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1、1,第34讲 等差、等比数列的性质及综合应用,2,掌握等差、等比数列的基本性质：如（）“成对”和或积相等问题；（）等差数列求和S2n-1与中项an；能灵活运用性质解决有关问题.如分组求和技巧、整体运算.总之，等差数列考性质，等比数列考定义。,3,A.4 B.3 C.2 D.1,C,解析,4,B,解析,5,B,解析,6,20,解析,7,5.已知数列an、bn分别为等差、等比数列，且a1=b10，a3=b3，b1b3，则一定有a2 b2，a5 b5（填“”“”“=”).,(方法一)由中项性质和等比数列性质知b10，b30，又b1b3， a2= = =|b2|，故a2b2； 同理，a5=2a3-a1
2、，b5= ， 所以b5-a5= -(2b3-b1)= = 0, 即b5a5.,解析,8,(方法二)通项与函数关系. 因为an=dn+(a1-d)为关于n的一次函数，bn=a1qn-1= qn为关于n的类指数函数. 当d0，如图1；当db2，a5b5.,9,1.等差数列的性质 (1)当公差d0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和Sn=na1+ = n2+(a1- )n是关于n的二次函数，且常数项为0. (2)若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ,则为递减等差数列,若公差 ,则为常数列.,d0,d0,d=0,10,(3)当m+n
3、=p+q时,则有 ,特别地,当m+n=2p时，则有am+an=2ap. (4)若an是等差数列，则kan(k是非零常数)，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，也成等差数列，而aan(a0)成等比数列；若an是等比数列，且an0，则lgan是等差数列. (5)在等差数列an中，当项数为偶数2n时;S偶-S奇= ;项数为奇数2n-1时;S奇-S偶= ，S2n-1=(2n-1)a中(这里a中即an);S奇S偶=(k+1)k.,am+an=ap+aq,nd,a中,11,(6)若等差数列an、bn的前n项和分别为An、Bn,且 =f(n),则 = = =f(2n-1). (7)“首正”的递减等差数列中,
4、前n项和的最大值是所有 之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有 之和. (8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.,非负项,非正项,12,2.等比数列的性质 (1)若数列 是等比数列当m+n=p+q时，则有 ,特别地，当m+n=2p时，则有aman=ap2. (2)若an是等比数列，则kan成等比数列；若an、bn成等比数列，则anbn、 成等比数列;若an是等比数列,且公比q-1,则数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,是 数列.当q=-1,且n为偶数时,数列Sn,S2n-Sn,S3n-S
5、2n,是常数数列0,它不是等比数列.,aman=apaq,等比,13,(3)若a10,q1,则an为 数列；若a11,则an为 数列;若a10,0q1,则an为递减数列；若a10,0q1，则an为递增数列；若q0,则an为摆动数列；若q=1,则an为 数列. (4)当q时,Sn= qn+ =aqn+b,这里a+b=0，但a0，b0，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn判断数列an是否为等比数列.,递增,递减,常,14,(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm. (6)在等比数列an中，当项数为偶数2n时，S偶= ；项数为奇数2n-1时,S奇=a1+qS偶. (7)如果数
6、列an既成等差数列又成等比数列，那么数列an是非零常数数列，故常数数列an仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.,qS奇,15,(1)已知数列n为等差数列,且1+8+15=2，则tan(2+14)的值是（ ）,A. B.- C. D.-,A,题型一 “成对下标和”性质,例1,16,(2)(2009广东卷)已知等比数列an满足an0,n=1,2,，且a5a2n-5=22n(n3),则当n1时,log2a1+log2a3+log2a2n-1=( ),A. n(2n-1) B. (n+1)2 C. n2 D. (n-1)2,(1)因为1+8+15=2，且n成等差数列， 则1+15=28
7、，故8= . 于是tan(2+14)=tan28=tan = .,C,解析,17,(2)因为a5a2n-5=22n(n3),且an成等比数列, 则a1a2n-1=a3a2n-3=a5a2n-5=22n=an2. 令S=log2a1+log2a3+log2a2n-1， 则S=log2a2n-1+log2a3+log2a1, 所以2S=log2(a1a2n-1)(a3a2n-3)(a2n-3a3)(a2n-1a1) =log2(22n)n, 所以2S=2nn，所以 S=n2.,18,本题是等差、等比的求值题，难点是找条件和目标之间的对应关系.解题时，根据等差、等比数列的“成对下标和”性质，列出方程
8、或多个恒等式是解题的关键.一般的，对于涉及等差、等比数列的通项公式的条件求值题，合理利用通项或相关性质进行化归是基本方法.,评析,19,(2010湖北省模拟)设数列an、bn都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列lgan与lgbn的前n项和,且 = ,则logb5a5= .,由题知， = = = =logb5a5 logb5a5= .,素材1,解析,20,(1)等差数列an中,a9+a10=a,a19+a20=b, 求a99+a100. (2)在等比数列an中,若a1a2a3a4=1, a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44.,题型二 部分“和”“积”与整体性质,例2,21,
9、(1)将相邻两项和a1+a2,a3+a4,a5+a6,a99+a100分别记为b1,b2,b3,b50,可知bn成等差数列. 此数列的公差d= = . a99+a100=b50=b5+45d=a+ 45=9b-8a.,解析,22,(2)(方法一)a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3 =a14q6=1. a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15 =a14q54=8. 得， =q48=8 q16=2. 又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43 =a14q166=a14q6q160 =(a14q6)(q16)10 =1210=1024.,2
10、3,(方法二)由性质可知，依次项的积为等比数列，设公比为q,T1=a1a2a3a4=1, T4=a13a14a15a16=8, 所以T4=T1q3=1q3=8 q=2, 所以T11a41a42a43a44=T1q10=1024.,巧用性质，减少运算，在有关等差、等比数列的计算中非常重要.如（）（2）小题巧用性质，构造一个新的等差或等比数列求解.,评析,24,素材2,B,解析,25,题型三 平面向量的基本概念、线性运算及简单性质,例3,分析,26,解析,27,评析,28,素材3,解析,29,30,解析,31,32,1.知三求二：在等差（比）数列中，a1,d(q),n,an,Sn共五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.,33,2.巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质非常重要，同时树立“目标意识”，需要什么，就求什么，既要充分合理地利用条件，又要时刻注意问题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.,34,35,错解,36,错解分析,37,正解,38,