B，则它们是位似图形，则它们是位似图形B、将图形、将图形A绕某点旋转绕某点旋转180后得到图形后得到图形B，则它们是位似图形，则它们是位
11、似图形C、两个关于某直线成轴对称的图形一定是位似图形、两个关于某直线成轴对称的图形一定是位似图形D、全等的两个图形一定是位似图形、全等的两个图形一定是位似图形3、关于位似变换，下述结论正确的个数是（、关于位似变换，下述结论正确的个数是（ ）（1）由位似变换得到的图形与原来的图形是相似的图形；（）由位似变换得到的图形与原来的图形是相似的图形；（2）两个图形的对应顶点的连线都经过位）两个图形的对应顶点的连线都经过位似中心；（似中心；（3）两个图形的对应边平行或都经过位似中心；（）两个图形的对应边平行或都经过位似中心；（4）位似中心可以取在任意位置。）位似中心可以取在任意位置。 A 1个个 B 2个
12、个 C 3个个 D 4个个2、如图，是由正三角形、如图，是由正三角形A经过一些变换得到的，其中的变换不包含（经过一些变换得到的，其中的变换不包含（ ） A 平移平移 B 旋转旋转 C 位似变换位似变换 D 轴对称轴对称A5、利用位似变换把多边形、利用位似变换把多边形ABCDEF放大到原来的放大到原来的2倍，则下列结论正确的是（倍，则下列结论正确的是（ ） A 新图形与原图形的对应边之比是新图形与原图形的对应边之比是2 B 新图形与原图形的对应角之比是新图形与原图形的对应角之比是2 C 新图形与原图形的面积之比是新图形与原图形的面积之比是2 D 新图形与原图形的边数之比是新图形与原图形的边数之比
13、是2 利用作位似图形的方法，你能将下面的三角形缩小，使缩小后的三角形利用作位似图形的方法，你能将下面的三角形缩小，使缩小后的三角形形与原三角形对应线段的比为形与原三角形对应线段的比为1 ： 2 吗？与同伴进行交流吗？与同伴进行交流.三、位似图形的画法三、位似图形的画法ACBABCO以以0 0为位似中心把为位似中心把ABCABC在同侧缩小为原来的一半在同侧缩小为原来的一半。1 1、连结、连结OAOA、OBOB、OCOC。2 2、在、在OAOA、OBOB、OCOC上分别选取上分别选取AA、BB、CC，使，使OA/OA=1/2OA/OA=1/2、OB/OB=1/2OB/OB=1/2、OC/OC=1/
14、2OC/OC=1/2。步骤：步骤：3 3、连结、连结ABCABC， 则则 ABCABC就是所求作图就是所求作图形。形。例题：例题：如图，已知ABC和点O.以O为位似中心，求作ABC的位似图形，并把ABC的边长扩大到原来的两倍. OABCACBOA:OA =OB:OB =OC:OC= 1:2思考：还有没其他作法？ACBOABC如果位似中心跑到三角形内部呢？如果位似中心跑到三角形内部呢？1.1.小明想把小明想把ABC进行适当的缩小或放大，他设计了以下几种方案：进行适当的缩小或放大，他设计了以下几种方案：（1 1）分别在）分别在ABCABC的边的边AB,ACAB,AC上取点上取点D,E,D,E,使使
15、DEBC,DEBC,那么那么ADEADE是是ABCABC缩小后的缩小后的图形图形. .（2 2）分别在）分别在ABCABC的边的边AB,ACAB,AC的延长线上取点的延长线上取点D,E,D,E,使使DEBC,DEBC,那么那么ADEADE是是ABCABC放大后的图形放大后的图形. .（3 3）分别在）分别在ABCABC的边的边AB,ACAB,AC的反向延长线上取点的反向延长线上取点D,E,D,E,使使DEBC,DEBC,那么那么ADEADE是是ABCABC缩小后的图形缩小后的图形. .小明设计的方案都可行吗？请你画一画，试一试小明设计的方案都可行吗？请你画一画，试一试. .(正确)(正确)(错
16、误)此时有此时有ADEADEABCABC，但无法确定是，但无法确定是放大还是缩小放大还是缩小. . 如果两个图形不仅相似如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相而且对应顶点的连线相交于一点交于一点,对应边互相平行对应边互相平行(或在同一直线上），或在同一直线上），像这样的像这样的两个图形叫做位似图形两个图形叫做位似图形, 这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心, 这时这时的相似比又称为的相似比又称为位似比位似比.1.什么叫位似图形什么叫位似图形?2.位似图形的性质位似图形的性质 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比距离之比等于位似比3.
17、利用位似可以把一个图形放大或缩小利用位似可以把一个图形放大或缩小课堂小结课堂小结各抒己见,交流提高.畅所欲言吧！我学习我学习 我进步我进步九（九（1 1）加）加 油！油！我锻炼我锻炼 我健康我健康九（1）必 胜！BAxyBAo探索探索1: 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,有两点有两点A(6,3),B(6,0),A(6,3),B(6,0),以原点以原点O O为位似中心为位似中心, ,相似比相似比为为3:1,3:1,把线段把线段ABAB缩小缩小. .A(2,1),B(2,0)观察对应点之间的坐标的变化观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现你有什么发现?BAxyBAo 在平面直角坐标系中
18、在平面直角坐标系中, ,有两点有两点A(6,3),B(6,0),A(6,3),B(6,0),以原点以原点O O为位似中心为位似中心, ,相似比为相似比为3:1,3:1,把线把线段段ABAB缩小缩小. .A(2,1),B(2,0)ABA(-2,-1),B(-2,0) 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,如果位似变换是以原点为位似中心如果位似变换是以原点为位似中心, ,相似比为相似比为k,k,那么位似图形那么位似图形对应点的坐标的比等于对应点的坐标的比等于k k或或-k.-k.观察对应点之间的坐标的变化观察对应点之间的坐标的变化, ,你有什么发现你有什么发现? ?BAxyBAo 在平面直角坐
19、标系中在平面直角坐标系中, ,有两点有两点A(6,3),B(6,0),A(6,3),B(6,0),以原点以原点O O为位似中心为位似中心, ,相似比为相似比为3:1,3:1,把线把线段段ABAB缩小缩小. .A(2,1),B(2,0)ABA(-2,-1),B(-2,0)以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质：以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质： 若原图形上点的坐标为若原图形上点的坐标为（x x，y y），），像与原图形的像与原图形的位似比为位似比为k k，则像上的对应点的，则像上的对应点的坐标为坐标为（kxkx，kyky）或或（kxkx，kyky）. . 想一想：想一想：2 2怎样画出
20、以原点为位似中心的位似图形？怎样画出以原点为位似中心的位似图形？在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或或k小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。5 5分钟分钟 以以A A点为位似中心，放大为原来的倍，画出一个相应的图形，点为位似中心，放大为原来的倍，画出一个相应的图形，探究探究2 如图所示的如图所示的，并写相应的点的坐标。并写相应的点的坐标。 A C C 1 B 1
21、O Byx A C O Byx 点拨精讲：点拨精讲：解决本题的关键就是要作出正确的图形，否则求出点的解决本题的关键就是要作出正确的图形，否则求出点的坐标就会发生错误。坐标就会发生错误。24682468-2-4-6-8-2-4-6-8O9101112-9-10-122. 如图，如图，ABC三个顶点坐标三个顶点坐标分别为分别为A（2，2），），B（4，5），），C（5，2），以原），以原点点O为位似中心，将这个三角为位似中心，将这个三角形放大为原来的形放大为原来的2倍倍ABC解：解：A（ ， ），），B （ ， ），），C （ ， ），），4 4 108410A （ ， ），），B （ ， ），）
22、，C （ ， ），），4 4 810104AB C ABCxyo例题例题. .在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, , 四边形四边形ABCDABCD的四个顶点的坐标分别为的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点画出它的一个以原点O O为位似中心为位似中心, ,相似比为相似比为1/21/2的位似图形的位似图形. .A( -3,3 ), B( -4,1 ), C( -2,0 ), D( -1,2 )BACDABCD你还有其他办法吗你还有其他办法吗? ?试试看试试看. .
23、E例例. .如图，请以坐标原点如图，请以坐标原点O O为位似中心，作平行四边形为位似中心，作平行四边形ABCDABCD的位似图形，并把它的边长放大的位似图形，并把它的边长放大2 2倍倍. . XY-2246-6-48-8-101012-12DABC124026810-2-4-6-8-10-12分析分析：根据位似图形上任意一对对：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心似比，我们只要连结位似中心O O和和的各顶点，并把线段延长（或反向的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的延长）到原来的2 2倍，就得到所求倍，就得到所求作
24、图形的各个顶点作图形的各个顶点 GFECGF本节学习的数学知识：以原点为位似中心，位似图形对应本节学习的数学知识：以原点为位似中心，位似图形对应点之间的坐标的关系；本节学习的数学方法：运用数形结合点之间的坐标的关系；本节学习的数学方法：运用数形结合的方法解题。的方法解题。 1 1、位似是一种变换，目前我们共学习了四种变换，、位似是一种变换，目前我们共学习了四种变换，即平移、轴对称、旋转和位似。即平移、轴对称、旋转和位似。 2 2、图形的四种变换可以根据各自定义画出变换图形，、图形的四种变换可以根据各自定义画出变换图形，也可以在平面直角坐标系中，根据对应点的坐标变化来画出也可以在平面直角坐标系中，根据对应点的坐标变化来画出变换图形。变换图形。相信奋斗的力量相信奋斗的力量生命因奋斗而精彩生命因奋斗而精彩祝祝愿九（愿九（1 1）班班全全体同学体同学