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1、2.1.12.1.1合情推理合情推理 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于的偶数都等于两个奇质数两个奇质数之和之和”即即: :偶数奇质数奇质偶数奇质数奇质数数哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)(Goldbach Conjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于中学教师，也是一位著名的数学家，生于16901690年，年，17251725年当选为俄国彼得堡科学院院士。年当选为俄国彼得堡科学院院士。17421742年，哥年，哥德巴
2、赫在教学中发现，每个不小于德巴赫在教学中发现，每个不小于6 6的偶数都是两的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6 63 33 3，12125 57 7等等。等等。公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫(Goldbach)(Goldbach)写信给当时写信给当时的大数学家欧拉的大数学家欧拉(Euler)(Euler)，提出了以下的猜想，提出了以下的猜想: : (a) (a) 任何一个任何一个=6=6之偶数，都可以表示成两个奇质之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。数之和。 (b) (b) 任何一个任何一个=9=9之奇
3、数，都可以表示成三个奇质之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6 6月月3030日给日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作有
4、成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 : 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等等。有人对等。有人对3333108108以内且大过以内且大过6 6之偶数一一进之偶数一一进行验算，哥德巴赫
5、猜想行验算，哥德巴赫猜想(a)(a)都成立。都成立。但严格但严格的数的数学证明尚待数学家的努力。学证明尚待数学家的努力。歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程： 3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇的偶数都等于两个奇奇数之和奇数之和”即即: :偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数改写为改写为:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 这种由某类事物的
6、部分对象具有某些特征这种由某类事物的部分对象具有某些特征, ,推出该类事物的全部对象都具有这些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理的推理, ,或者由个别事实概栝出一般结论或者由个别事实概栝出一般结论的推理的推理, ,称为称为归纳推理归纳推理.(.(简称简称; ;归纳归纳) )归纳推理的几个特点归纳推理的几个特点; ;1.1.归纳是依据特殊现象推断一般现象归纳是依据特殊现象推断一般现象, ,因而因而, ,由归纳由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围所得的结论超越了前提所包容的范围. .2.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现
7、象属未知的现象, ,因而结论具有猜测性因而结论具有猜测性. .3.3.归纳的前提是特殊的情况归纳的前提是特殊的情况, ,因而归纳是立足于观因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上察、经验和实验的基础之上. .归纳是立足于观察、经验归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分实验和对有限资料分析的基础上析的基础上. .提出带有规律性的结论提出带有规律性的结论. .需证明需证明例例1:1:已知数列已知数列aan n 的第的第1 1项项a a1 1=1=1且且(n=1,2,3 (n=1,2,3 ),),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式. .n nn+1n+1n na aa=a=1
8、 + a1 + a 对有限的资料进行观察、分析、归纳对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；整理； 提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。检验猜想。 归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤：例例: :如图有三根针和套在一根针上的若干金属片如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. . 按下列规则按下列规则, ,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上. . 1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个金属片个金属片; ; 2.2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面. .试推测试推测; ;把把n n
9、个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针, ,最少需要移动多少次最少需要移动多少次? ?解解; ;设设a an n表示移动表示移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数. .当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2= = 3 3123当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2= =4-1=4-1当当n=3n=3时时,a,a3 3= =8-1=8-1当当n=4n=4时时,a,a4 4= =16-1=16-1猜想猜想 a an n= =2 2n n -1-1123=2-137151、据说春秋时代鲁国的公输
10、班（后人称、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子桩倒霉事却使他发明了锯子.鲁班的思路是这样的：鲁班的思路是这样的：茅草是齿形的茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理， 发明了潜水艇发明了潜水艇. 火星火星地球地球相似点相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层
11、、有季节变换、大部绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命地球上有生命火星上可能有生命火星上可能有生命猜想猜想火星上是否有生命？火星上是否有生命？相似点相似点:类比推理的特点类比推理的特点; ;1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性, ,推测正在研究的推测正在研究的事物的属性事物的属性, ,是是以旧有的认识为基础以旧有的认识为基础, ,类比出新的结果类比出新的结果. .2.2.类比是从一种事物的类比是从一种事物的特殊属性特殊属性推测另一种事物的推
12、测另一种事物的特殊属性特殊属性. .3.3.类比的结果是猜测性的类比的结果是猜测性的不一定可靠不一定可靠, ,但它却有发现的功能但它却有发现的功能. .类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤:观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；一致性）； 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；从而得出一个猜想； 检验猜想。检验猜想。 例例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比、试将平面上的圆与空间的球
13、进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合的集合.圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0
14、 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面( (圆面圆面) )的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积与球心距离不相等的两截面面积不相等不相等, ,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为球心为球心, r, r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y
15、y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积3 34 4V = RV = R3 3球的表面积球的表面积2 2S = 4RS = 4R圆的周长圆的周长 S = 2RS = 2R圆的面积圆的面积2 2S =RS =R例例2 类比实数的加法和乘法类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质列出它们相似的运算性质.类比角度类比角度实数的加法实数的加法实数的乘法实数的乘法运算结果运算结果若若a,bR,则则a+bR运算律运算律(交换律和交换律和结合律结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)
16、逆运算逆运算加法的逆运算是减法加法的逆运算是减法,使得使得方程方程a+x=0有唯一解有唯一解x=-a单位元单位元a+0=a若若a,bR,则则abRab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆运算是除法乘法的逆运算是除法,使得使得ax=1有唯一解有唯一解x=1/aa1=a通过例通过例1，例，例2你能得到你能得到类比推理的一般模式类比推理的一般模式吗？吗？类比推理的一般模式类比推理的一般模式:所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）a bab ab ab
17、112233(,) a bab ab ab 112233(,) aaaaR 123(,)()a b ababab 1 12 23 3 a bab ab abR 112233/,() ababa ba b 1 12 23 30若若 ， 则则 aa a a123( , , )bb b b123( , , )abab ab1122(,)1122abab ab(,)aaaR 12(,)()a ba ba b1 122 若若 ， 则则 12aa a (,)bb b12(,)a bab abR 1122/,()aba ba b1 12202212|aaa222123|aaaa空间向量空间向量平面向量平面向
18、量例例4 4：类比平面内直角三角形的勾股定理，：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC =S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想: :PAPBPCPA PB PC例例5 由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关系:PA BPABSPAPBSPA PB PA B CPABCVV PB BA APB BA AC C图图(1)图图(
19、2)例例6.在平面上在平面上,设设ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三条边上的高三条边上的高.P为三角形内任一点为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论我们可以得到结论:试通过类比试通过类比,写出在空间中的类似结论写出在空间中的类似结论.1ccbbaahphphp 平面上平面上 空间中空间中图图形形结结论论1ccbbaahphphp1abcdabcdpppphhhhABCPpapbpcABCDP从具体问从具体问题出发题出发观察、分析观察、分析比较、联想比较、联想归纳归纳类比类比提出提出猜想猜想 先先根据已有的事实，经过观察、分析、根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想比较、联想; ; 再再进行归纳、类比进行归纳、类比; ; 然后然后提出提出猜想的推理猜想的推理. .统称为统称为合情推理合情推理. . “合乎情理合乎情理”, ,数学研究中数学研究中, ,得到一个新结论之前得到一个新结论之前, ,合情合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论推理常常能帮助我们猜测和发现结论; ;证明一个数学结论之证明一个数学结论之前前, ,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向. .