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1、1,第33讲 等比数列的概念及基本运算,2,1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.,3,A,解析,4,解析,A.16 B.12 C.6 D.4,D,5,3.若数列an成等比数列,则“a2010a2012=16” 是“a2011=4”的（ ）,B,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,由a2010a2012=16,则a2011=4，充分性不满足; 由a2011=4，则a2010a2012=a20112=16.,解析
2、,6,4.（2010江苏溧水模拟）等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，S3=3a3，则公式q= .,- 或1,当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意. 当q1时, =3a1q2,解得q=- 或1(舍去). 所以q=- 或1.,解析,7,5.2009年，某内河可供船只航行的河段长为1000 km，但由于水资源的过度使用，促使河水断流，从2010年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的 ，则到2018年，该内河可行驶的河段长度为 km.,1000,8,设an表示第n年船只可行驶河段长度(2009为第一年）， 则an= an-1，a1=1000， 所以an=1000(
3、)n-1，a10=1000( )9.,解析,9,等比数列 (1)等比数列定义 .(nN*),这是证明一个数列是等比数列的依据，也可由anan+2=an+12来判断. (2)等比数列的通项公式为 . (3)对于G是a、b的等比中项,则G2ab,G= .,=q(非零常数),an=a1qn-1,10,(4)特别要注意等比数列前n项和公式应分为q=1与q两类.当q=1时,Sn= ;当q时,Sn= .,na1,或,11,题型一 等比数列的基本运算,例1,解析,12,评析,13,素材1,解析,14,（2010都昌模拟）已知数列an满 an+n (n为奇数） an-2n (n为偶数). (1)求a2,a3,
4、a4,a5； (2)设bn=a2n-2,求证:数列bn是等比数列； (3)在(2)的条件下，求数列an的前100项中所有偶数项的和.,足:a1=1， an+1 =,题型二 等比数列的判定及证明,例2,15,(1)因为a1=1,当n=1奇数,a2= a1+1= ; 当n=2偶数，a3=a2-22=- ; 同理，a4= ，a5=- .,解析,16,(2)证明：因为bn=a2n-2， 所以 = = = = = . 又b1=a2-2=- ， 所以数列 bn是以b1=- 为首项,公比为 的等比数列.,17,(3)由(2)得bn=(- )( )n-1=-( )n=a2n-2, 所以a2n=2-( )n,
5、所以S=a2+a4+a100 =(2- )+2-( )2+2-( )50 =250- =99+ .,18,本题是以分段形式给出的数列通项，特别要根据n的奇偶选递推式，而不是an+1的下标的奇偶.同时判定等比数列的常用方法有两种：第一种定义法，即证 =q(q是非零常数）；另一种是等比中项法，即证an2=an-1an+1.当已知通项公式或把递推公式看作一整体时，常用定义法.,评析,19,素材2,证明,20,21,评析,22,等比数列an的首项为a1=2010，公比q=- . （1）设bn表示数列an的前n项的积，求bn的表达式； （2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列bn有最大项？,题型三 等
6、比数列的最值,例3,23,(1)因为an=2010(- )n-1, 所以bn=a1a2an =2010n(- )0+1+2+(n-1) =2010n .,(1)求出an的通项公式，再由bn=a1a2an得表达式.(2)先判断bn的符号，再由|bn|的单调性，进一步探求.,分析,解析,24,(2)因为 = , 所以，当n10时， = 1， 所以|b11|b10|b1|； 当n11时， = |b12|, 又因为b110，b120， 所以bn的最大值是b9和b12中的最大者. 因为 = =20103( )30=2010( )1031. 所以当n=12时,bn有最大项为b12=201012(- )66
7、.,25,等比数列的通项公式类同于指数函数，根据公比q与首项a1的正负、大小有不同的单调性: a10 a11 00 q1 0q1为单调减数列；当q0时为摆动数列，应分类讨论其项的符号与绝对值.,或,当,当,或,评析,26,素材3,27,分析,解析,28,29,30,本题考察了三角函数的恒等变换和数列的基本知识，包括等比数列的概念、通项公式与前n项和公式，还考察了化归的数学思想方法及推理运算能力。,评析,31,（2010安徽师大附中)设数列bn的前n项和为Sn，bn=2-2Sn；数列an为等差数列，且a5=14，a7=20. (1)求数列bn的通项公式； (2)若cn=anbn(n=1,2,3,
8、)，Tn为数列cn的前n项和，求证：Tn .,32,(1)由bn=2-2Sn，令n=1，则b1=2-2S1, 又S1=b1，所b1= , 当n2时，由bn-1=2-2Sn-1， 可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn， 即 = . 所以bn是以b1= 为首项， 为公比的等比数列， 于是bn=2 .,解析,33,(2)数列an为等差数列， 公差d= (a7-a5)=3，可得an=3n-1. 从而cn=anbn=2(3n-1) . 所以Tn=22 +5 +8 +(3n-1) , 所以 Tn=22 +5 +(3n-4) +(3n-1) , 所以 Tn=23 +3 +3 + +3 - -(3n-1) , 从而Tn= - - .,34,1.方程思想的应用.在等比数列的五个基本量a1,an,q,n,Sn中，“知三求二”，一般是运用通项公式和前n项和公式列方程，通过解方程求解. 2.等比数列的判定常用定义法和等比中项法；而证明不是等比数列时，只需举反例（常从前几项入手）.,35,错解,36,错解分析,正解,