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1、模型07曲线运动(1)-备战2023年高考案头必备模型+典例+方法+练习曲线运动2运用运动的独立性模型4小船过河模型9牵连速度模型12圆周运动14传动模型14能与河岸垂直,只有当合速度V方向越接近垂直河岸方向,即a角越大,船漂下的距离x越短,航程越短。那么,在什么 条件下a角最大呢?以v水的矢尖为圆心,v船为半径画圆,当v与圆相切时,a角最大,此 时渡河的最短位移:d _ 彩衣COSeU船【典例】一小船渡河,河宽例=180m,水流速度也=2.5m/s.假设船在静水中的速度为U2=5m/s,欲使船在最短的时间内渡河,船头应朝什么方向?用 多长时间?位移是多少?假设船在静水中的速度为吸=5 m/s
2、,欲使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向?用多长 时间?位移是多少?(3)假设船在静水中的速度为限=1.5 m/s,欲使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向?用多 长时间?位移是多少?【答案】船头垂直于河岸36 s; 9075 01(2)船头与上游河岸成60。角;245/3 s; 180 m(3)船头与上游河岸成53。角;150 s; 300 m【解析】将船实际的速度(合速度)分解为垂直于河岸方向和平行于河岸方向的两个分速度, 垂直于河岸的分速度影响渡河的时间,而平行于河岸的分速度只影响船在平行于河岸方向的 位移.(1)假设也= 5m/s,欲使船在最短时间内渡河,船头应垂直于河岸方向,如图甲所示
3、,合速度 为倾斜方向,垂直于河岸的分速度为吸=5 m/s.0甲d d 180“t = = =s - 36s匕.5(2)假设以=5m/s,欲使船渡河的航程最短,合速度应沿垂直于河岸方向,船头应朝图乙中的直方向.垂直于河岸过河那么要求丫 = 0,有侬而。=也,得。=30。.所以当船头与上游河岸成60。角时航程最短.Ix=180 md d 180 rrt = = = -s = 24j3sV v2 COS 305 rr(3)假设电=L5m/s,与(2)中不同,因为船速小于水速,所以船一定向下游漂移,设合速度方向与河岸下游方向夹角为处那么航程.欲使航程最短,需。最大,如图丙所示,由 sin a出发点A作
4、出以矢量,以vi矢量末端为圆心,以大小为半径作圆,A点与圆周上某点的连线为合速度方向,欲使u合与河岸下游方向的夹角最大,应使u合与圆相切,即u合,以/、丙v? 3由 sina= = =匚,得。= 37 匕5所以船头应朝与上游河岸成53。角方向.v2 cos a 1.2 5 = 1505u 合= uicos a=2 m/sx=u合,=300 m.【名师点拨】解决此题的关键知道合运动与分运动具有等时性,当静水速与河岸垂直,渡河 时间最短;当合速度与河岸垂直,渡河航程最短.小船过河问题属于运动的合成问题,要明 确分运动的等时性、独立性,运用分解的思想,看过河时间只分析垂直河岸的速度,船航行 时速度为
5、静水中的速度与河水流速二者合速度,使用平行四边形法那么求合速度.【练习11小河宽为d,河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比,喋=kx, %x是各点到近岸的距离,小船船头垂直河岸渡河,小船划水速度为h,那么以下说法中正确的选项是()A.小船渡河的轨迹为曲线j_B.小船到达离河岸5处,船渡河的速度为后照C.小船渡河时的轨迹为直线D.小船到达离河岸3d/4处,船的渡河速度为【练习2】宽9nl的成型玻璃以2m/s的速度连续不断地向前行进,在切割工序处,金刚割刀 的速度为10m/s,为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形,贝(J:(1)金刚割刀的轨道应如何控制?(2)切割一次的时间多长?(
6、3)所生产的玻璃板的规格是怎样的?牵连速度模型【模型】指物拉绳(杆)或绳(杆)拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的,杆都是 不可伸长和压缩的,即绳或杆的长度不会改变,所以解题原那么是:把物体的实际速度分解为 垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)方向的分速度大小相同求解。 合速度方向:物体实际运动方向分速度方向:沿绳(杆)伸(缩)方向:使绳(杆)伸(缩)垂直于绳(杆)方向:使绳(杆)转动速度投影定理:不可伸长的杆或绳,假设各点速度不同,各点速度沿绳方向的投影相同。这类问题也叫做:斜拉船的问题一一有转动分速度的问题【方法】(1)假设由绳(杆)连接的两运动物体的运动方向沿绳(杆
7、)方向,那么两物体速度大小相等假设物体运动方向不沿绳(杆)方向,将其速度分解到沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向,再参考 上一条.【典例】人用绳子通过定滑轮拉物体A, A穿在光滑的竖直杆上,当人以速度0竖直向下匀 速拉绳使质量为m物体A到达如下图位置时,此时绳与竖直杆的夹角为。那么物体A的 动能为()A.叫b.叫2 cos2。2 tai?。C. imvD,imVo - sin2 0【答案】A【解析】【解析】将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向,如上图所示。拉绳子的速度等于A沿绳子方向的分速度,根据平行四边形定那么得,实际速度% =一 cose根据 Er = mv2代入计算得到Ek =代入计
8、算得到Ek =mv22cos2 0故A正确,BCD错误。应选A。【名师点拨】物体的实际运动就是合运动【练习1】如下图,A、5两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端,当A物体以速C.C.度u向左运动时,系A、8的绳分别与水平方向成30。、60。角,此时3物体的速度大小为()A. V30练4A. V30练4B.D.小团3【练习2如下图,套在竖直细杆上的轻环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物5相 连,施加外力让A沿杆以速度u匀速上升,从图中位置上升至与定滑轮的连线处于水平N位置,A。与竖直杆成回角,贝U:A.刚开始时B的速度为七 cos团B. A匀速上升时,重物3也匀速下降C.重物8下降过程,绳
9、对8的拉力大于5的重力D.A运动到位置N时,8的速度最大周运动【模型】圆周运动是指在物理学中运动轨迹为圆或圆的一局部的一种运动。圆周运动是一种最常见的曲线运动。例如电动机转子、车轮、皮带轮等都作圆周运动。圆周 运动分为,匀速圆周运动和变速圆周运动(如:竖直平面内绳/杆转动小球、竖直平面内的 圆锥摆运动)。在圆周运动中,最常见和最简单的是匀速圆周运动(因为速度是矢量,所以 匀速圆周运动实际上是指匀速率圆周运动)。传动模型【模型】是指机械之间的动力传递。也可以说将机械动力通过中间媒介传递给终端设备,这 种传动方式包括链条传动、摩擦传动、齿轮传动以及皮带式传动等。【方法】1、皮带传动:如下图甲、乙所
10、示,皮带与两轮之间无相对滑动时、两轮边缘线速度大小 相等,即办=办.甲乙2、摩擦传动和齿轮传动:如下图甲、乙所示,两轮边缘接触,接触点无打滑现象时,两 轮边缘线速度大小相等,即办=办.甲乙3、同轴转动:如下图甲、乙所示,绕同一转轴转动的物体,角速度相同,COAf,由。 cor知。与广成正比.【典例1】【皮带传动】一台机器由电动机通过传送带传动,且机器皮带轮的半径机器皮带 轮是电动机皮带轮半径的3倍,如下图、皮带与两轮之间不打滑,机器皮带轮边缘上 的A点到转轴的距离为该轮半径的一半.以下说法正确的选项是()A.机器皮带轮上A点的线速度大小与电动机皮带轮边缘某点的线速度大小之比为3: 1B.电动机
11、皮带轮的转速与机器皮带轮的转速之比为3: 1C.机器皮带轮上A点的向心加速度大小与机器皮带轮边缘某点的向心加速度大小之比为1:4 D.机器皮带轮上A点的向心加速度大小与电动机皮带轮边缘某点的向心加速度大小之比1: 6【答案】BD【解析】A项:因电动机和机器由同一皮带连接,所以它们边缘线速度相等,A点的角速度 与机器皮带轮边缘的角速度相等,所以A的线速度为机器皮带轮边缘线速度的一半,所以 机器皮带轮上A点的线速度大小与电动机皮带轮边缘某点的线速度大小之比为1: 2,故A错误;B项:因电动机和机器由同一皮带连接,所以它们边缘线速度相等,由公式u = 得:vn = ,所以电动机皮带轮的转速与机器皮带
12、轮的转速之比为3: 1,故B正确; 2乃厂C项:A点的角速度与机器皮带轮边缘的角速度相等,由公式.=勿2,所以向心加速度之比等于半径之比即为1: 2,故C错误;D项:因电动机和机器由同一皮带连接,所以它们边缘线速度相等,由公式。二匕 可知, 机器皮带轮边缘某点的向心加速度与电动机皮带轮边缘某点的向心加速度之比为L 3,综合C可知,机器皮带轮上A点的向心加速度大小与电动机皮带轮边缘某点的向心加速度大小 之比为1: 6,故D正确.【典例2【摩擦传动和齿轮传动】(多项选择)(2019 辽宁省丹东市质检)在如下图的齿轮传 动中,三个齿轮的半径之比为2 : 3 : 6,当齿轮转动的时候,关于小齿轮边缘的
13、力点和大齿 轮边缘的夕点,()A. 1点和8点的线速度大小之比为1 : 1点和8点的角速度之比为1 : 1C.力点和夕点的角速度之比为3 : 1D.以上三个选项只有一个是正确的【答案】AC【解析】 题图中三个齿轮边缘线速度相等,力点和夕点的线速度大小之比为1 : 1,由。= 3T可得,线速度一定时,角速度与半径成反比,力点和夕点角速度之比为3 : 1,选项A、C 正确,选项B、D错误.A.邓 rad/s【典例3】【同轴转动】如下图,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角 速度。转动,盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止.物体与盘面 间的动摩擦因数为点(设最大静
14、摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面的夹角为30。,g取 10 m/s2.那么co的最大值是()B.小 rad/sC. 1.0 rad/sD. 0.5 rad/s【答案】C【解析】当小物体转动到最低点时为临界点,由牛顿第二定律知,侬cos300 mgsin 302=m3 r解得3 = 1.0 rad/s,应选项C正确.【练习I如下图,轮。、a固定在同一转轴上,轮。、a用皮带连接且不打滑.在。、 6、a三个轮的边缘各取一点4B、C,三个轮的半径之比八:备:八=2 : 1 : 1,求:(DA B、。三点的线速度大小之比。:VB: VC;(2)A B、。三点的角速度大小之比 孙:如:3c;(3) A
15、 B、。三点的向心加速度大小之比品:麴:女.【练习2】如下图,压路机后轮半径是前轮半径的3倍,48分别为前轮和后轮边缘上 的一点,C为后轮上的一点,它离后轮轴心的距离是后轮半径的一半,那么A、B、C三点的 角速度之比为:B : g=,线速度之比为“:VB : Vc =,向心加速度之比为a aa b比为a aa b【练习3】如下图,一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径yl.Ocm的摩擦小 轮,小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时,因摩擦而带动小轮转动,从而为发电机 提供动力。自行车车轮的半径Ri=35cm,小齿轮的半径/?2=4.0cm,大齿轮的半径/?3=10.0cmo求大齿轮的转
16、速小和摩擦小轮的转速小之比。(假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动)大齿轮链条摩擦小轮小发电机车轮小齿轮曲线运动【模型】1、定义:运动轨迹为曲线的运动。2、物体做曲线运动的方向:做曲线运动的物体,速度方向始终在轨迹的切线方向上,即某一点的瞬时速度的方向,就 是通过该点的曲线的切线方向。3、曲线运动的性质由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向,又由于曲线运动的轨迹是曲线,所以曲线运动的 速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定,由于其方向不断变化,所以说:曲线运动一 定是变速运动。由于曲线运动速度一定是变化的,至少其方向总是不断变化的,所以,做曲线运动的物体的 加速度必不为零,所受到的合外力必不为
17、零。4、物体做曲线运动的条件(1)物体做一般曲线运动的条件物体所受合外力(加速度)的方向与物体的速度方向不在一条直线上。(2)物体做平抛运动的条件物体只受重力,初速度方向为水平方向。(3)物体做匀速圆周运动的条件物体受到的合外力大小不变,方向始终垂直于速度方向,且合外力方向始终在同一个平面内(即在物体圆周运动的轨道平面内)(4)任何做曲线运动的物体所受的合外力,一定指向曲线凹的一侧。轨迹、速度方向和合力的位置关系。推广到物体做类平抛运动的条件:物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。5、分类匀变速曲线运动:物体在恒力作用下所做的曲线运动,如平抛运动。非匀变速曲线运动:物体在变力(大小变、方向
18、变或两者均变)作用下所做的曲线运动,如圆周运动。【典例】(2022湖南卷T5) 2022年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边,有一根系有 飘带的风力指示杆,教练员根据飘带的形态提示运发动现场风力的情况。假设飘带可视为粗细 一致的匀质长绳,其所处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变。当飘带稳定时, 飘带实际形态最接近的是( )【解析】飘带上任意选取一点P,以P点及夕点以下的局部飘带为研究对象,设飘带总长心飘带宽度为律质量为m, P点距离飘带下端距离x, P点以下的局部飘带受到的重力与风力分别为G,二x, F = kxdv2LF kvdL那么重力与风力的的合力与水平方向的夹角为tan9 =
19、 U =Gx mg根据题中数据可得,tan夕恒定,那么P点以下的局部飘带的受到的重力与风力的合力方向不 变,那么P点上方飘带对其拉力方向不变。应选A。【练习1 (2022浙江6月卷T2)以下说法正确的选项是()A.链球做匀速圆周运动过程中加速度不变B足球下落过程中惯性不随速度增大而增大C.乒乓球被击打过程中受到的作用力大小不变D.篮球飞行过程中受到空气阻力的方向与速度方向无关【练习2】质点仅在恒力F的作用下,由。点运动到八点的轨迹如下图,在4点时速度的 方向与x轴平行,那么恒力F的方向可能沿()x轴正方向A. x轴负方向y轴正方向B. y轴负方向运用运动的独立性模型【典例1】如下图,斜面固定,
20、一个劈形物体各面均光滑,上面成水平,水平面上放 一光滑小球,现使劈形物体从静止开始释放,那么小球在碰到斜面前的运动轨迹是(斜面足 够长)()A.沿斜面向下的直线B.竖直向下的直线C.无规那么曲线D.抛物线【解析】B小球只受竖直方向的重力和支持力,即合力始终沿竖直方向,故小球只能做竖 直向下的直线运动,所以B正确.【典例2】当初速度与合力方向相同或相反时,物体做匀加速或匀减速运动;当初速度 与合力方向垂直时,物体做平抛或类平抛运动;当成一定夹角时,夹角不为90。时物体做 什么运动呢?方法一:分解力。先求解速度和位移。把力分解为垂直速度方向和沿速度方向,如图所Feos。示。其中沿V。方向物体做初速
21、度为V。、加速度为匀mFsin 0加速运动;垂直V。方向做初速度为0、加速度为的加mpCOS。速运动。经过时间t,沿Vo方向速度v=Vo+1 ,位移m1 Feos 9 2S = Vot+X1 ;2 mFsin。1 Fsin。9垂直V。方向速度1,位移SLxt2om2 m那么经过 t 物体的速度(也就是 v 、 V工的合速度)7/ Feos 0、2 / Fsin 0 7 下.八位v = a/v) + v1 = (v()+1)+()- ,不做化间;V mm物体的位移(也就是S、S_l的合速度)1 Feos 9Vt+2X m2、2 Z 1 Fsin 0 2x2t2)2+(-x12)2 ,2 m不做化
22、简。再求轨迹方程。如图,以Vo方向建立X轴,垂直Vo方向沿Fsin。方向建立y轴。.,.1 Feos。2 c由 以上 X=S/=Vot+ x1 2 m1 Fsin。2y=s= x1 2 m由式得出t =二二,将此式代入式消去t即可得y-x的关系式,也就是物体的 Fsin 9运动轨迹,不做化简。方法二:分解初速度。如图把初速度分为垂直合力F、沿着合力F的方向。其中沿F方F向物体做初速度为Vocos o ,加速度为一匀加速运动;垂直F方向物体做速度为Vosin 0的 m匀速直线运动。物体的合运动由这两个分运动合成。求物体经过时间t的速度、位移、轨迹与方法一完全类似,不做赘述。方法三:把速度和力均分
23、解到已经任意指定互相垂直的的两个 方向x、y,如下图,F与x轴成Q角。vo在x轴、y轴的分速度分 别为 vx=vocos ( a - 9 )、vy=-vosin ( a -。),负号表示沿 y 轴负 方向。F在x轴、y轴的分力分别为Fx=Feos a、Fy=Fsin a ,那么在xF轴方向上,物体做初速度为Vx、加速度为,的匀加速直线运动;mF在y轴方向上,物体做初速度为V、,、加速度为,的匀减速直线运动。把这两个方向经过时 m间t的速度、位移合成,即可得到物体在经过时间t的速度、位移的大小和方。写出物体经 过时间t的物体X轴位移大小、y轴位移大小,消去时间t即可得物体在此坐标系中的轨迹 方程
24、,不再赘述。方法四:力和速度均不做分解,物体沿F方向做初F速度为零、加速度为一匀加速运动;沿V。方向做速度 m为V。的匀速直线运动。物体的合速度、合位移均可由这两个方向的速度、位移合成。下面来求合速度。经过时F间t,物体沿F方向速度为一t,沿V。方向速度为仍为 mVo,两速度夹角为0,如下图。在平行四边形OACB中,Z0BC= n - 0 , 0C边即为合速度的大小与方向。(3)2 + Vo - Vi由余弦定理COSW-0) 二,即可解出v合(这里不做求解),也就是经r2 x-t x v0m过时间t物体的速度。合速度的方向可用cosZCOA表示(也与0有关),可求出0C后再用余弦定理求出cos
25、ZCOAo如下图,中,物体的合位移的大小也可采用余弦定理求解,222C0S(JT.)=S +S2-S介,不作化简。之后再建 2xSj xs2立合适坐标系求出物体运动的轨迹方程(原那么 上怎么建坐标系均可求出物体的轨迹方程,只是烦简程度不同,此处不赘述)。以上都是以 假设合力与速度夹角0 0 90来讨论的,假设90 o 180求法与0 o 90类 似,不做赘述。方法四缺点是需要解斜三角形,会用到正余弦定理,比拟麻烦。【名师点拨】在做题中合适地选择方法,假设合力与初速度刚好垂直(比方平抛运动), 用方法一、方法二较好。假设题目想研究某个方向的运动,就选择沿着这个方向、垂直这个方 向建立坐标系研究物
26、体的运动,此时用方法三较好。假设题目想研究合速度、合位移,选择方 法四较好。注:对物体地运动分解后,各个方向的分运动可分别用动能定理。如方法一,设与初速 度垂直的力与位移分别为口、与初速度平行的力与位移分别为F、s/7,经过时间t后 垂直、平行原初速度方向的速度分别为匕、v/, Fl xs1 =-mv -0+ sj o方法二至方+ sj o方法二至方1 9 1 9月/XS = mv力-mv.。此时 Fj_=FsinO, F=Feos 0 , s合法四各个方向的分运动也可用动能定理。另外说明一下,方法三、四用得较少,方法三要把力、初速度均做分解,较为麻烦;方 法四牵扯到解斜三角形,也较为麻烦。【
27、练习1】如下图,在倾角为()的斜面顶端A处以速度V。水平抛出一小球,落在斜面 上的某一点B处,设空气阻力不计.求:从抛出开始计时,经过多长时间小球离斜面的距离到达最大?这个最大距离是多少?【练习2】一质点在平面内从。点开始运动的轨迹如下图,那么质点的速度()A.假设x方向始终匀速,那么y方向先加速后减速B.假设x方向始终匀速,那么y方向先减速后加速C.假设y方向始终匀速,那么 方向先减速后加速D.假设y方向始终匀速,那么x方向先加速后减速【练习3】(多项选择)物体在直角坐标系xOy所在的平面内由0点开始运动,其沿坐标 轴方向的两个分速度随时间变化的图象分别如图甲、乙所示,那么对该物体运动过程的
28、描述正确的是(确的是(A:物体在03s做直线运动B:物体在03s做匀变速运动C:物体在3s4s做曲线运动D:物体在3s4s做直线运动小船过河模型【模型】小船渡河是典型的运动的合成与分解问题,小船在有一定流速的水中过河时,实际 上参与了两个方向的分运动,即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在静 水中的船的运动),船的实际运动是合运动。【方法】.实际运动:船的实际运动是船相对静水的运动和船随水流的运动(水相对岸的运动)的合 运动。v (船的实际速度及船相1 .三个速度:嗫(船相对静水的速度);u水(水相对岸的速度); 对岸的速度).2 .三种情景: (1).渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短:4观=V船.渡河航程最短:航程最短有两种情况:假设V船V水,当合速度V与河岸垂直时,最短航程就是河宽d;