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1、概率与统计复习建议一、近两年高考各试卷概率与统计考查情况统计 2007年高考各地的19套试卷中，有16道概率解答题，一般是以实际背景为载体进行考查，也有一道题是以二次方程根的情况为载体，主要是考查三种概率，即：等可能事件的概率、独立事件的概率、独立重复实验的概率、分布列与期望.北京、湖北卷涉与到抽样统计问题，广东卷涉与频率分布直方图和线性回归方程的应用问题（文理相同，共17分）2008年新课改高考试题统计省份选择题号填空题号解答题号分值考查内容全国2012概率，（理）期望宁夏、海南161917茎叶图、（理）分布列、期望、方差，（文）统计，古典概型江苏2、6、710古典概型、几何概型、统计全国6
2、18（文19）17（文12）古典概型、对立（互斥）事件、二项分布、期望山东7、81822古典概型、互斥事件、二项分布、期望（文）统计广东3文1118（文19）17理：抽样、分布列、期望文：频率分布直方图、抽样、概率二、主要特点 从2008年新课改地区高考试题可以看到：1试题与实际生活密切相关，往往以实际问题为背景，结合排列、组合，甚至算法、函数、数列等知识，考查学生对知识的运用能力 2试题难度均不大，但重视基础知识和基本技能，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、古典概型、几何概型、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法、回归分
3、析等内容都进行了考查3概率统计试题通常是通过对常见题型进行改编，通过对基础知识的整合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧的实际问题体现了当前数学试卷的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神 42007年广东文理的题目完全相同，2008年则完全不同，而且文科的大题放在19题，较理科靠后，说明在概率统计上，文科的在难度、内容的要求都低于理科此外，2007、2008两年概率统计都是占17分，说明概率统计在广东高考中已成为主流题型三、复习建议（一）夯实基础知识，强化双基训练强化对知识的梳理，系统、准确地掌握概率与统计的基础知识和基本技能，使学生在头脑中内化
4、成有条理的网络化体系，这是熟练运用概率统计的知识和方法正确解题，提高解题能力的前提.例1（1）（2008山东理7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（A）（B） （C）（D）解：古典概型问题，基本事件总数为选出火炬手编号为，时，由可得4种选法；时，由可得4种选法；时，由可得4种选法（2）（全国理6）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）ABCD解：D，例2（1）（2008 广东理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表
5、1已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ） 表1一年级二年级三年级女生373男生377370A24 B18 C16 D12解：C，依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为（2）（2008 广东文11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是.解：13，例3（2008山东
6、文9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）分数54321人数2010303010ABC3D解：B， 点评：以上4题考查的都是概率统计的基础知识和基本运算，例1考查了古典概型，例2考查分层抽样、频率分布直方图，例3考查了平均数、方差、标准差的概念与其运算（二）把握基本题型，熟悉常规解法高考中涉与概率统计内容的试题常见两类基本题型：一类是考查离散型随机变量分布列和方差的概念性质以与对期望和方差的求解，讨论随机变量的取值范围或取相应值的概率；另一类是考查如何抽取样本以与如何用样本去估计总体解题方法上要能灵活的运用排列组合知识，熟练掌握等可能性事件、互斥事
7、件、相互独立事件等概率模型的求解方法，掌握考纲要求的两点分布、二项分布、超几何分布的期望和方差与有关性质，但以切实掌握基本题型的解法为主，切忌随意加深加难.例4（1）（2008海南、宁夏文19）为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普与情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10把这6名学生的得分看成一个总体（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率解：（1）总体平均为 （2）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”从
8、总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，100，（9，10），共15个基本结果事件A包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共7个基本结果所以所求的概率为P(A)= .（2）（2008山东文18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组（）求被选中的概率；（）求和不全被选中的概率解：（）从
9、8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间，由18个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用表示“恰被选中”这一事件，则，事件由6个基本事件组成，因而（）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于，事件有3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得（3）（全国文19）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2设甲、乙的射击相互独立（）求在一轮
10、比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；（）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率解：记分别表示甲击中9环，10环，分别表示乙击中8环，9环，表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数（），（），点评：本题主要考查古典概率的处理方法，（1）、（2）小题解决本题的关键是一一列举出基本结果，（3）小题则是综合了排列组合、独立事件、互斥事件等知识例5（1）（2008山东理18）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分
11、假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.（）求随机变量分布列和数学期望；（）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).解：（）解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3,且所以的分布列为0123P的数学期望为E=解法二：根据题设可知因此的分布列为（）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=CD,且C、D互斥，又由互斥事件的概率公式得解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件
12、，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事P(AB)=P(A3B0A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).（2）（2008 广东理17）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解：（1）的所有可能取
13、值有6，2，1，-2；，故的分布列为：621-20.630.250.10.02（2）（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为依题意，即，解得，所以三等品率最多为评注：本例考查分布列、期望等基础知识和基本方法，没有特别的技巧，但若熟悉一些特殊分布，如二项分布则对解题会有较大帮助例6（2008 广东文19）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）已知y2
14、45，z245，求初三年级中女生比男生多的概率.解：（1）因为，所以 （2）初三年级人数为 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为 名 （3）设初三年级女生比男生多的事件为,初三年级女生男生数记为，由（2）知，且 基本事件共有共11个， 事件包含的基本事件有共5个，所以评注：本例考查了分层抽样，并结合古典概型进行考查（三）增强应用意识，提高应用能力目前概率统计知识已成为高考命题中应用题的热点内容，而且往往与实际问题相结合，因此对概率统计的应用题要予以重视，要培养学生的认真审题，在梳理知识，挖掘知识间内在联系的基础上努力提高将实际问题转化为数学模型的建模能力. 例7（2
15、008全国20）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验（）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（）表示依方案乙所需化验次数，求的期望解：（I）方案甲的分布表为：11234P方案乙的分布表为：2123P0若甲化验次数不少于乙化验次数，则： （II）例8（2008海南、宁夏理19
16、）A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%X22%8%12%P0.80.2P0.20.50.3（1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；（2）将x（0x100）万元投资A项目，100x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值.（注：D(aX + b) = a2DX）解： （1）由题设可知, Y1和Y2的分布列分别为Y 1510P0.80.2Y 22812P0.20.5
17、0.3E Y1=50.8+100.2=6,D Y1=(5-6)20.8+(10-6)20.2=4,EY2=20.2+80.5+120.3=8,D Y2=(2-8)20.2+(8-8)20.5+(12-8)20.3=12.（2）当时，为最小值.例9（2008全国理）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为（）求一投保人在一年度内出险的概率；（）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50
18、 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则（）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， ，又，故（）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和支出 ，盈利 ，盈利的期望为 ， 由知，（元）故每位投保人应交纳的最低保费为15元（四）重视新增知识，增强应试能力 在广东新课标的两年高考中，2007年考察了线性规划，2008年理科考查了抽样、分布列、期望，文科考查了频率分布直方图、抽样、概率在课标新增的内容中，茎叶图、几何概型、正态分布均未出现，而
19、这些内容在课改地区均有出现，其中，茎叶图、正态分布是学生容易忽视的内容，应给予适当重视29 1 1 5 83 0 2 63 1 0 2 4 7例10（1）（2008山东8）右图是根据山东统计年整2007中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（A）304.6（B）303.6 （C）302.6 （D）301.6解：B，评注：本小题主要考查茎叶图中平均数的计算（2）（2008
20、海南、宁夏16）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种：271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352乙品种：284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图：甲乙31277550284542292587331304679403123556888553320224797413313673432356根据以上茎叶图，对甲乙两
21、品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：_解：填以下四种的两个即可.1乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种的纤维平均长度（或乙品种棉花的纤维平均长度普遍大于甲品种的纤维平均长度）.2甲品种棉花的纤维长度较乙品种的纤维长度更分散（或乙品种棉花的纤维长度较甲品种的纤维长度更集中）. 甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种的纤维长度的分散程度更大).3甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm,乙品种的纤维长度的中位数为318mm.4乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多数集中在中间(均值附近). 甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀.评注：本小题主要考查茎叶
22、图的有关知识，有较好的开放性.例11（2007湖南理5）设随机变量服从标准正态分布，已知，则=（ ）A0.025B0.050C0.950D0.975答案B例12（1）（2008江苏）6在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则所投的点落在中的概率是 . （2）（2007宁夏文20）设有关于的一元二次方程（）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率解：设事件为“方程有实根”当，时，方程有实根的充要条件为（
23、）基本事件共12个：其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为（）试验的全部结束所构成的区域为构成事件的区域为所以所求的概率为复习参考题：1对一批学生的抽样成绩的茎叶图如下：则表示的原始数据是（ ）9 8 55 4 6 7 6 34324 6 71 9 5 4 6 8 2 2 A.63 B.36 C.16 D.6 答案B2在01之间随机选择两个数，这两个数对应的点把01之间的线段分成了三条线段，则这三条线段能构成三角形的概率是 .答案：0.253. 口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记
24、下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢（1）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗?试说明理由解：（1）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个又甲、乙二人取出的数字共有5525（个）等可能的结果， 所以， 答：编号的和为6的概率为 （2）这种游戏规则不公平设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，
25、2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）所以，甲胜的概率P（B），从而乙胜的概率P（C）1由于P（B）P（C），所以这种游戏规则不公平 4某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4个景点的概率都是0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值（1）求的分布列与数学期望；(2) 记“函数在区间上单调递增”为事件A，求事件A的概率 答案：（1）分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点” 、“客人游览丁景点”为事件,由已知相互独立，且客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3，4;相应的，客人没有
26、游览的景点数的可能取值为4，3，2，1,0.所以的可能取值为0，2,4 所以的分布列为024P0.34560.499201552（2）因为所以函数在区间上单调递增要使在上单调递增，当且仅当即从而 5. 某网站的网络服务器共有3个外网端口，据以往的安全监控分析得知，这3个网络端口各自受黑客入侵的概率为0.1，只要有一个网络端口被入侵都会导致服务器瘫痪，从而导致被迫中断工作. （1）求该服务器中断工作的概率；（2）假设网站有两台相同的服务器，互相独立工作，而网站只要有一台能工作，该网站都能正常运营，求该网站能够正常运营的概率（精确到3个有效数字）. 答案：（1）该服务器继续工作的条件是三个网终络口
27、均未被黑客入侵，其概率为,该服务器中断工作的概率为P2=1P=10.729=0.271.（2）该网站能正常运营的概率法一：P3=C1（10.271）0.271+（10.271）（10.271）=0.9265590.927.法二：只有两台网络服务器都不能工作时，该网站才不能正常运营该网站不能正常运营的概率P=0.2710.271=0.073441该网站能正常运营的概率P3=1P=10.073441=0.9265590.927.6. 已知三个正数满足.(1)若是从中任取的三个数，求能构成三角形三边长的概率；(2)若是从中任取的三个数，求能构成三角形三边长的概率.解:(1)若能构成三角形，则.若时，
28、.共1种；若时.共2种；同理时，有3+1=4种；时，有4+2=6种；时，有5+3+1=9种；时，有6+4+2=12种.于是共有1+2+4+6+9+12=34种.下面求从中任取的三个数()的种数：若，则，有7种；，有6种；，有5种； ，有1种.故共有7+6+5+4+3+2+1=28种.同理，时，有6+5+4+3+2+1=21种；时，有5+4+3+2+1=15种；时，有4+3+2+1=10种；时，有3+2+1=6种；时，有2+1=3种；时，有1种.这时，共有28+21+15+10+6+3+1=84种.能构成三角形的概率为.(2)能构成三角形的充要条件是.在坐标系内画出满足以上条件的区域(如右图阴影
29、部分)，由几何概型的计算方法可知，只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可.又，于是所要求的概率为7. 某电器商城迎店庆进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，可获得奖券一张.每张奖券中奖的概率为，若中奖，则电器城返还顾客现金800元，某顾客购买一台价格为3150元的电视机得到3张奖券.(1)求该顾客实际支出少于标价一半的概率；(2)求该顾客实际支出数学期望.解：（1）该顾客实际支出少于标价一半，即三张奖券中奖2张或3张全中奖，中奖2张的概率为,中奖3张的概率为.所以实际支出少于标价一半的概率为 (2)设表示该顾客3张奖券的中奖数，表示该顾客实际支出的金额数（元），则的所有可能取值为
30、0，1，2，3. , , .0123 的分布列为 答：该顾客实际支出数学期望为2670元. 8. 西安万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金200元. 某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券.（1）求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；（2）求家具城至少返还该顾客现金200元的概率解：（1）家具城恰好返还给该顾客现金200元，即该顾客的三张奖券有且只有一张中奖 （2）设家具城至少返还给该顾客现金200元为事件A，这位顾客的三张奖券有且只有一张中奖为事件，这位顾客有且只有两张中奖为事件，这位
31、顾客有且只有三张中奖为事件，则，、是互斥事件 10. 在灯谜晚会上，猜谜者需猜两条谜语（谜1和谜2），猜谜者对这两条谜语可以按自己选择的先后顺序去猜，如果他决定先猜谜i(i=1,2),则只有当他猜对此谜后才被允许猜另一条谜语，否则就不允许他猜另一谜语了若猜谜者猜对谜i（i=1,2）,则奖xi元，一中一得，设猜谜i（i=1,2）这两件事是互不影响的，试问：（1）他应先猜哪条谜语？（2）若分别为猜中谜1，2的概率），则应先猜哪条谜语？解：（1）设猜中谜i(i=1,2)的概率为Pi(i=1,2);若先猜谜1，则所得奖金的分布列为0P所获奖金的期望E=；若先猜谜2，则所得奖金的分布列为0P所获奖金的期
32、望E=；当E E，即时，先猜谜1；当E E，即时，先猜谜2；当E= E，即=时，先猜谜1和先猜谜2一样（2）由题设可得E=168, E=176,因为E E,所以应先猜谜212某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码答案：（1）记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P（AB）=P（A）P（B）=0.050.05=0.00252008051520080515(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用表示由于事件与互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P（）+P（）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.05(1-0.05)+(1-0.05) 0.05=0.095.