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1、数学分析选论习题选第十章. 多元函数微分学1 试论下列函数在指定点的重极限，累次极限（1） , ；（2） .解 (1) 注意到 , ， 故两个累次极限均为0，但是, 所以重极限不存在.(2) 注意到 , , 故两个累次极限不存在. 此外，因为 ， 所以.2 设 证明:.证明 对 由于 可知当时,便有 . 故.3 设 证明：不存在.证明 注意到,它随而异，因此不存在.4 讨论下列函数的连续性（1）（2）解 （1）注意到 ， 有因此,，即 在（0，0）处连续.（2）注意到 , 故在（0，0）处不连续.5 讨论函数 在点处的偏导数的存在性.解 由定义知： ,.6 试讨论函数 在处的可微性.解. 因为
2、, 所以, ,其中 , ， 由此知在处可微.7 设 , 而 , . 求, . 和解. 由于 , , , , 于是, .8 设 是某可微函数的全微分，求的值.解 不妨设该可微函数为，则按定义可得 ，由此知. 从而又得 .联系到上面第一式，有 或 ,从而 .9 设 . 求 , .解 这里是以和 为自变量的复合函数, 它可写成如下形式, , . 由复合函数求导法则知.于是 , 10设在上可微函数满足+，试证：在极坐标系里只是的函数.证 对于复合函数 ，, 由于 ， =+，因此当时，及无关，即在极坐标系里只是的函数.第十一章. 隐函数1 设是由方程，求.解 方程两边对求偏导，有, 因而 . 方程两边对
3、求偏导，有 ,因而 . 故 .2 设, 求.解 方程组两边对求偏导得到 , 因此有，。方程组两边对求偏导得到, 因此 .3 设由方程 所确定，试求.解 对原方程两端对求导，可得 ，从而知. 4 设由方程 所确定，试求.解 对原方程取对数，得，并该式两端对求导，有，即 ，再对上式两端对求导，得 .5 证明： 方程所确定的隐函数 满足.证明 对方程两边分别对和求偏导数，有，分别解得 ，于是，得到 6 试求椭球面内接最大长方体的体积.解 易知，此内接长方体的六个面必分别平行于坐标平面。设此内接最大长方体在第一象限中的坐标为，由对称性可知该长方体的体积为，从而问题转化为求函数在条件下的最值问题。设辅助
4、函数为 , , 则有 .从中可得出唯一解 ， 。根据几何性质不难推知，该椭球面之内接长方体在第一象限的顶点为时达到最大体积 7 求表面积为, 而体积最大的长方体的体积.解 设长，宽，高分别为，则问题变为求函数 的最大值，联系方程为 . 设辅助函数为，则有解方程组得到，因而最大体积为.8 求空间曲线 ， ，在点（对应于）处的切线方程和法平面方程.解 将代人参数方程，得点，该曲线的切向量为T=（, 于是得切线方程为 法平面方程为 =0，即 9 求椭圆面在处的切平面方程及法线方程.解 设. 由于在全空间上处处连续, 在处 于是, 得切平面方程为,即 .法线方程为 . 第十三章. 重积分1 设是由直线
5、 和 围成, 试求 的值.解 先对积分后对积分 .由分部积分法, 知 .2 设是由矩形区域，围成, 试求的值.解 由于 则 3 设=, 试求的值.解 利用极坐标变换 4 试用变量代换计算下面的积分（1） , D由围成.（2）, .解 （1）令，则D变成，且积分成为（ （2） 令，则D变成，且原积分成为5 设是上的正值连续函数，试证，其中是 ，.证明 由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此.6 计算, 其中为由平面, , , , 及所围成.解 在平面上的投影区域为, 于是.7 计算 ,其中 积分区域为 ，的公共部分.解法1 用球坐标计算积分，积分区域分解成；，其中 ； ，于是 =.
6、解法2 用平行于0xy平面去截此V，得到的截痕为圆，因此，可用“先二后一”法，有 =.8 变换为球面坐标计算积分 .解 积分区域变换为球面坐标为 .于是, =.9 设函数连续，,其中，求和 .解 因为区域为柱状区域，被积函数中第二项为，所以用柱坐标法比较方便 .于是, . 利用洛必达法则, 有.10. 求曲面被柱面及平面所割下部分的面积.解 曲面方程表示为 , , , 于是所求面积S=.第十四章. 曲线及曲面积分1 计算 ， 其中L是摆线 的一段 （ ）.解 由, , 可得, , 则 =.2 计算，其中为以，为顶点的正方形封闭围线.解 段：直线方程 ，.段：直线方程 ，.段：直线方程 ，段：直
7、线方程 ，于是有， =0 .3 计算，其中为四分之一的边界，依逆时针方向.解 设，则 原式 .4 解答下列问题（1）设 是光滑弧上的连续函数，长度记为，则， ， (2) 设， ， 则，（3）设是曲线 上从到之线段，证明: .解 (1) 注意到柯西不等式， 。（2）由于 ， ，可知 . 采用极坐标，可得.由此知 , 利用题（1），有 ， （2） 因为 ，所以 ， 。 .将曲线用参数式表示，即令 ， ，且取顺时针方向为正，可知.5 判别下列表达式.是否某函数的全微分，若是的话，求出这个函数.解 设，因为, 则是某函数的全微分.且 .6 求, 其中是点A(2,0)到点O(0,0)的上半圆周.解 用轴
8、上直线段, 使上半圆周和直线段构成封闭曲线. 设, .有.于是,由格林公式知=.其中在直线段上, 有, , 则.因此 .7 计算下列积分（1） ， 是中的一条简单光滑闭曲线，在上连续可微. （2），是从点到点的直线段, 是上的连续函数.解 （1）由 可知 ， , 其中是所围区域，由格林公式, 可得 .（2）由 , 可知，当时，有 。 从而取点。 并作，使形闭曲线，记 所围区域为，于是8 求曲面被平面截下部分之曲面面积S.解 由得 ，从而 。注意到该曲面上的点关于平面对称，且其上半部分在平面上的投影为区域，从而有 .9 计算曲面积分, 其中为圆锥面被曲面所割下的部分.解 对于圆锥面，则 ，在平面上投影区域为：，于是 .10 计算 ， 其中 S是由曲面及平面所围成立体表面的外侧.解 曲面S1取负侧，而投影区域为D1：，于是应用极坐标可得，曲面S2取正侧，而投影区域为D2：2，于是应用极坐标可得，于是, .11.求, 其中S是边长为的正方体的外侧.解 利用高斯公式, 得.12 计算, 其中是圆周, ，若从轴正向看出，L是沿逆时针方向运行.解 平面的法线方向单位向量为，围成方程为 依斯托克斯公式得，=.13 / 13