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1、切线证明法切线的性质定理 : 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点切线的性质定理的推论: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线长定理 : 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。一、要证明某直线是圆的切线， 如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径【例 1】如图 1，已知 AB 为O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上， BDOB，点 C 在圆上， CAB30o 求证： DC 是O 的切线思路
2、：要想证明DC 是O 的切线，只要我们连接OC，证明 OCD90o即可证明：连接 OC，BCAB 为O 的直径， ACB90o CAB30o ，BC21ABOBBDOB，BC21OD OCD90o DC 是O 的切线【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“ 经过半径的外端 ” 和“ 垂直于这条半径 ” 这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线【例 2】如图 2，已知 AB为O 的直径，过点 B 作O 的切线 BC，连接 OC，弦 ADOC求证： CD 是O 的切线思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线 也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆
3、的切线的判定定理欲证明CD 是O 的切线，只要证明ODC90o即可证明：连接 ODOCAD， 13，24图 1 O A B C D O A B C D 图 2 2 3 4 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - OAOD， 12 34又OBOD，OCOC，OBCODC OBCODCBC 是O 的切线， OBC90o ODC90o DC 是O 的切线【例 3】如图 2，已知 AB 为O 的直径， C 为O 上一点，AD
4、 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为D求证： AC 平分 DAB思路：利用圆的切线的性质与圆的切线垂直于过切点的半径证明：连接 OCCD 是O 的切线， OCCDADCD，OCAD 12OCOA， 13 23AC 平分 DAB【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的 在解决有关圆的切线问题时， 辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径， 那么半径垂直切线【例 4】如图 1，B、C 是O 上的点，线段 AB 经过圆心 O，连接 AC、BC，过点 C 作 CDAB 于 D，ACD=2BAC 是O 的切线吗？为什么？解：AC 是O 的切线理由：连接 OC，OC=OB，OCB=BCOD
5、是BOC 的外角，COD=OCB+B=2BACD=2B，ACD=CODCDAB 于 D，DCO+COD=90 DCO+ACD=90 即 OCACC 为 O 上的点，AC 是O 的切线【例 5】如图 2，已知是 ABC 的外接圆， AB 是的直径， D 是 AB的延长线上的一点， AEDC 交 DC 的延长线于点 E，且 AC 平分 EAB求证：DE 是O 的切线图 3 O A B C D 2 3 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - -
6、- - - - - 证明：连接 OC，则 OA=OC，CAO=ACO，AC 平分 EAB，EAC=CAO=AC，AECO，又 AEDE，CODE，DE 是O 的切线二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例 6】如图 3，AB=AC ，OB=OC，O 与 AB 边相切于点 D证明:连接 OD，作 OEAC，垂足为 EAB=AC, OB=OCAO为BAC角平分线， DAO= EAO O 与 AB 相切于点 D，BDO=CEO=90 AO=AOADOAEO，所以 OE=ODOD 是O 的半径， OE 是O 的半径O 与 AC 边相切【例 7】 如图，在
7、ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的 O 交 BC 于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交OD 延长线于 F. 求证： EF与O 相切. 证明： 连结 OE，AD. AB 是O 的直径，ADBC. 又AB=BC，3=4. BD=DE，1=2. 又OB=OE，OF=OF，BOFEOF（SAS）. OBF=OEF. BF 与O 相切，OBBF. OEF=900. EF 与O 相切. 说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3
8、页，共 8 页 - - - - - - - - - 【例 8】如图， AD 是 BAC 的平分线， P 为 BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证： PA与O 相切. 证明一： 作直径 AE，连结 EC. AD 是BAC 的平分线，DAB=DAC. PA=PD，2=1+DAC. 2=B+DAB ， 1=B. 又 B=E，1=E AE 是O 的直径，ACEC，E+EAC=900. 1+EAC=900. 即 OAPA. PA与O 相切. 证明二：延长 AD 交O 于 E，连结 OA，OE. AD 是BAC 的平分线，BE=CE，OEBC. E+BDE=900. OA=OE，E=1. PA=PD，
9、PAD=PDA. 又 PDA=BDE, 1+PAD=900即 OAPA. PA与O 相切说明： 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 【例 9】如图， AB=AC ，AB 是O 的直径， O 交 BC 于 D，DMAC 于 M 求证： DM 与O 相切. 证明一： 连结 OD. AB=AC ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - B=C. OB=OD，1=B. 1=C. ODAC. DMAC
10、，DMOD. DM 与O 相切证明二： 连结 OD，AD. AB 是O 的直径，ADBC. 又AB=AC, 1=2. DMAC，2+4=900OA=OD，1=3. 3+4=900. 即 ODDM. DM 是O 的切线说明： 证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知. 【例 10】 如图，已知： AB 是O 的直径，点 C 在O 上，且 CAB=300，BD=OB，D 在 AB 的延长线上 . 求证： DC 是O 的切线证明： 连结 OC、BC. OA=OC，A=1=300. BOC=A+1=600. D C 名师资料总结 - - -精品
11、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 又OC=OB，OBC 是等边三角形 . OB=BC. OB=BD，OB=BC=BD. OCCD. DC 是O 的切线 . 说明： 此题解法颇多，但这种方法较好. 【例 12】如图，AB 是O 的直径， CDAB，且 OA2=ODOP. 求证： PC是O 的切线 . 证明： 连结 OC OA2=ODOP，OA=OC，OC2=ODOP，OCOPODOC. 又 1=1，OCPODC. OCP=ODC. CDAB，O
12、CP=900. PC 是O 的切线 . 说明： 此题是通过证三角形相似证明垂直的【例 13】 如图，ABCD 是正方形， G 是 BC 延长线上一点， AG 交 BD 于 E，交 CD 于 F. 求证： CE 与CFG 的外接圆相切 . 分析： 此题图上没有画出 CFG 的外接圆，但 CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点，为此我们取FG 的中点 O，连结 OC，证明 CEOC 即可得解. 证明： 取 FG 中点 O，连结 OC. ABCD 是正方形，D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
13、- - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - BCCD，CFG 是 RtO 是 FG 的中点，O 是 RtCFG 的外心 . OC=OG，3=G，ADBC，G=4. AD=CD，DE=DE，ADE=CDE=450，ADECDE（SAS）4=1，1=3. 2+3=900, 1+2=900. 即 CEOC. CE 与CFG 的外接圆相切二、若直线 l 与 O 没有已知的公共点，又要证明l 是O 的切线，只需作OAl，A 为垂足，证明 OA 是O 的半径就行了，简称： “作垂直；证半径”【例 14】 如图， AB=AC ，D 为 BC 中点， D 与 AB 切于
14、 E 点. 求证： AC 与D 相切. 证明一： 连结 DE，作 DFAC，F 是垂足 . AB 是D 的切线，DEAB. DFAC，DEB=DFC=900. AB=AC ，B=C. 又BD=CD，BDECDF（AAS）DF=DE. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - F 在D 上. AC 是D 的切线证明二： 连结 DE，AD，作 DFAC，F 是垂足AB 与D 相切，DEAB. AB=AC ，BD=CD，1=2.
15、 DEAB，DFAC，DE=DF. F 在D 上. AC 与D 相切. 说明： 证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明 DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关. 【例 15】已知：如图， AC， BD 与O 切于 A、 B， 且 ACBD， 若COD=900. 求证： CD 是O 的切线. 证明： 连结 OA，OB，作 OECD 于 E，延长 DO 交 CA 延长线于 F. AC，BD 与O 相切，ACOA，BDOB. ACBD，F=BDO. 又OA=OB，AOFBOD（AAS ）OF=OD. COD=900，CF=CD，1=2. 又OAAC，OECD，OE=OA. E 点在 O 上. CD 是O 的切线 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -