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1、4.3 4.3 任意角的三角函数任意角的三角函数 ( (一一) )yyyy年年M月月d日星期日星期W教学目标：教学目标： 1.理解并掌握任意角三角函数的定义理解并掌握任意角三角函数的定义. 2.理解三角函数是以实数为自变量的函数理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.教学重点：教学重点：任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义.教学难点：教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域正弦、余弦、正切函数的定义域.一、复一、复 习习 引引 入：入： 在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量
2、，边的比值为函数值的三角函数为自变量，边的比值为函数值的三角函数: cbsincacosabtanbacot c b a A B Cbac 前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数.二、新课教学：二、新课教学： 对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究系来进行研究.02222yxyxrrysin1.定义定义： 设设是一个任意角，在是一
3、个任意角，在 的终边上任取的终边上任取（异于原点的）一点（异于原点的）一点P（x,y）则）则P与原点的距离是与原点的距离是ry比值比值叫做叫做 的正弦的正弦 记作：记作： rysinrxcosxytanyxcotxrsecyrcscrx 比值比值叫做叫做的余弦的余弦 记作：记作：xy 比值比值叫做叫做的正切的正切 记作：记作：yx 比值比值叫做叫做的余切的余切 记作：记作：xr 比值比值叫做叫做的正割的正割 记作：记作：yr 比值比值叫做叫做的余割的余割 记作：记作：02222yxyxrry 比值比值叫做叫做 的正弦的正弦 记作：记作： 根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确根据相似三角
4、形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角定的角，上述六个比值都不会随，上述六个比值都不会随P点在的终边上的位点在的终边上的位置的改变而改变置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即当角的终边在纵轴上时，即 (kZ)时，终边上任意一点时，终边上任意一点P的横坐标的横坐标x都为都为0，所以，所以tan 、sec 无意义；当角无意义；当角的终边在横轴上时，即的终边在横轴上时，即 （Z）时，终边上任意一点）时，终边上任意一点P的纵坐标的纵坐标都为都为0，所以所以cot 、csc 无意义，除此之外，对于确定的角，无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、上面的六个比值
5、都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数比值为函数值的函数. 以上六种函数，统称为以上六种函数，统称为三角函数三角函数.2k实数实数角（其弧度数等于这个实数）角（其弧度数等于这个实数）三角函数值（实数）三角函数值（实数）三角函数是以实数为自变量的函数三角函数是以实数为自变量的函数2：几个问题：几个问题： 角角是是“任意角任意角”，当，当 =2k + (k Z)时，时， 与与 的同名三角函数值应该是相等的，即凡是的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。终边相同的
6、角的三角函数值相等。 实际上，如果终边在坐标轴上，除实际上，如果终边在坐标轴上，除 tan 、sec 与与cot 、csc 外，外，上述定义同样适用。上述定义同样适用。 三角函数是以三角函数是以“比值比值”为函数值的函数为函数值的函数 r0而而x,y的正负是随象限的变化而不同，的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定故三角函数的符号应由象限确定. 3：定义域：定义域： tancossinyyy)(2ZkkRRcscseccotyyy)()(2)(ZkkZkkZkk 4.注意注意: (1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在
7、原点，始边都与顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合. (2)OP是角是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的是任意的. (3)sin是个整体符号，不能认为是是个整体符号，不能认为是“sin”与与“”的的积积.其余五个符号也是这样其余五个符号也是这样. (4)定义中只说怎样的比值叫做定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没的什么函数，并没有说有说的终边在什么位置的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外终边在坐标轴上的除外)，即，即函数的定义与函数的定义与的终边位置无关
8、的终边位置无关. (5)比值只与角的大小有关比值只与角的大小有关. (6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别义的联系与区别: 任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 所所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与角的
9、三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的坐标的比来定义的. (7)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆记忆.5. 5. 三角函数的一种几何表示三角函数的一种几何表示利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线， 余弦线，正切线余弦
10、线，正切线 当角当角 的终边不在坐标轴上时，我们把的终边不在坐标轴上时，我们把MP, OM, ,AT都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线有向线段段由正弦、余弦、正切函数的定义有：由正弦、余弦、正切函数的定义有： MPyyry1sinOMxxrx1cosATOAATOMMPxytanyxoMPAT 的终边的终边yxOyxOyxOyxOPPPPTTTTAAAAMMMM当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；变成一个点；xATOMMP、这几条与单位圆有关的有向线段这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦
11、线、余弦线、正切线叫做角的正弦线、余弦线、正切线y当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在正切线不存在 深刻理解三角函数线的定义，定义中不仅定义了什深刻理解三角函数线的定义，定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角“的三的三角函数线的画法及角角函数线的画法及角的三角函数的函数值，体现了数的三角函数的函数值，体现了数形结合思想，以形结合思想，以“形形”说说“数数”三、例三、例 题题 解解 析：析：例例1 已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(2，- -3)(如图如图)，求，求的六个的六
12、个三角函数值三角函数值.13133133sinry13132132cosrx23tanxy32cotyx213secxr313cscyr13)3(222r解：解：x2，3 于是于是 分，两种情形讨论0a0a求的六个三角函数值呢？若将改为，23P，23Paa，0a如何变式：变式：a0 0时：时：222(2 )( 3 )1313raaaa a0 0时：时：222(2 )( 3 )1313raaaa 例例2 求下列各角的六个三角函数值求下列各角的六个三角函数值. (1)0 (2) (3) (4) 解：解：(1)因为当因为当0时，时，x，0，所以，所以 sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot
13、0不存在不存在sec0=1 csc0不存在不存在 (2)因为当因为当 时，时，x，0，所以，所以 sin0 cos1 tan0 cot不存在不存在 sec1 csc不存在不存在232(3)因为当因为当 时，时，x0，所以，所以 不存在不存在 不存在不存在 (4)当当 = 时时 ,所以所以 sin =1 cos =0 tan 不存在不存在 cot =0 sec 不存在不存在 csc =1023cos 123sin23tan023cot23sec123csc232222222例例3 已知角已知角 的终边经过的终边经过P(4, 3),求求2sin +cos 的值的值已知角已知角 的终边经过的终边经过
14、P(4a, 3a),(a 0)求求2sin +cos 的值的值 解：解：由定义由定义 ： r=5 sin = cos = 2sin +cos = 若若 则则sin = cos = 2sin +cos = 若若 则则sin = cos = 2sin +cos =5354520aar5535354540aar55252例例4 求函数求函数 的值域的值域解：解： 定义域：定义域：cosx 0 x的终边不在的终边不在x轴上轴上 又又tanx 0 x的终边不在的终边不在y轴上轴上当当x是第是第象限角时，象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2当当x是第是第象限角时象限角时,|c
15、osx|= cosx |tanx|= tanx y= 2当当x是第是第象限角时象限角时, |cosx|= cosx |tanx|=tanx y=0当当x是第是第象限角时象限角时, |cosx|=cosx |tanx|=-tanx y=0 xxxxytantancoscos（2）函数的定义域是（）函数的定义域是（ ） A B C D03，P（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（的是（ ）sincostancotxxycottanABCDxxxx，2RZRkkxxx，2ZRkkxxx，ZRkkxxx，2练练 习习 3. 3. 已知角已知角 的终边经过
16、点的终边经过点P(5,12),求求 的六的六个三角函数值个三角函数值.变式变式: 已知角已知角 的终边落在直线的终边落在直线 y=2x上上,求求的的六个三角函数值六个三角函数值.变式变式:已知角已知角 的终边经过点的终边经过点P(5t,12t),求求log5|sec -tan |.变式变式:已知角已知角的终边上一点的终边上一点P(x,5),且且cos = ,求求sin +cot )0(13xx小小 结结 本节课我们给出了任意角三角函数的定义，本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，记忆方法离、坐标与坐标、距离与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到定义域可由三角函数的定义分析得到. 分类讨论（角的位置）是三角函数求值过分类讨论（角的位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴