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1、1)1)如果在某区间上如果在某区间上f (x)0 ，那么，那么f (x)为该为该区间上的区间上的增增函数，函数，2)2)如果在某区间上如果在某区间上f (x)0 0 ，那么，那么f (x)为为该区间上的该区间上的减减函数函数一般地，一般地， 设函数设函数yf(x) ，aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab导数导数与函数的与函数的单调性单调性的关系的关系知识回顾：知识回顾：（2 2）求导数求导数f (x)（1 1）求求yf(x)的定义域的定义域D（4 4）与定义域求交集与定义域求交集利用导数讨论函数单调的步骤利用导数讨论函数单调的步骤: :（5 5）写出单调区间写出单调区间（3 3）解不等
2、式解不等式f (x)0；或解不等式或解不等式f (x)0. .（问题情境）（问题情境） 观察下图中观察下图中P点附近图象从左到右的变化趋势、点附近图象从左到右的变化趋势、 P点的函数值以及点点的函数值以及点P位置的特点位置的特点o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2) 函数图象在函数图象在P点附近从左侧到右侧由点附近从左侧到右侧由“上升上升”变为变为“下降下降”（函数由单调递增变为单调递减），在（函数由单调递增变为单调递减），在P点点附近附近，P点的位置最高，函数值最大点的位置最高，函数值最大函数极值的定义函数极值的定义 一般地，设函数一般地，设函数f
3、(x)在在点点x0附近有定义附近有定义，如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有f(x)f (x0),我我们就说们就说f (x0)是函数是函数f(x)的一个极大值的一个极大值,记作记作y极大值极大值= f (x0)；如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有f(x)f (x0)，我们就说我们就说f (x0)是函数是函数f(x)的一的一个极小值，记作个极小值，记作y极小值极小值=f (x0). 极大值与极小值同称为极值极大值与极小值同称为极值. 取得极值的点称为极值点取得极值的点称为极值点数学建构数学建构 （1）极值是某一点附近的小区间而言极值是某一点附近的小区间而言
4、的的,是函数的局部性质是函数的局部性质,不是整体的最值不是整体的最值; （2）函数的极值不一定惟一函数的极值不一定惟一,在整个定在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；义区间内可能有多个极大值和极小值； （3）极大值与极小值的大小没有必然极大值与极小值的大小没有必然关系，极大值可能比极小值还小关系，极大值可能比极小值还小. （4）极值点一定出现在区间的内部，极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能作为极值点区间的端点不能作为极值点.学生活动学生活动o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2) （1）极值是函数的最值吗？极值是函数的最值吗？ （2）函数的
5、极值只有一个吗？函数的极值只有一个吗？ （3）极大值一定比极小值还大吗极大值一定比极小值还大吗？ xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f (x) f(x) 观察图象并类比于函数的单调性与导数关系的研观察图象并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法究方法,看极值与导数之间有什么关系看极值与导数之间有什么关系?o a x0 b x yo a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0数学建构数学建构请问如何判断请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？是极大值或是极小值？
6、左正右负为极大，右正左负为极小左正右负为极大，右正左负为极小函数函数y=f(x)的导数的导数y/与函数值和极值之间的关系为与函数值和极值之间的关系为( )A导数导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由减变为增由减变为增,且有极大值且有极大值B导数导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值C导数导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极小值且有极小值D导数导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值D学生活动学生活动例例1 1：求求f(x)x2x2的极值的极值. .解：解：x)(xf )(x
7、f21)21,(),21(0)21(f极小值因此，当因此，当x 时，时， f(x)有极小值有极小值f( ) 212194f (x)2x1，令，令f (x)0，解得，解得x 列表：列表：21请思考求可导函数的极值的步骤请思考求可导函数的极值的步骤: 检查检查 在方程在方程 0的根的左右两侧的的根的左右两侧的 符号，确定极值点符号，确定极值点(通过列表法通过列表法) 确定函数的定义域；确定函数的定义域； 求导数求导数)(xf 求方程求方程)(xf =0的根的根,这些根也称为这些根也称为可能可能极值点；极值点；)(xf )(xf 一览众山小一览众山小 强调强调:要想知道要想知道 x0是极大值点还是极
8、小值是极大值点还是极小值点就必须判断点就必须判断 f (x0)0 0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.的极值的极值求函求函31431:23xxf(x)数例173173 f(x) f (x) x 当当x2 2时时, ,y极小值极小值5；当当x2 2时时, , y极大值极大值. .(-,-2)(-,-2)2 2( (2,2)2,2)2 2(2,(2,)+ +0 00 0- -+ +极大值极大值极小值极小值5解解: f (x)x24，由，由f (x)0解得解得 x12，x22.当当x变化时，变化时， f (x) 、 f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：小吃篇小吃篇求下列函数的极值求下列函数的
9、极值xxy11）（16128223xxxy）（ 探索：探索：x 0是否为函数是否为函数f(x)x3的极值点的极值点?渐入佳境篇渐入佳境篇x yOf ( (x) ) x3 3 若寻找可导函数极值点若寻找可导函数极值点,可否可否只由只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ? f (x)=3=3x2 2，当，当f (x)=0=0时，时，x0 0，而而x0 0不是不是该函数的极值点该函数的极值点. .f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) 0 0注意：注意：f /(x0)
10、0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件例例3、若函数、若函数f(x)ax3bx4，当，当x2时，时，函数函数f(x)有极值有极值(1)求函数求函数f(x)的解析式；的解析式；(2)若关于若关于x的方程的方程f(x)k有三个零点，有三个零点，求实数求实数k的取值范围的取值范围34小试牛刀篇小试牛刀篇(数学运用数学运用)一吐为快篇一吐为快篇（小结）（小结）本节课主要学习了哪些内容？本节课主要学习了哪些内容？请想一想？请想一想？1极值的判定方法极值的判定方法2极值的求法极值的求法注意点：注意点：1f /(x0)0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件2数形结合以及函数与方程思想的应用数形结合以及函数与方程思想的应用3要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必是极大值点还是极小值点就必须判断须判断 f (x0)0 0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.