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1、数学分析练习题（数学分析选论）习题选第十章.多元函数微分学1试论下列函数在指定点的重极限，累次极限122222)(),(yxyxyxyxf-+=,)0,0(),(00=yx；2,1sin1sin)(),(yxyxyxf+=)0,0(),(00=yx.解(1)注意到0),(lim0=yxfy)0(x,0),(lim0=yxfx)0(y，故两个累次极限均为0，但是,1)1,1(lim=nnfn,0)1,1(lim=-nnfn所以重极限不存在.(2)注意到0),1(=ynf,yyynf1sin),)14(2(+)(n,故两个累次极限不存在.此外，由于|),(|0yxyxf+，所以0),(lim)0,
2、0(),(=yxfyx.2设?=+-=).0,0(),(,0)0,0(),(,),(2222yxyxyxyxxyyxf证实:0),(lim)0,0(),(=yxfyx.证实对,0由于|,|21|21|0),(|22222222yxyxyxyxxyyxf+-+-可知当2022=2?=+=)0,0(),(,0),0,0(),(,2),(22yxyxyxxyyxf解1注意到22|2yxxy+，有|2|sin|2|sin|),(|xyxyxyxyxyyxf?因而,)0,0(0),(lim)0,0(),(fyxfyx=，即),(yxf在0，0处连续.2注意到,1)1,1(lim=nnfn54)1,2(l
3、im=nnfn,故),(yxf在0，0处不连续.5讨论函数?=+-=+0,00,1),(222222)(22yxyxyxeyxfyxx在点)0,0(处的偏导数的存在性.解由定义知：11lim0)0,0()0,(lim)0,0(3003-=-=-=xexfxffxxxx,300(0,)(0,0)0(0,0)limlim00yyyfyffyy-=-.6试讨论函数?=+=+-0,0,0,),(2222122yxyxeyxfyx在)0,0(处的可微性.解.由于,0lim)0,0()0,(lim)0,0(2/1100=-=-xxxxexxfxff,0lim)0,0(),0(lim)0,0(2/1100=
4、-=-yyyyeyyfyff所以,),()0,0(),(22)/(122yxyxefyxfyx+=-+-,其中0),(222/122)/(1=+=-+-eyxeyxyx,0，,22yx+=由此知),(yxf在)0,0(处可微.7设)ln(2vuz+=,而2yxeu+=,yxv+=2.求xz?,yz?.和dz解.由于2yxexu+=?,22yxyeyu+=?,xxv2=?,1=?yv,于是)(222xuevuxvvzxuuzxzyx+=?+?=?+,)14(122+=?+?=?+yxuyevuyvvzyuuzyz.=?+?=dyyzdxxzdz+dxxuevuyx)(222dyuyevuyx)1
5、4(122+.8设2)()(yxydydxayx+是某可微函数的全微分，求a的值.解不妨设该可微函数为),(yxfz=，则按定义可得2)(yxayxxz+=?，2)(yxyyz+=?，由此知)(|ln)()(2xgyxxyxxgdyyxyz+=+=?.进而又得)()(2)()(122xgyxyxxgyxyyxxz+=+=?.联络到上面第一式，有)()(2)(22xgyxyxyxayx+=+或yyxayxyxyxayxxg222)(2)(2)()(+-=+-+=,进而2=a.9设),(yxxfz=.求22xz?,yxz?2.解这里z是以x和y为自变量的复合函数,它可写成如下形式),(vufz=,xu=,yxv=.由复合函数求导法则知vfyufxvvfxuufxz?+?=?+?=?1.于是1)1(22222222xvvfxuuvfyxvvufxuufvfyufxxz?+?+?+?=?+?=?22222212vfyvufyuf?+?+?=,)1(2vfyufyyxz?+?=?此页面能否是列表页或首页？未找到适宜正文内容。