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1、,第7专题 计数原理与概率统计,回归课本与创新设计,高考命题趋势,重点知识回顾,主要题型剖析,专题训练,试题备选,一、排列组合数公式,四、离散型随机变量的期望和方差,1.随机变量X的分布列为,则E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn=xipi;,D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xi-E(X)2pi+(xn-E(X)2pn=,本的数字特征、几何概型和古典概型概率的求法、抽样(特别是分层抽样)、利用两个计数原理和排列组合来求方法数、二项式定理等,其中以计数原理、二项式定理、概率的求法为考查重点,解答题考查形式有着稳定性,一般考查离散型随机变量的分布列、期望、方
2、差的求解等.解答题的题目侧重于应用题的形式,结合计数原理,排列组合、概率等知识进行综合考查.,此题型高考中一般以小题的形式出现,中等难度.利用计数原理和排列组合解决计数问题时,要注意不重不漏,合理分类或分步,灵活掌握一些常用的思想方法.要掌握一些常见模型的处理方式,比如平均分组问题、球放盒的模型、指标分配问题等;对于二项式定理,主要考查利用通项公式求展开式的特定项、求特定项的系数、利用赋值法求二项式展开式系数问题等.,(3)(2011年全国新课标)(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2,则该 展开式中常数项为(),(A)-40.(B)-20.(C)20.(D)40.,【分析】(1)先在
3、10人中选择8人,然后将8人平均分成两组,每组4人,显然是一个平均分组问题. (2)可利用“插空法”和“捆绑法”.先将5个0排好,这样就出现了6个空,然后对于3个1的插法须进行分类讨论. (3)利用赋值法得到各项系数和建立方程求a,然后用通项求之.,【解析】(1)=3150.,(x+)(2x-)5=x(2x-)5+(2x-)5,其中x(2x-)5展开式中常数项为-40, (2x-)5展开式中常数项为80,所以(x+)(2x-)5展开式中常数项为- 40+80=40.故选D.,【答案】(1)3150(2)56(3)D,(1)本题易错写成,对于平均分组问题可以举例列举 加强理解.(2)要灵活应用“
4、插空法”.对于插入的元素应考虑是否有顺序.如本题中的3个1插到两个空中去时应是而不是.(3)注意区分开各项 系数的和与二项式系数的和,前者常令x=1求得,而后者在(a+b)n展开式中为2n.,同类拓展1(1)将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴地震灾区的四个不同受灾地点进行支援,不同的分配方案有种.(用数字作答),(3)已知多项式(1+x)+(1+x)4=2+5x+ax2+bx3+x4,则a-b=.,【答案】(1)1080(2)D(3)2,本部分主要包括古典概型、几何概型、条件概率、事件的互斥、相互独立等知识.在高考中考查的比较灵活,既可以在小题中单独考查,也可以在解答
5、题中与分布列、期望、方差综合考查. 解决古典概型问题的关键是找准基本事件的个数,这里常与计数原理,排列组合的知识相联系.,几何概型常与线性规划,立体几何,定积分等相联系,是高考命题一个很好的生长点.条件概率在往年高考中考查的比较少,但同学们应重视.此类问题出现的话,一般是比较简单,关键是同学们要注意识别它.在求一些复杂事件的概率时,要善于利用互斥和独立等将其转化为简单事件的概率问题.,例2(1)阅读下面的程序框图,任意输入一次x(0 x1)与y(0y1),则能输出数对(x,y)的概率为(),(A).(B).(C).(D).,(3)某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试,学生如果通
6、过其中的2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加后面的测试,而每个学生最多也只能参加5次测试,假设某学生每次通过测试的概率都是,每次测试通过与否相互独立,则该学 生恰好经过4次测试考上大学的概率是.,【解析】(1)对于输入的任意的0,1上的x,y,当满足 时,才输出数 对(x,y),这样试验的全部结果满足满足条件的事件对应的区域为 如下图所示,所求概率为=.,【答案】(1)A(2)C(3),(3)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为.(用数字作答),(3)至少3人被治愈的概率为P=0.94+0.93(1-0.9)=0.9477.
7、,【答案】(1)A(2)(3)0.9477,本部分主要包括抽样方法、利用样本对总体进行估计、正态分布,等,高考中一般为一个小题.三种常用的抽样都是等概率抽样,常常考查抽样方式的判断,其中系统抽样和分层抽样是考查的重点.利用样本估计总体中,特别应重视频率分布直方图和茎叶图的应用,另外常见的数字特征的求法也是高考的命题点.对于正态分布,利用正态曲线的特征求相应的概率要熟练掌握.,例3(1)甲、乙两名同学在五次数学基本能力测试中,成绩统计用茎叶图表示如下,若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙,则下列结论正确的是 (),(2)根据中华人民共和国道路交通安全法规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在2080 m
8、g/100 mL(不含80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时,属醉酒驾车.据法制晚报报道,2010年3月15日至3 月28日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人,如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为.,(3)已知随机变量X服从正态分布N(0,2),若P(X2)=0.023,则P(-2X2)等于(),(A)0.477.(B)0.625.,(C)0.954.(D)0.977.,【分析】(1)成绩的稳定与否只要看方差或标准差的大小.,【答案】(1)A(2)4320(3)C,(1)数据的波
9、动大小由方差(标准差)反映出来,而平均数是 反映数据集中程度的重要数据;(2)频率分布直方图中每个小矩形的面积,表示数据落在各个小组内的频率;(3)正态曲线是“钟形曲线”,具有很好的对称性,在求有关正态分布的概率问题时,一般就是利用曲线的对称性和概率之和为1来求解.,同类拓展3(1)某地有居民100000户,其中普通家庭99000户,高收入家庭1000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房,其中普通家庭50户,高收人家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3套或3套以
10、上住房的家庭所占比例的合理估计是.,(2)从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).,由图中数据可知a= .若要从身高在 120 , 130),130 ,140), 140 , 150三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在140 ,150内的学生中选取的人数应为 .,【解析】(1)该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有:99000+ 1000=5700户,所以所占比例的合理估计是5700100000=5.7%.,【答案】(1)5.7%(2)0.0303(3)B,本部分主要包括复杂事件的概率、分布列和期望、方差的求法
11、,在高考中一般以大题的形式出现,难度中等偏上. 对于复杂事件要善于利用互斥或独立转化为简单事件,有时也可用对立事件来转化,体现了“正难则反”的转化思想.求随机变量的分布列时,首先要弄清楚随机变量的所有可能取值以及取每个值的含义,然后利用概率的求法求相应的概率,当然求概率是关键,求解时要综合古典概型,几何概型,计数原理等知识. 对于一个随机变量来说,分布列求出后,其期望和方差就易求了. 在解此类问题时,还要注意常见的分布(超几何分布、二项分布等)的分布列和期望,、方差的求法.,例4甲、乙两队参加建党90周年党史知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人
12、答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,且各人回答正确与否相互之 间没有影响.用X表示甲队的总得分.,【分析】(1)由于甲队中每人答对的概率均为,得分X的值其实就是答对 题目的人数,因此X=k(k=0,1,2,3)意味着做了3次独立重复试验,事件发生了k次,因此X服从二项分布;(2)A,B同时发生即为“甲得2分乙得1分”或者“甲得3分乙得0分”.,同类拓展4 设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p,且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51,假设这两套试验方案在试验过程中,相互之间没有影响.设试验成功的方案的个数为X.,(1)求p的值;,(2)求X的数学期望E(X)与方
13、差D(X).,(2)X的取值为0,1,2.,P(X=0)=(1-0.3)2=0.49,P(X=1)=20.3(1-0.3)=0.42,P(X=2)=0.32=0.09.,所以X的分布列为,X的数学期望E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)=0.6,方差D(X)=(0-0.6)20.49+(1-0.6)20.42+(2-0.6)20.09=0.42.,例5第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行 ,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者.将这30名志愿者的身高编成如下图所示的茎叶图(单位:cm):若身高在175 cm以
14、上(包括175 cm)定义为“高个子”,身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.,【分析】(1)首先根据分层抽样的规律找到所抽取的5人中“高个子”和“非高个子”的人数;对于“至少”问题可考虑其对立事件;(2)一共有12个高个子,其中有男志愿者8人,女志愿者4人,选出3名,其中能担任“礼仪小姐”的人数X可取0,1,2,3;注意X取每个值的意义,例如“X=1”表示从1 2人中选3人,其中有1个“女高个子”,其余的为男志愿者.,(2)依题意,一共有12个高个子,其中有男志愿者8人,女志愿者4人,则X的取值为0,1,2,3.P(X=0)=,
15、P(X=1)=,P(X=2)= ,P(X=3)=.,因此,X的分布列如下:,E(X)=0+1+2+3=1.,本题将茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立 事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望进行了综合,难度适中,是高考中比较青睐的中档题目,其中应注意(2)中X实际上符合超几何分布.,同类拓展5,(2011年陕西)如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:,现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.,(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径?,(2)用X表示甲、乙两人
16、中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求X的分布列和数学期望.,(2)A,B分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(1)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由题意知,A,B独立,P(X=0)=P( )= P()P()=0.40.1=0.04,P(X=1)=P(B+A )=P()P(B)+P(A)P(),=0.40.9+0.60.1=0.42,P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.60.9=0.54.,X的分布列为,E(X)=00.04+10.42+20.54=1.5.,本部分主要包括回归方程的求法和独立性检验,同学们在平时学习中对
17、这部分往往不够重视,事实上,特别是近几年这两个考点在各地高考中常以大题的形式出现,因此同学们应根据新课标的要求对它们很好的掌握.对于回归直线,要会根据最小二乘法求其方程,这里关键是考查同学们的数据处理能力和计算能力.独立性检验问题,要理解其基本思想,根据给定的数据能够得到其22列联表,然后利用K2进行独立性检验.,例6(1)(2011年山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:,根据上表可得回归方程=bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告费用 为6万元时销售额为(),(A)63.6万元.(B)65.5万元.,(C)67.7万元. (D)72.0万元.,(2)某商品销售量y(件)与销
18、售价格x(元/件)负相关,则其回归方程可能是(),(A)=-10 x+200.(B)=10 x+200.,(C)=-10 x-200.(D)=10 x-200.,【分析】(1)根据线性回归直线过样本中心点可求出a,从而可求出线性回归方程,然后求当x=6时的销售额即可.(2)正相关和负相关不但可以反映到散点图上,而且也反映到回归方程的系数b上.,【答案】(1)B(2)A,(1)回归直线必过样本中心点(,)要记住,高考在这一方面 经常考查.(2)抓住正负相关的特征有时能解决看似不能求或难求的问题.,同类拓展6(1)已知x,y的取值如下表所示:,【解析】(1)=2,=,故=0.952+a,得a=2.
19、6.,(2)对于变量Y与X而言,Y随X的增大而增大,故Y与X正相关,即r10;对于变量V与U而言,V随U的增大而减小,故V与U负相关,即r20,所以有r20r1.应填C.,【答案】(1)2.6(2)C,设从没服用药的动物中任取两只,未患病数为X;从服用药物的动物中任取两只,未患病数为Y,工作人员曾计算过P(X=0)=P(Y=0).,(1)求出列联表中数据x,y,M,N的值;,(2)求X与Y的均值(期望)并比较大小,请解释所得结论的实际含义;,(3)能够以99%的把握认为药物有效吗?,公式参考:K2=,当K23.841时有95%的把握认为X、Y有关联;,当K26.635时有99%的把握认为X、Y
20、有关联.,【分析】(1)从已知P(X=0)=P(Y=0)出发,结合22列联表可求.(2)求出X 、Y的分布列,再求得E(X)和E(Y)即可.(3)利用公式算出K2,结合参考数据可以判断.,(2)X取值为0,1,2,P(X=0)=, P(X=1)=,P(X=2)=,E(X)=.,P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,E(Y)= .,E(X)E(Y),即说明药物有效.,(3)K2=4.76.,故不能够有99%的把握认为药物有效.,独立性检验问题在实际中作用较大.此类问题应熟悉 22列联表的意义;K2的大小对认定变量X与Y是否有关联的把握性(概率)是有关系的.,同类拓展7某地区甲校高三年级
21、有1100人,乙校高三年级有900人,为了统计两个学校高三年级在某次毕业考试中的数学学科成绩,采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩,如下表(已知本次测试的总分为100分):,甲校高三年级数学成绩:,乙校高三年级数学成绩:,(1)计算x,y的值,并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(每组数据用区间中点代替).(精确到1分),(2)若数学成绩不低于80分为优秀,低于80分为非优秀,根据以上统计数据写出下面22列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”?,公式参考数据:K2=,当K23.841时有95%的把握认为X、Y有关联;,当K26
22、.635时有99%的把握认为X、Y有关联.,(2)列联表如下:,K2=4.714.,又因为4.7146.635,故不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为 “两个学校的数学成绩有差异”.,回归课本,(2010年江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则(),(A)p1=p2.(B)p1p2.,(C)p1p2. (D)以上三种情况都有可能.,【解析】每箱任意抽查一枚,抽到假币的概率为,则p1=1-0.991
23、0=1-0.980 15;每箱任意抽查两枚,抽到假币的概,率为=,则p2=1-0.985,比较可得p1p2.,【答案】B,课本试题对比:,北师大版选修2-3的复习题二B组第1题.,一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中掺入一枚假币,国王怀疑大臣作弊,他准备在10箱硬币中各任意抽查一枚,国王能发现至少一枚劣币的概率是多少?如果他在5箱硬币中各任意抽查两枚呢?,高考题将其改为选择题,其核心内容不变.这样的改编在许多高考题中都有所体现,复习中要注意这点.只要在复习中真正理解好课本内容,注意课本习题的设计训练,那么你就抓住了这个“中心”,考试必将得心应手.,创新设计,1.已知数组(x1,y1),(x
24、2,y2),(x10,y10)满足线性回归方程=bx+a,则“(x 0,y0)满足线性回归方程=bx+a”是“x0=,y0= ”的(),(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.,(C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.,【解析】,为这10组数据的平均值,因为根据公式计算线性回归方程= bx+a的b以后,再根据a=-b(,为样本平均值)求得a.因此,一定满足线 性回归方程,但满足线性回归方程的除了,外,可能还有其它样本点.,【答案】B,2.在(0,1)区间内任意取两实数,则它们的和大于而小于的概率为 .,【答案】,一、 选择题,1.(-)9展开式中的常数项是(),(A)-36.(B)3
25、6.(C)-84.(D)84.,【答案】C,【解析】设常数项为第r+1项,则Tr+1=()9-r(-)r=(-1)r,令-=0, 则r=3,故常数项是第四项且T4=-84.,2.已知随机变量X服从正态分布N(2,2),P(X4)=0.84,则P(X0)等于(),(A)0.84.(B)0.32.(C)0.16.(D)0.08.,【答案】C,3.若=42,则的值为(),(A)6.(B)7.(C)20.(D)35.,【答案】D,【解析】=42,n=7.故=35.,4.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为和 ,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个 一等品的概率为()
26、,(A).(B).(C).(D).,【答案】B,【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A,则P(A)=+ =.,5.某高中在校学生2000人.为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了跑步和登山比赛活动.每人都参加而且只参与了其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下表:,其中abc=235,全校参与登山的人数占总人数的.为了了 解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调,查,则高二年级参与跑步的学生中应抽取(),(A)36人.(B)60人.(C)24人.(D)30人.,【答案】A,【解析】根据题意可知样本中参与跑步的人数为200=120,所以高二级 参与跑步的学生中应抽取
27、人数为120=36.,6.如图,是某市甲乙两地五月上旬日平均气温的统计图,则甲乙两地这十天的日平均气温的平均数,和日平均气温的标准差s甲,s乙 的大小关系应为 (),(A)=,s甲s乙.(B)=,s甲s乙.,(C),s甲,s甲s乙.,【答案】A,【解析】=26,=26,显然甲地气温变化大,即数据波动性大.故s甲s乙.,7.(2011年浙江)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机地并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是(),(A).(B).C.(D).,【答案】B,【解析】宜用间接法,基本事件共有=120,同一科目的书都不相邻的情 况可用间接法求解,
28、即-2+=48,因此同一科目的书都不相邻 的概率是.,8.赌博时,赢a元钱的概率为p1,输b元钱的概率为p2,不输不赢的概率为p3,这里p1+p2+p3=1.当平均赢利等于0元时,称这赌博是公平的.当p1=,p2=,p3=0,a=100时,若赌博是公平的,则b的值为(),(A)200.(B)150.(C)100.(D)50.,【答案】D,【解析】赌博的平均赢利为p1a+(-b)p2,则100-b=0,b=50.,9.用三种不同的颜色填涂右图33方格中的9个区域,要求每行、每列的三个区域都不同色,则不同的填涂方法种数共有( ),(A)48.(B)24.(C)12.(D)6.,【解析】可将9个区域
29、标号如图:用三种不同颜色为9个区域涂色,可分步解决:第一步,为第一行涂色,有=6种方法;第二步,用与1号区域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色,有=2种方法;剩余区域只有一种涂法,综上由分步计数原理可知共有62=12种涂法.,【答案】C,10.某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3,一旦发生,将造成400万元的损失,现有甲乙两种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲乙预防措施所需费用分别为45万元和30万元,单独采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85,若预防方案允许单独采用、联合采用或不采用,那么用下列的哪种预防方案使总费用最少(总费用=采取预防措
30、施的费用+发生突发事件损失的期望值)(),(A)不采取任何措施. (B)单独采用甲措施. (C)单独采用乙措施. (D)联合采取甲乙两种预防措施.,【解析】(1)不采取预防措施时,总费用即指损失的期望值为4000.3=120(万元);,(2)若单独采用措施甲,则预防措施费用为45万元,发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失的期望为4000.1=40万元,所以总费用为45+40=85(万元);,(3)若单独采用措施乙,则预防措施费用为30万元,发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失的期望为4000.15=60万元,所以总费用为30+60=90(万元);,(4)若联合采取甲乙两种措
31、施,则预防措施费用为45+30=75万元,发生突发事件的概率为(1-0.9)(1-0.85)=0.015,损失的期望值为4000.015=6万元,所以总费用为75+6=81(万元).,综合(1)(2)(3)(4),比较总费用可知,应选择联合采取甲乙两种预防措施,可使总费用最少.,【答案】D,11.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是(),(A)152.(B)126.(C)90.(D)54.,【答案】B,【解析】分两种
32、情况:只有1人从事司机工作,则有=108种方案;有2 人从事司机工作,则有=18种方案.则共有108+18=126种不同安排方 案.,12.有红、黄、蓝三种颜色的球各7个,每种颜色的球都标有数字1,2,3,4,5,6,7.从中任意取3个球,则取到的3个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的概率是(),(A).(B).(C).(D).,【答案】A,二、填空题,13.某单位为了了解用电量y度与气温x 之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:,由表中数据得线性回归方程=-2x+a,预测当气温为-4 时,用电量 的度数约为.,【答案】68,14.对某城市一年(365天)的空气质量进
33、行监测,获得了一些空气质量指数API(为整数),按照区间0,50,(50,100,(100,150,(150,200,(200,250,(250,300对数据进行分组,得到频率分布直方图如下图.,【答案】,【解析】由图可知50 x=1-(+)50=1-50,解得 x=.,则直方图中x的值为.(参考数据:+ =),15.某高校统计初步课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表:,为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中数据,得到K2=4.8443.841,所以断定主修统计专业与性别有 关系,那么这种判断出错的可能性约为.,【解析】K23.841,我们有95%的把握认为有关系,
34、判断出错的可能性为5%.,【答案】5%,16.(2011年湖南)如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”, B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则,(1)P(A)=;(2)P(B|A)=.,【解析】易求得圆的面积为,正方形的对角线等于圆的直径为2,故边长为,面积为2,故P(A)=,P(B|A)=.,【答案】(1)(2),三、解答题,17.在对人们休闲方式的一次调查中,共调查120人,其中女性70人,男性50人.女性中有40人主要的休闲方式是看电视,另外30人主要的休闲方式是运动;男性中有20人主要的休
35、闲方式是看电视,另外30人主要的休闲方式是运动.,(1)根据以上数据建立一个22的列联表:,(2)有多大的把握认为休闲方式与性别有关?,参考公式及数据:,K2=,当K22.706时,有90%的把握认为A、B有关联.,当K23.841时,有95%的把握认为A、B有关联.,当K26.635时,有99%的把握认为A、B有关联.,【解析】(1)22的列联表为,(2)假设H0:休闲方式与性别无关.,计算K2的值为K2=3.428,而2.7063.4283. 841,所以,在犯错误的概率不超过0.10的前提下,认为H0不成立,即在犯错误的概率不超过0.10的前提下,认为休闲方式与性别有关.,所以我们有90
36、%以上的把握,认为H0不成立,即我们有90%以上的把握,认为休闲方式与性别有关.,18.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间,参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次.记录如下:,甲:8281797895889384,乙:9295807583809085,(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数;,(2)现要从中选派出成绩最稳定的一人参加数学竞赛,从平均成绩和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由.,【解析】(1)茎叶图如下:,学生乙成绩中位数为=84.,(2)派甲参加比较合适,理由如下:,=(702+804+902+9+8+8+4+2+1+5+3
37、)=85;,=(701+804+903+5+3+5+2+5)=85;,=(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2 +(95-85)2=35.5;,=(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2 +(95-85)2=41.,=,甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适.,19.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:,该兴趣
38、小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.,(1)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程=bx+a;,(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?,【解析】(1)由数据求得=11,=24,xiyi=1092,=498,由公式求得b=,=,再由a=-b得a=-,所以y关于x的线性回归方程为= x-.,(2)当x=10时,=, |-22|2;同样, 当x=6时,=, |-12|2.,所以该
39、小组所得线性回归方程是理想的.,20.某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为.该目标分为3 个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为136.射击目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.,(1)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列和方差;,(2)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A).,【解析】(1)依题意知XB(4,),则X的分布列为:,方差D(X)=4=.,(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分,i=1,2”;,Bi表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分,i=1,2”.,依题意知P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2
40、)=P(B2)=0.3,A=(A1)+(B1)+(A1B1)+ (A2B2),故P(A)=P(A1)+P(B1)+P(A1B1)+P(A2B2)=0.10.9+0.90.1+0.10.1 +0.30.3=0.28.,21.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试,且规定:成绩大,于或等于90分的有参赛资格,90分以下的则被淘汰.若现有500人参加测试,学生成绩的频率分布直方图如图:,(1)求获得参赛资格的人数;,(2)根据频率分布直方图,估算这500名学生测试的平均成绩;,(3)若知识竞赛分初赛和复赛,在初赛中每人最多有5次选题答题的机会,累计答对3题或答错3题即终止,答对3题者方可参加复赛,
41、已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同,并且相互之间没有影响,已知他连续两次答错的概率为,求甲在初赛中答题个数的分布 列及数学期望.,【解析】(1)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为,500(0.0050+0.0043+0.0032)20=125人.,(2)设500名学生的平均成绩为,则,=(0.0065+0.0140+0.0170+0.0050+ 0.0043+0.0032)20=78.48分.,(3)设学生甲每道题答对的概率为P(A),则1-P(A)2=,P(A)=.,学生甲答题个数X的可能值为3,4,5,则,P(X=3)=()3+()3=,P(X=4)=()()3+()()3=,P
42、(X=5)=()2()2=.,所以X服从分布列,E(X)=3+4+5=.,22.(2011年福建)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,8,其中X5为标准A,X3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B生产该产品,产品的零售价为4元/件.假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.,(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示:,且X1的数字期望E(X1)=6,求a,b的值;,(2)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:,3 5 3 3 8 5 5 6 3 4,6 3
43、 4 7 5 3 4 8 5 3,8 3 4 3 4 4 7 5 6 7,用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望.,(3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.,注:(1)产品的“性价比”=;,(2)“性价比”大的产品更具可购买性.,【解析】(1)因为E(X1)=6,所以50.4+6a+7b+80.1=6,即6a+7b=3.2.,又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1,即a+b=0.5.,由解得,(2)由已知得,样本的频率分布表如下:,用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系
44、数X2的概率分布列如下:,所以E(X2)=30.3+40.2+50.2+60.1+70.1+80.1=4.8.,即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.,(3)乙厂的产品更具可购买性.理由如下:,因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,所以其性价比为=1.,因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件,所以其性价比为=1.2.,据此,乙厂的产品更具可购买性.,1.在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P,则三棱锥S-APC的体积大于的概率是.,【答案】,2.已知向量a=(1,-2),b=(x,y).,(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个
45、面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足ab=-1的概率;,(2)若实数x,y,求满足ab0的概率.,(2)用B表示事件“ab0”,即x-2y0.,试验的全部结果所构成的区域为,构成事件B的区域为,如图所示:,所以所求的概率为P(B)=.,3.如图,四棱锥S-ABCD的所有棱长均为1米,一只小虫从S点出发沿四棱锥爬行,若在每顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行n米后恰回到S点的概率为Pn(n2,nN).,(1)求P2,P3的值;,(2)求证:3Pn+1+Pn=1(n2,nN);,(3)求证:P2+P3+Pn(n2,nN).,【解析】(1)P2表示从S点到A(或B、C、D),然后再回到S点的概率,所以P2=4=;,因为从S点沿一棱爬行,不妨设为沿着SA棱再经过B或D,然后再回到S点.其概率为:2=,P3=4=.,(2)设小虫爬行n米后恰回到S点的概率为Pn,那么1-Pn表示爬行n米后恰好没回到S点的概率,则此时小虫必在A(或B、C、D)点,所以 (1-Pn)=Pn+1,即3Pn+1+Pn=1(n2,nN).,(3)由3Pn+1+Pn=1得(Pn+1-)=-(Pn-),从而Pn=+(-)n-2(n2,nN),所以P2+P3+Pn,=+,=+1-(-)n-1,=+-(-)n-1.,