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1、一轮分层练案（四）基本不等式及其应用A级基础达标1 .以下不等式中，正确的选项是（）4A. a+一 24B. a2+b24abaC. -/ab ?a.bD. X2+A 22小，X4【答案】D a0,那么a+二24不成立，故A错；a=l, b=l, a2+b24ab,故B错， a, a ba=4, b= 16,那么，而0, y0,贝1J ux + 2y = 2/2xy ”的一个充分不必要条件是（）A. x = yB. x = 2yC. x = 2 且 y=lD. x = y 或 y=l【答案】C Vx0, y0, .x + 2y2隹8 ，当且仅当x = 2y时取等号.故x = 2且y=l ”是x
2、 + 2y = 2吸药”的一个充分不必要条件.应选C.3.假设实数x, y满足xy + 6x=4（0x|）,那么:+的最小值为（）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B实数x, y满足xy+6x=4（0x。，411441那么7 *y =丫+6+, 22 + 6 = 8,当且仅当y= 1, x=时取等号.+的最小值 为8.4.不等式（x+y）&+29对任意正实数x, y恒成立,那么正实数a的最小值为（）A. 2B. 4D. 8C. 6【答案】B不等式（x+y）（：+j） 29对任意正实数x, y恒成立，那么（x+y）（：+j） 2（1 +Va当且仅当y=/a x时，取等号，22,即a24
3、,故正实数a的最小值为4.5 .几何原本卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理 问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之 为无字证明.现有如下图图形，点F在半圆0上，点C在直径AB上，且OFJ_AB,设O C BO C BAC = a, BC=b,那么该图形可以完成的无字证明为（）A.a+bB. ax2 I- 6i= lnx+记q为负值，最小值不是2,不符合题意；对于C, 丫=许=衍+许设t= yJx2+5，那么小，因为y=t+； （t小）时为增函数，那么y2 y5其最小值不是2,不符合题意；对于D, y=4x+4*x=4x+
4、22号 =2,当且仅当 x = o时取等号，其最小值为2,符合题意.应选A、D. 7.（多项选择）假设x2y,那么以下不等式中正确的选项是（）+b22-/ab (a0, b0)C.C.2aba+b(a0, b0)b=a-b2D.D.a+b /a2+b2W 2-(a，b0)a -ba -F b【答案】D 由AC = a, BC = b,可得圆O的半径r=一厂，又OC = OB BC=fa2+b2=2?(ab) 2(a+b) 2那么FC2=OC2+OF2=4 +4a+b /a2+b2再根据题图知FOWFC,即W ,当且仅当a=b时取等号.应选D.6 .（多项选择）以下四个函数中，最小值为2的是（）
5、A, 丫 = 5屋+看（ovxw5）B.B.(x0, xWl)x2+6D. y=4x+4【答案】AD 对于A,因为OvxWf ,所以OvsinxWl, y = sin x+-22,当且仅 /sin x当sin 一,即sin x= 1时取等号，符合题意；对于B,当0xvl时，In xx2y时，X： 不成立，故B错误；当02x2y时，x22y2不成立，故C错误；x2+y22xy = (x y)20 成立，即 x2+y22xy 成立，故 D 正确.8.(多项选择)假设a, b, cR,且ab + bc+ca=l,那么以下不等式成立的是()A. a+b+cW小B. (a+b+c)23C. +r +,
6、N2小D. a2+b2+c2la b c v【答案】BD 由基本不等式可得a2+b222ab, b2+c22bc, c2 + a22ca,上述三个不等式全部相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca) = 2, /.a2+b2+c2 1,当且 仅当a=b = c时，等号成立，A(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3,:a+b+cW小 或 a+b+c 小 ，假设 a=b=c=-W ,那么:+ +： =-3# 0,故182/25 = 8,当且仅当x = 5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8 万元.B级综合应用11 .假设 a0, b0, l
7、ga+lgb = lg(a+b),那么 a+b 的最小值为()A. 8A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C 由 1g a+lg b = lg (a+b),得 1g (ab) = lg (a+b),即 ab = a+b,那么有! = 1, -a D所以 a+b=(：+ (a+b)=2+ + 2+2, =4,当且仅当 a=b=2 时等号 成立，所以a+b的最小值为4.应选C.12 .假设向量 m = (a1, 2), n = (4, b),且m_Ln, a0, b0,那么 loga+log3( 有( )A.最大值log3B.最小值log32C.最大值loggD.最小值0【答案】B 由mJ_n
8、,得mn=0,即4(al)+2b=0,A2a+b=2, .2226而，.abW；（当且仅当2a=b时，等号成立）.又 log扪+log3/ =log| a+log| b = log| ablog1| =log32,故 log方 a+log31故 log方 a+log31有最小值为log32.13 .（多项选择）如下图，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2 km,从P点沿海 岸正东12 km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h,步行的速度为5 km/h,时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设11=山2+4 +x
9、, v= 42 + 4 X,那么( )城髻2A1u +36=44,当且仅当u=,即u=4时取等号,由1x2+4 +x=4,解得 x =3y =1.5, C 正确;2# , 8-x=4 时，t=U- +5 , t3 =25 71冲2115150, t3, D 错误.应选A、C.14 .假设a0, b0,且a+2b-4=0,那么ab的最大值为解析：Va0, b0,且 a+2b4=0, Aa+2b=4,2=2,2=2,A ab= a 2bW J X当且仅当a=2b,即a=2, b=l时等号成立,Aab的最大值为2.a+2b _14=45 +【答案】2ba+U =G+b9-415.函数f(x) =x2
10、+ax+11x+1(aR),假设对于任意的xN f(x)23恒成立，求a的取值范围.x2+ax+11/解：对任意xN+, f(x)23,即口一 23恒成立，即aN x+q +3.Xi 1 X，Qo设 g(x) = x+： , xN+,那么 g(x) = x+： 24也, AA当且仅当x = 2位 时等号成立，1717/8、Q又 g(2)=6, g(3)=y , Vg(2)g(3), Ag(x)min=y，卜+0 +3.一，OO二a一g ,故a的取值范围是 一Q, +8).C级迁移创新16.a+b+c = 3,且a, b, c都是正数.1 i 13(1)求证：f； +H +-；a+b b + c c + a 2(2)是否存在实数m,使得关于x的不等式一x2+mx + 2Wa2+b?+c2对所有满足题设条 件的正实数a, b, c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：(1)证明：因为a+b+c=3,且a, b, c都是正数，所以士 +2 +2a+b b+c c + a13(当且仅当a=b = c= 1时，取等号)，所以32 + b2 + c2)min = 3,由题意得一x2+mx + 2W3恒成立，即得X2mx+1 20恒成立，因此 A = m24W00一2WmW2.故存在实数m 2, 2使不等式成立.