《2022年一元二次方程的概念解法根与判别式的关系根与系数的关系 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年一元二次方程的概念解法根与判别式的关系根与系数的关系 .pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一元二次方程的概念：问题（ 1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是_，宽是 _，根据题意，得：_整理，得： _归纳： （1）只含一个未知数x； （2）最高次数是2 次的；（3）?整式方程因此， 像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理， ?都能化成如下形式ax2+bx+c=0 （a0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax
2、2+bx+c=0 （a0）后，其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数；c 是常数项例 1将方程 3x（x-1）=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项注意 :二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例 2将方程 （ x+1）2+（x-2） （x+2）=?1 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项练习 :判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2(5)
3、 ax2+bx+c=0 例 3求证：关于x 的方程（ m2-8m+17）x2+2mx+1=0 ，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程练习 :一、选择题1在下列方程中，一元二次方程的个数是（） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （ x-2） （ x+5）=x2-1 3x2-5x=0 A1 个B2 个C3 个D4 个2方程 2x2=3（ x-6）化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为（） A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D 2，3，6 3px2-3x+p2-q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（） Ap=1 Bp0 C p0 Dp 为任意实数二、填空题1方
4、程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为 _2一元二次方程的一般形式是_3关于 x 的方程（ a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则a的取值范围是 _三、综合提高题1、a 满足什么条件时，关于x 的方程 a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？2、方程（ 2a4）x22bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？二、一元二次方程的解：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页
5、，共 9 页 - - - - - - - - - 复习：方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 （只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）例 1下面哪些数是方程2x2+10 x+12=0 的根？-4，-3， -2， -1，0，1，2，3， 4例 2.若 x=1 是关于 x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a0)的一个根 ,求代数式2007(a+b+c)的值练习 :关于 x 的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0 的一个根为0,则求 a 的值练习：一、选择题1方程 x（x-1）=2 的两根为（） Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx
6、1=-1，x2=2 2方程 ax（x-b） +（b-x）=0 的根是（） Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2=1aCx1=a，x2=1aDx1=a2，x2=b23已知 x=-1 是方程 ax2+bx+c=0 的根（ b0） ，则acbb=（） A1 B-1 C0 D2 二、填空题1如果 x2-81=0，那么 x2-81=0 的两个根分别是x1=_，x2=_2已知方程5x2+mx-6=0 的一个根是x=3，则 m 的值为 _3方程（ x+1）2+2x（x+1）=0，那么方程的根x1=_；x2=_三、综合提高题如果 x=1 是方程 ax2+bx+3=0 的一个根，求（a-b）2+4ab 的值三
7、、一元二次方程的解法（一）、直接开平方法问题 1填空（1）x2-8x+_= （x-_）2； （2）9x2+12x+_=（ 3x+_）2； （3）x2+px+_= （x+_）2问题 2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？方程 x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=3，如果 x 换元为 2t+1，即（ 2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？例 1：解方程： (1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1 例 2市政府计划2年内将人均住房面积由
8、现在的10m2提高到 14.4m，求每年人均住房面积增长率名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程?这种思想称为“降次转化思想” 由应用直接开平方法解形如x2=p（p0） ，那么 x=p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p0） ，那么 mx+n= p，达到降次转化之目的若p0 则方程无解练习：一、选择题1若 x2-
9、4x+p= （x+q）2，那么 p、q 的值分别是（） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4， q=-2 2方程 3x2+9=0 的根为（） A3 B-3 C 3 D无实数根二、填空题1若 8x2-16=0，则 x 的值是 _2如果方程2（ x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_3如果 a、b 为实数，满足34a+b2-12b+36=0，那么 ab 的值是 _三、综合提高题1解关于 x 的方程（ x+m）2=n2某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m） ，?另三边用木栏围成，木栏长40m（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到20
10、0m 吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？（二） 、配方法1、解下列方程（1）3x2-1=5 （2） 4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7 上面的方程都能化成x2=p 或（ mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=p或 mx+n= p（p0） 如： 4x2+16x+16= （2x+4）2 ,你能把 4x2+16x=-7 化成（ 2x+4）2=9 吗? 2、要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？转化： x2+6x-16=0 移项 x2+6x=16 两边加（ 6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 x
11、2+6x+32=16+9 左边写成平方形式 （x+3）2=?25 ?降次 x+3=5 即 x+3=5 或 x+3=-5 解一次方程 x1=2， x2= -8 可以验证： x1=2，x2= -8 都是方程的根 ,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为 8m. 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法 通过配方使左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1； （ 3）常数项移到右边；名师归纳总结 精品学习资料
12、 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为 (x+p)2=q 的形式，如果q0，方程的根是x=-p q；如果 q0,方程无实根例 1用配方法解下列关于x 的方程（1）x2-8x+1=0 （ 2）x2-2x-12=0 例 2解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3） （1+x）2+2（1+x）-4=0 例 3 求证 :无论 y
13、 取何值时 ,代数式 -3 y2+8y-6 恒小于 0 例 4、用配方法解方程ax2+bx+c=0 （a0）练习：一、选择题1将二次三项式x2-4x+1 配方后得（） A （x-2）2+3 B （x-2）2-3 C （x+2）2+3 D （x+2）2-3 2已知 x2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（） Ax2-8x+ （-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 3如果 mx2+2（3-2m）x+3m-2=0 （m0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（） A1 B-1 C1 或 9 D-1 或 9
14、4配方法解方程2x2-43x-2=0 应把它先变形为（） A （x-13）2=89B （x-23）2=0 C （x-13）2=89D （x-13）2=109二、填空题1方程 x2+4x-5=0 的解是 _2代数式2221xxx的值为 0，则 x 的值为 _3如果 16（x-y ）2+40（x-y） +25=0，那么 x 与 y 的关系是 _三、综合提高题1用配方法解方程（1）9y2-18y-4=0 （2） x2+3=23x 2已知： x2+4x+y2-6y+13=0 ，求222xyxy的值3已知三角形两边长分别为2 和 4，第三边是方程x2-4x+3=0 的解，求这个三角形的周长4、求证： 无
15、论 x、y 取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16 的值总是正数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - （三）公式法由上 例 4 可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的根由方程的系数a、b、 c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 ，当 b2-4ac0 时， ?将 a、b、c 代入式子 x=242bbaca就得到方程的根(公式所出现的运算
16、，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根例 1用公式法解下列方程（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-2x+ 12=0 例 2某数学兴趣小组对关于x 的方程（ m+1）22mx+（m-2）x-1=0 提出了下列问题若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程应用公式法解一元二次方程的步骤: 1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0.
17、2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算 b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。练习：一、选择题1用公式法解方程4x2-12x=3，得到（） Ax=362Bx=362Cx=32 32Dx=32322方程2x2+43x+62=0 的根是（） Ax1=2， x2=3Bx1=6，x2=2Cx1=22，x2=2Dx1=x2=-63 （m2-n2） （m2-n2-2）-8=0，则 m2-n2的值是（） A4 B-2 C 4 或-2 D-4 或 2 二、填空题1一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的求根公式是_，条件是 _2当 x=_时，代
18、数式x2-8x+12 的值是 -43若关于x 的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0 有一根为0，则 m 的值是 _三、综合提高题1用公式法解关于x 的方程： x2-2ax-b2+a2=0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2设 x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的两根，（1）试推导x1+x2=-ba， x1 x2=ca； （2）?求代数式 a（x13+x23）+b
19、（x12+x22）+c（x1+x2）的值四、根与判别式的关系根与系数的关系1. 一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的根的判别式b2-4ac 当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 0 时，方程有两个相等的实数根，当 0 时，方程没有实数根 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0) 的两个根是x1，x2，那么abxx21，acxx21 (2)如果方程x2+px+q=0 的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-p， x1x2=q(3) 以 x1， x2为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是 x2-(x1+x2)x+
20、x1x2=0例 1、如果关于x 的方程 2x2 (4k+1)x 2 k21 0 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是例 2、设 x1，x2是方程 2x26x 30 的两根，求x12 x22的值已知 x1，x2是方程 2x27x40 的两根，则x1x2，x1x2，（ x1 x2）2若关于 x 的方程 (m22)x2(m 2)x 10 的两个根互为倒数，则m 例 3、以方程 x22x 30 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是例 4、已知21, xx是关于 x 的方程01442kkxkx的两实根。 (1)是否存在实数k，使23222121xxxx成立？若存在，求出k 的值； 若不存在，请说
21、明理由；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - （2）求使21221xxxx的值为整数的实数k 的整数值练习 1、m取什么值时，方程2x2(4m+1)x+2m21=0 有两个不相等的实数根，（ 2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根2、已知、是方程01522xx的二根，求的值。3、已知 m 、n是方程 x24x+1=0的两个实数根,求代数式 2m2+4n2 8n+1的值 . 4、已知关于x 的方程01
22、32kxxk。（1）求证：不论k 取何值，方程总有实数根；（2）当 k=4 时，设该方程的两个实数根为、，求作以1122和1122为根的一元二次方程。龙文教育课后作业1、当 m为何值时 , 方程 (m+1)x4m-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程2、关于 x 的方程（ 2m2+m ）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？为什么？3、下列方程中，一定有实数解的是（） 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - -
23、 - - - Ax2+1=0 B （2x+1）2=0 C （2x+1）2+3=0 D （12x-a ）2=a 4、已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0 ，则 x+y+z 的值是（） A1 B2 C -1 D-2 5、已知（ x+y） （x+y+2）-8=0 ，求 x+y 的值，若设x+y=z，则原方程可变为_，?所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为 _6、如果关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1 必是该方程的一个根7、如果 x2-4x+y2+6y+2z+13=0，求（ xy）z的值8、求证：方程 (
24、m2+1)x22mx+(m2+4)=0 没有实数根9、设 x1,x2是方程 2x26x+3=0 的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 1x11x210、已知：关于x 的方程042bbxx有两个相等的实根，21, yy是关于 y 的方程0422yby的两实根，求以21,yy为根的一元二次方程。11、已知实数a、b 满足bbaa22,2222，且 ab，求abba的值。12、已知：0125 ,05222qqpp，其中 p、q 这实数，求221qp的值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 13、已知：关于x 的方程031222mxmx。（1）当 m 取何值时，方程有两个相等的实数根？（2）设方程的两实根分别为21, xx，当01221221xxxx时，求 m 的值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -