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1、-习题4 矩形与菱形提高篇(教师版)-第 4 页习题4 矩形与菱形提高篇1、(2015安徽)如图，矩形ABCD中，AB8，BC4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上若四边形EGFH是菱形，则AE的长是() CA2 B3 C5 D62、(2014南京)如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(2，1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是()A(，3)、(，4) B(，3)、(，4) C(，)、(，4) D(，)、(，4)B提示：首先过点A作ADx轴于点D，过点B作BEx轴于点E，过点C作CF y轴，过点A作AFx轴，交点为F，易得CAFBOE，AODOBE，然后由相似三角形的
2、对应边成比例，求得答案3、（2015甘肃兰州,第10题，4分）如图，菱形ABCD中，AB=4，B=60，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，连结EF，则AEF的面积是（ ）A. B. C. D. 【 答 案 】B【解答过程】连结AC和BD，并记它们的交点为G，则有ACBD，且AG=CG，BG=CG，ABC中，AB=CB，ABC=60，所以ABC是正三角形，正三角形ABC中，AE和BG是中线，也是高线，可求得AE=BG=AB=，BCD中，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EFBD，且EF=BD= BG=，记AC与EF的交点H，因为EFBD，ACBD，所以AHEF，且由相似形的性质，可得CH
3、=CG=AC=1，则AH=ACCH=41=3则。4、（2015淄博第9题,4分）如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC若ABC=BEF=60，则=（）ABCD考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质.解答：解：如图，延长GP交DC于点H，P是线段DF的中点，FP=DP，由题意可知DCGF，GFP=HDP，GPF=HPD， GFPHDP， GP=HP，GF=HD，四边形ABCD是菱形， CD=CB， CG=CH，CHG是等腰三角形， PGPC，（三线合一）又ABC=BEF=60， GCP=60， =；故选B5、（
4、2015四川自贡,第10题4分） 如图，在矩形中，,是边的中点，是线段边上的动点，将沿所在直线折叠得到,连接,则的最小值是（ ）A、 B、6 C、 D、4考点：矩形的性质、翻折（轴对称）、勾股定理、最值.略解：是边的中点， 四边形矩形 在根据勾股定理可知：又 . 根据翻折对称的性质可知 中两边一定，要使的长度最小即要使最小(也就是使其角度为0)，此时点落在上（如图所示）. 的长度最小值为. 故选A6(2015凉山)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，DOB60，点P是对角线OC上一个动点，E(0，1)，当EPBP最短时，点P的坐标为_(23，2)7、如图,在四边形A
5、BCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则EG2+FH2= .【解析】连接EF,FG,GH,HE,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,EFACGH,EF=GH=AC=3,EHBDFG,EH=FG=BD=3,所以四边形EFGH是菱形, EGFH.设EG,FH的交点为O.EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4OE2+4OH2=4(OE2+OH2)=4EH2=36.答案:368、(2013宜宾中考)如图,在ABC中,ABC=90,BD为AC的中线,过点C作CEBD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=
6、BD,连接BG,DF.若AG=13,CF=6,则四边形BDFG的周长为.【解析】AGBD,BD=FG,四边形BGFD是平行四边形,CFBD,CFAG,又点D是AC的中点,BD=DF=AC,四边形BGFD是菱形,设GF=x,则AF=13-x,AC=2x,在RtACF中,AF2+CF2=AC2,即(13-x)2+62=(2x)2,解得:x=5,故四边形BDFG的周长=4GF=20.答案:209、（2015浙江丽水，第15题4分）如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上，已知BAD=120，EAF=30，则= .【答案】. 【考点】菱形的性质；等腰直角三角形和含30度角直角三角
7、形的性质；特殊元素法的应用.【分析】如答图，过点E作EHAB于点H，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，BAD=120，EAF=30，ABE=30，BAE=45.不妨设，在等腰中，；在中，.10、如图所示，从ABC的三边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即ABD，BCE，ACF，请回答下列问题： （1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？解：（1）四边形ADEF是平行四边形 ABD，BEC都是等边三角形， BD=AB，BE=BC，DBA=EBC=60 DBE=60-EBA，ABC=60-EBADBE=ABC DBEABC，DE=AC 又ACF是等
8、边三角形， AC=AF，DE=AF 同理，可以说明AD=EF 四边形ADEF是平行四边形 （2）若四边形ADEF为矩形，则DAF=90 DAB=FAC=60， BAC=360-DAB-FAC-DAF=360-60-60-90=150 当ABC满足BAC=150时，四边形ADEF是矩形11、（2015四川省内江市，第18题，9分）如图，将ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O（1）求证：ABDBEC；（2）连接BD，若BOD=2A，求证：四边形BECD是矩形考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质.解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，A
9、D=BC，AB=CD，ABCD，则BECD又AB=BE， BE=DC， 四边形BECD为平行四边形， BD=EC在ABD与BEC中， ABDBEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB四边形ABCD为平行四边形，A=BCD，即A=OCD又BOD=2A，BOD=OCD+ODC，OCD=ODC，OC=OD，OC+OB=OD+OE，即BC=ED，平行四边形BECD为矩形12、已知四边形ABCD为矩形，AD20、AB10。M点从D到A，P点从B到C速度为2/s；N点从A到B，Q点从C到D速度为1/s。若四个点同时出发。 （1）判断四边形MNPQ的形状。 （2
10、）四边形MNPQ能为菱形吗？若能，请求出此时运动的时间；若不能，说明理由。MBPCQNDA解答：（1）平行四边形 （2）5秒 此时为各边中点 MQNPACBDMNPQ 13、(2015南京)如图，ABCD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，AEF、CFE的平分线交于点G，BEF、DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MNEF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQEF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路小明的证明思路由ABCD，MNEF，PQE
11、F，易证四边形MNQP是平行四边形要证MNQP是菱形，只要证MNNQ.由已知条件_，MNEF，可证NGNF，故只要证GMFQ，即证MGEQFH.易证_，_，故只要证MGEQFH.易证MGEGEF，QFHEFH，_，即可得证(1)证明：EH平分BEF， FEHBEF.FH平分DFE， EFHDFE.ABCD， BEFDFE180.FEHEFH(BEFDFE)18090.FEHEFHEHF180， EHF180(FEHEFH)1809090.同理可得EGF90.EG平分AEF， FEGAEF.EH平分BEF， FEHBEF.点A、E、B在同一条直线上， AEB180，即AEFBEF180.FEGF
12、EH(AEFBEF)18090，即GEH90.四边形EGFH是矩形(2)FG平分CFEGEFHGMEFQHGEFEFH14、（2015甘肃武威,第25题7分）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，B=60，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）当AE= 3.5 cm时，四边形CEDF是矩形；当AE= 2 cm时，四边形CEDF是菱形（直接写出答案，不需要说明理由）考点：平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，CFED，FCG=EDG
13、，G是CD的中点，CG=DG，在FCG和EDG中，FCGEDG（ASA） FG=EG，CG=DG，四边形CEDF是平行四边形； （2）解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AMBC于M，B=60，AB=3，BM=1.5，四边形ABCD是平行四边形，CDA=B=60，DC=AB=3，BC=AD=5，AE=3.5，DE=1.5=BM，在MBA和EDC中，MBAEDC（SAS），CED=AMB=90，四边形CEDF是平行四边形，四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5；当AE=2时，四边形CEDF是菱形，理由是：AD=5，AE=2，DE=3，CD=3，CDE=60，CDE是等边
14、三角形，CE=DE，四边形CEDF是平行四边形，四边形CEDF是菱形，故答案为：215、已知:如图,菱形ABCD中,BAD=120,动点P在直线BC上运动,作APM=60,且直线PM与直线CD相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.【解析】(1)连接AQ,作PECD交AC于E,则CPE是等边三角形,EPQ=CQP.又APE+EPQ=60,CQP+CPQ=60,APE=CPQ,又AEP=QCP=120,PE=PC,APEQPC,AE=QC,AP=PQ,APQ是等边三角
15、形,2+3=60,1+2=60,1=3,AQDAPC,CP=DQ.(2)AC=CP+2CH.证明如下:来源:Z#xx#k.ComAC=CD,CD=CQ+QD,AC=CQ+QD,CP=DQ,AC=CQ+PC,又CHQ=90,QCH=60,CQH=30,CQ=2CH,AC=CP+2CH.16、ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B,C重合),ADE是以AD为一边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB,AC于点F,G,连接BE.来源:学科网 (1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.求证:AEBADC. 探究四边形BCGE是怎样的特殊四边形?并说明理由.(2)如图
16、(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立.(3)在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由.【解析】(1)ABC和ADE都是等边三角形,AE=AD,AB=AC,EAD=BAC=60.又EAB=EAD-BAD,DAC=BAC-BAD,EAB=DAC,AEBADC.四边形BCGE是平行四边形,理由:由得AEBADC,ABE=C=60.又BAC=C=60,ABE=BAC,EBGC.又EGBC,四边形BCGE是平行四边形.(2)都成立.(3)当CD=CB(CAD=30或BAD=90或ADC=30)时,四边形BCGE是菱形.理由:由得AEBADC,BE=CD.又CD=CB,BE=CB.由得四边形BCGE是平行四边形, 四边形BCGE是菱形.